混沌时间序列分析
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⎧τ = 1.∆t ⎨⎩n = 3 (x0 , x1, x2 ) (x1, x2 , x3 ) (x2 , x3 , x4 ) ............... (xn−1, xn , xn+1 )
4
Time-Delay Embedding
Construct state space vector:
x(t) = [x(t)，x(t - τ)， x(t - 2τ)， … x(t - (m - 1)τ)]
D3
2 0
0.1
r
5 10 15 20
d
1
9
相关维数的等价性
N
∑ D2
=
lim
δ→0
1 (2 − 1)
log pi2
i =1
log δ
∑ =
lim
δ →0
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪
ln
N
p 2i
i =1
ln δ
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪
=
lim
δ →0
⎧ ⎨ ⎩
ln C (δ) ln δ
⎫ ⎬ ⎭
⎪⎩
⎪⎭
∑ ∑ 其 中 ： C (δ) ~
Time delay: τ Embedding dimension: m
Embedding Parameters
Takens时间嵌入理论
F.Takens: Detecting strange attractors in turbulence, Lecture notes in mathematics,Springer,Berlin,1981,p366
The reconstructed state space will collapse into the main diagonal
If τ is too large, x(t) and x(t-τ) will be completely unrelated, then each reconstructed vector will consist of irrelevant components Æ Irrelevance (τI)
=
1 N (δ)
)
则: D1 = D0
Generalised Dimension (Dq)
N
∑ Dq
=
lim
δ→0
1 (q − 1)
log piq
i =1
log δ
(
Pi (δ)
=
Ni (δ) N (δ)
)
lim
q→0
(
D
q
)
=
Do
(q
= 0)
lim
q→1
(
D
q
)
=
D1 ( q
=
1)
7
Correlation Dimension
大量的数值实验表明，相空间的特征量依赖 于一个合适的τ，使得 x(ti ) 和 x(ti +τ) 之间既 可相互独立，又不至于在统计意义上完全无 关。
The Role small, x(t) and x(t-τ) will be very close, then each reconstructed vector will consist of almost equal components Æ Redundancy (τR)
第四章 混沌时间序列分析
一.相空间重建 二.相关维数 三.最优延迟时间 四. Lyapunov特征指数 五.应用举例
一、相空间重建
1
2
Embedding
Φ
A
Z
M
ℜd
System with dynamics f has an attractor A ⊂ M
A is transformed into a set Z ⊂ ℜd such that the all the important geometric characteristics of A will be preserved.
Box-Counting Dimension
Correlation Dimension
均匀分布在一条线上的资料点 C(r) ∼ r1
(D = 1)
均匀分布在一个面的资料点 C(r) ∼ r2
(D = 2)
8
HHeeaavviissiiddeesstteeppffuunnccttiioonn HH((xx))==00 ffoorrxx<<00 HH((xx))==11ffoorrxx≥≥00
∑ ∑ C(r) = lim 1 N N →∞ 2
N i =1
N
H (r −
j =1
ur uur xi − x j )
i≠ j
C(r) ∼ rD D = lim log C(r)
r→0 log r
C(r)
1
d=2,5,8,9,10,11,14,16,18
0.1
0.01 1E-3 1E-4
4
Test 1 Qt=10(m3/d) Kw=91%
lim
N →∞
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪
N i =1
(ni2 − N2
ni )
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪
~
N i =1
pi 2
⎪⎩
⎪⎭
(ni是 处 在 尺 寸 为 r的 第 i个 小 体 元 内 的 点 数 )
三、相空间重建的最优延迟
10
x(ti )
时间延迟的选取问题（τ＝ m.∆t）
若τ太小，和在数值上非常接近，坐标相 关性太强，并且相空间轨迹沿同一方向挤 压，信息不易泄漏；若τ太大，在混沌和 噪声情况下，由于蝴蝶效应的影响导致和 间的动力学性态变化剧烈，
1.嵌入变换重建相空间得到的状态轨道，保留了原
空间轨道的最主要特征;
2.它尽管使轨道变形，但两者之间存在等价关系；
3.嵌入变换是一个光滑的一对映射，它不改变轨道
上点的次序，保留了原方向;
4.若原空间轨道闭合则嵌入空间闭合；
5.保留原空间固定点稳定特征。
Φ
s(t)
ft
s(0)
A
Φ −1
(Equivalent Facsimile-等效复写)
Lets also assume Φ is invertible.
Ruelle(1981),法国科学家
对m维动力系统：
JG
⎧ ⎪
JxJ1G
=
f1 ( x1 , x 2 ,....x m )
⎪ ⎨
x
2
=
f 2 ( x1 , x 2 ,...x m )
⎪ ⎪ ⎩
.J. x
J.G.
m
.
.. =
.
.
