6.3德哈斯-范阿尔芬效应 固体物理讲义

v(k )
1
k
E
(k
)
dk (e)v(k ) B dt
以自由电子为例加以讨论。
E 2k2 2m
若磁场沿kz方向， B (0,0, B)
v(k )
1
k E (k )
d k (e )v(k ) B dt
E 2k 2 2m
v ( k )
k m
dk dt
e m
kB
(1)电子在 k 空间的运动图象
2m
,
回旋频率
谐振子能量
由量子力学知 ＝(n+1/2)c
E
2k
2 z
2m
E
(n
1 2
)
c
2
k
2 z
2m
沿磁场B方向，电子保持自由运动，相应的动能为
2kz2 2m
。
在垂直磁场的x-y平面上，电子的运动是量子化的。 从准连续的能量 2m2 (kx2 ky2)变成(n+1/2)c。 在与磁场垂直的kz＝常数的平面内，轨道是量子化的。
6.3.5 回旋共振
在恒定外磁场作用下，晶体中的电子将做螺旋运动，
回旋频率： 0
eB m*
若在垂直磁场方向加上频率为的交变电场，当=0时，
交变电场的能量将被电子共振吸收，这个现象称为回旋共振。 按量子理论，共振吸收相当于实现了电子在朗道能级之间
的跃迁。通过测量共振吸收频率，可以确定晶体中电子的有效 质量。
E
(nFra Baidu bibliotek
1 2
)
c
1
2
N(E)
其中 n n'的次能带的能带底刚好
等于Ｅ或稍低。
右图给出这一能态密度曲线。
B0
1
2
3
4Ｅ
1.在Ｅ＝(n+1/2)c处能态密
N(E)
度出现峰值。
2.相邻峰值间能量差为
c
eB m
B0
随着磁场增大，能态密度也增大， 每个峰内包含的状态数增多。
1
2
3
4Ｅ
设B=B1时，有n个峰，EF=(n+1/2)eB1/m，
kz保持不变,在kx--ky面内做匀速圆周
运动，回转的频率 eB。
0m
自由电子的等能面是球面，与kz垂直的
平面与等能面的交线就是一系列圆。
kx
dk x dt dk
dt
y
eB k m
eB m
kx
y
dkz 0 dt
kz
B
k
k
ky
(2)电子在实空间的运动图象
v(k) k m
v x
pˆ x kx , pˆ z kz
波函数可以写成： e i(kx xkzz) ( y)
代入方程 Hˆ E得到
2 2m
2 y 2
m 2
2 c
(
y
y
0
)
2
(
y
)
( y)
与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是一个中心在y0
的谐振子波动方程。
其中 c
eB m
, y0
eB
kx ,
E
2
k
2 z
这些量子化的能级称为朗道能级。
如图所示，在波矢空间形成一系列“圆柱
面”，每一个圆柱面对应一个确定的量子数n，
可以看成是一个子带，在每一个子带中只有一
维自由度kz。 电子的能量由连续的能谱变成一维的磁次
能带。
n一定，电子的能带是一条抛物线，
En(kz) n=3 n=2 n=1 n=0 B=0
n=0是最低的次能带，n增加，次能带 向上移，各能带有一定交叠，如图给出
第三节 德哈斯-范阿尔芬效应
本节主要内容： 6.3.1 电子在磁场中的运动 6.3.2 朗道能级简并度
6.3.3 由能态密度解释德哈斯-范阿尔芬效应
6.3.4 晶体中电子的有效质量近似
6.3.5 回旋共振
§6.3 德哈斯-范阿尔芬效应
低温下强磁场中金属的磁化率随磁场倒数周期性振荡的现 象称为德哈斯-范阿尔芬效应。
B=B2时，有n-1个峰，EF=(n-1/2)eB2/m，
1 B1
1 B2
( 1 ) B
e mEF
2πe S
当( 1 ) 满足此条件时，就会发生电子从上一个能带抽空而