. f
..
m
.. (
... x1
. ,
. x
2
, ...x m
)
(x1, x2 ,.....xm ) 是状态空间坐标
x(t), x(t + τ), x(t + 2τ),......., x[t + (m −1)τ]
3
Phase Space Reconstruction
一个单变量时间序列：x0 , x1, x2 ,...
x(t)
ψt
x(0) Z
5
二、相关维数
6
Information Dimension (D1)
N
∑ I1(δ) = − pi log pi i =1
Pi (δ)
=
Ni (δ) N (δ)
N
∑ D1
= lim δ→0
−I1(δ) log δ
= lim δ→0
i =1
pi log log δ
pi
若(
pi
4
Time-Delay Embedding
Construct state space vector:
x(t) = [x(t)，x(t - τ)， x(t - 2τ)， … x(t - (m - 1)τ)]
D3
2 0
0.1
r
5 10 15 20
d
1
9
相关维数的等价性
N
∑ D2
=
lim
δ→0
1 (2 − 1)
log pi2
i =1
log δ
∑ =
lim
δ →0
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪
ln
N
p 2i
i =1
ln δ
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪
=
lim
δ →0
⎧ ⎨ ⎩
ln C (δ) ln δ
⎫ ⎬ ⎭
⎪⎩
⎪⎭
∑ ∑ 其 中 ： C (δ) ~
Time delay: τ Embedding dimension: m
Embedding Parameters
Takens时间嵌入理论
F.Takens: Detecting strange attractors in turbulence, Lecture notes in mathematics,Springer,Berlin,1981,p366
The reconstructed state space will collapse into the main diagonal
If τ is too large, x(t) and x(t-τ) will be completely unrelated, then each reconstructed vector will consist of irrelevant components Æ Irrelevance (τI)
=
1 N (δ)
)
则: D1 = D0
Generalised Dimension (Dq)
N
∑ Dq
=
lim
δ→0
1 (q − 1)
log piq
i =1
log δ
(
Pi (δ)
=
Ni (δ) N (δ)
)
lim
q→0
(
D
q
)
=
Do
(q
= 0)
lim
q→1
(
D
q
)
=
D1 ( q
=
1)
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Correlation Dimension
大量的数值实验表明，相空间的特征量依赖 于一个合适的τ，使得 x(ti ) 和 x(ti +τ) 之间既 可相互独立，又不至于在统计意义上完全无 关。
The Role small, x(t) and x(t-τ) will be very close, then each reconstructed vector will consist of almost equal components Æ Redundancy (τR)
第四章 混沌时间序列分析
一.相空间重建 二.相关维数 三.最优延迟时间 四. Lyapunov特征指数 五.应用举例
一、相空间重建
1
2
Embedding
Φ
A
Z
M
ℜd
System with dynamics f has an attractor A ⊂ M
A is transformed into a set Z ⊂ ℜd such that the all the important geometric characteristics of A will be preserved.
Box-Counting Dimension
Correlation Dimension
均匀分布在一条线上的资料点 C(r) ∼ r1
(D = 1)
均匀分布在一个面的资料点 C(r) ∼ r2
(D = 2)
8
HHeeaavviissiiddeesstteeppffuunnccttiioonn HH((xx))==00 ffoorrxx<<00 HH((xx))==11ffoorrxx≥≥00
∑ ∑ C(r) = lim 1 N N →∞ 2
N i =1
N
H (r −
j =1
ur uur xi − x j )
i≠ j
C(r) ∼ rD D = lim log C(r)
r→0 log r
C(r)
1
d=2,5,8,9,10,11,14,16,18
0.1
0.01 1E-3 1E-4
4
Test 1 Qt=10(m3/d) Kw=91%
lim
N →∞
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪
N i =1
(ni2 − N2
ni )
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪
~
N i =1
pi 2
⎪⎩
⎪⎭
(ni是 处 在 尺 寸 为 r的 第 i个 小 体 元 内 的 点 数 )
三、相空间重建的最优延迟
10
x(ti )
时间延迟的选取问题（τ＝ m.∆t）
若τ太小，和在数值上非常接近，坐标相 关性太强，并且相空间轨迹沿同一方向挤 压，信息不易泄漏；若τ太大，在混沌和 噪声情况下，由于蝴蝶效应的影响导致和 间的动力学性态变化剧烈，
1.嵌入变换重建相空间得到的状态轨道，保留了原
空间轨道的最主要特征;
2.它尽管使轨道变形，但两者之间存在等价关系；
3.嵌入变换是一个光滑的一对映射，它不改变轨道
上点的次序，保留了原方向;
4.若原空间轨道闭合则嵌入空间闭合；
5.保留原空间固定点稳定特征。
Φ
s(t)
ft
s(0)
A
Φ −1
(Equivalent Facsimile-等效复写)
Lets also assume Φ is invertible.
Ruelle(1981),法国科学家
对m维动力系统：
JG
⎧ ⎪
JxJ1G
=
f1 ( x1 , x 2 ,....x m )
⎪ ⎨
x
2
=
f 2 ( x1 , x 2 ,...x m )
⎪ ⎪ ⎩
.J. x
J.G.
m
.
.. =
.
.
. f
..
m
.. (
... x1
. ,
. x
2
, ...x m
)
(x1, x2 ,.....xm ) 是状态空间坐标
x(t), x(t + τ), x(t + 2τ),......., x[t + (m −1)τ]
3
Phase Space Reconstruction
一个单变量时间序列：x0 , x1, x2 ,...
x(t)
ψt
x(0) Z
5
二、相关维数
6
Information Dimension (D1)
N
∑ I1(δ) = − pi log pi i =1
Pi (δ)
=
Ni (δ) N (δ)
N
∑ D1
= lim δ→0
−I1(δ) log δ
= lim δ→0
i =1
pi log log δ
pi
若(
pi