B
转化到比它能量低的次能带，系统的总能量E随之发生周期性
的变化。
在绝对零度下，系统的磁矩
M
E B
也随之振荡。
其周期为
( 1 ) B
0
kz
磁次能带的简图。
自由电子在磁场 中的能量
6.3.2 朗道能级简并度
2 2m
2 y 2
m 2
2 c
(
y
y0 )2 ( y)
( y)
y0
eB
kx
不同的y0并不影响谐振子的本征值，而y0又依赖于波矢分
量kx，因此不同的状态可能会是简并态。 其简并度是多少呢？
Ly 2
y0
Ly 2
，即
Ly 2
eB kx
设外加磁场沿z轴方向，
Hˆ
1 2m
(
p
eA)2
p
：电子的运动学动量，A
：电子的场动量，
eA ：矢量势，
B A
A ( By ,0,0 )
Hˆ
1 2m
(
p
eA
)
2
1 2m
px
eBy 2
2
py
2
p
z
H 中不含x，z，所以它和算符
px
i
x及
pz
i
z
是对易的，其波函数可选为 pˆ x , pˆ z 的本征波函数。
N(
E
,n)dE
c
(2π)2
(
2m 2
)3
2
E
(n
1 2
)c
1
2
dE
N(E
,
n)dE
c
(2π)2
(
2m 2
)3
2
E
(n
12)c
1
2
dE
能量等于E的电子可以处于不同的次能带，所以总的态密度
应是能带底位于Ｅ以下所有次能带对应能态的累计。
N
(E)
n' n0
c
( 2 π) 2
(
2m 2
)3
2
v y
v
z
m m m
kx ky kz
dvx
dt dv y
dt
m m
dk x dt dk y dt
m
eB m
ky
eB m
m
eB m
kx
eB m
vx
vy
dv z dt
0
电子在 r 空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内做匀速
圆周运动，回旋频率为
0
eB。
m
2. 磁场作用下自由电子运动的量子化理论
电导率、比热等物理量也有类似的振荡现象。这些现象同金 属费米面附近电子在强磁场中的行为有关，因而同金属费米面结 构有密切的关系，这些效应已成为研究费米面的有力工具。
研究费米面的其他实验方法：磁致电阻、回旋共振、磁声 几何效应等。
6.3.1 电子在磁场中的运动
1 .恒定磁场中的准经典运动
准经典运动的两个方程：
Ly 2
kx
eBLy 2
该范围内的波矢数为：D
2
eBLy 2
/
2π Lx
mc
2π
Lx Ly
朗道能级简并度：
2D
mc
π
Lx Ly
c
eB m
此简并度与磁感应强度B成正比，与能量无关，即无论能
量为何值，简并度不变。
ky
kx
无外磁场 波矢空间状态代表点
有外磁场
6.3.3 由能态密度解释德哈斯-范阿尔芬效应
2πe S
S是垂直磁场方向的费米面的极值面积。
只要从实验上测定磁矩M在不同方向上随1/B的变化周期， 便可确定沿不同晶向的费米面，进一步得到金属费米面的形状。
磁场沿<111>方向时银的振荡曲线 多极值轨道
6.3.4 晶体中电子的有效质量近似
晶体中电子在磁场中运动时，需考虑到晶体周期性势场的 影响，但一般半导体材料中导带底和价带顶附近，可以采用有 效质量近似－－将前面由自由电子情况得到的结论，用有效质 量m*代替自由电子质量即可。
加磁场后，这些点都汇聚到等能面上。
考虑到在dkz范围kz有
Lz 2π
d k 个z 不同值，
在第n个次能带波矢 kz ~ kz dkz 范围的状态数是
N (E ,kz )dkz
2D
Lz 2π
dkz
eB πh
Lx Ly Lzdkz
将dkz换成dE，就得到第n个次能带，能量在 E ~ E dE
之间的状态数目