第四章 目标规划h

Cj
CB 0 0 p2 p3 XB xs b 11 0 10 56
0
x1 2 1 1 8 0 -1 -8
0
x2 1 -1 [2] 10 0 -2 -10
0
xs 1 0 0 0 0 0 0
0
p1
p2
p2
p3
0
d1
0 1 0 0 0 0 0
d1
0 -1 0 0 1 0 0
d 2
0 0 1 0 0 0 0
第1优先级：充分利用装配 解 设x1,x2分别为彩电及黑白电 线每周开动40小时。 视机产量 第2优先级：允许装配线加 min z p1d1 p2 d 2 p3 (2d3 d 4 ) 班但每周加班时间不超过 10小时。 x1 x 2 d1 d1 40 第3优先级：装配电视机数 x1 x 2 d 2 d 2 50 量尽量满足市场需要，但 因彩电利润高，彩电的权 x1 d 3 d 3 24 因子取2。 x 2 d 4 d 4 30 建立目标规划模型，并计 x1 , x 2 , d i , d i 0 (i 1,2,3,4) 算两种电视机的产量应为 多大？
min z p1d1 p2 d 2 p3 (2d3 d 4 ) x2 x1 x 2 d1 d1 40 C
x1 x 2 d 2 d 2 50 D x d 3 d 3 24 1 x 2 d 4 d 4 30 x1 , x 2 , d i , d i 0 (i 1,2,3,4)
目标规划的一般数学模型为：
min z pl ( wlk d k wlk d k ) l 1 k 1 L K
n c kj x j d k d k g k , k 1, , K j 1 n a x ( , )b , i 1,, m i ij j j 1 x j 0, j 1,, n d k , d k 0, k 1, , K
* * x1 10 / 3, x2 10 / 3 最优解 :
例：用目标规划的单纯形方法解以下目标规划模型
(1) min f p1 d1 p 2 d 3 p3 d 2 p 4 (d1 d 2 )
2 x1 x 2 d1 d1 20 d 2 d 2 12 x1 s.t. x 2 d 3 d 3 10 x , x , d , d 0 i 1,2,3 1 2 i i
x2
2 x1 x2 11 x1 x2 0
d1
C
d1
x1 2 x2 10
D
d2 d2 d3 d 3
C（2，4）,D（10/3，10/3）
x1
8x1 10x2 56
例3 某厂装配黑白与彩色两种电视机，每装配一台电视机， 需占用装配线1小时，装配线每周开动40小时，预计市场每周彩 电销量为24台，每台可获利80元，黑白电视机销量为30台，每 台可获利40元，该厂的目标是：
例4.4、试用单纯形法来求解例4.2。
min z p1 d1 p 2 (d 2 d 2 ) p3 d 3
11 2 x1 x 2 x1 x 2 d1 d1 0 x1 2 x 2 d 2 d 2 10 min z p1 d1 p 2 (d 2 d 2 ) p3 d 3 8 x1 10x 2 d 3 d 3 56 11 x1 , x 2 , d i , d i 0 i 1,2,3. 2 x1 x 2 x s x1 x 2 d1 d1 0 x1 2 x 2 d 2 d 2 10 8 x1 10x 2 d 3 d 3 56 x1 , x 2 , d i , d i 0 i 1,2,3.
原材料 设备 利润（百元） 甲 2 1 8 乙 1 2 10 拥有量 11（kg） 10（台时）
max z 8 x1 10x 2 2 x1 x 2 11 x1 2 x 2 10 x , x 0 1 2
x1 4，x2 3
二、目标规划的数学模型 例4.2假设在例1的基础上，计划人员还要考虑如下的意见： （1）由市场信息反馈，产品甲销售量有下降趋势，故决定产 品甲的生产量不超过产品乙的生产量。 （2）尽可能不超过计划使用原材料，因为超计划后，需高价 采购原材料，使成本增加。 （3）尽可能充分利用设备，但不希望加班。 （4）尽可能达到并超过计划利润5600元。
H G F
d4
E d
4
x2 30④
d2
d
3
d
3
x1 x2 50②
O
B
A
x1 24③
d1 x1 x2 40①
x1
例：用图解法解下列目标规划模型。
min f p1 (d1 d 2 ) p 2 d 3 p3 d 4
x2
x1 x 2 d1 d1 400 d4 d4 x1 2 x 2 d 2 d 2 500 s.t. x1 d 3 d 3 300 0.4 x1 0.3x 2 d 4 d 4 240 d1 d 3 d 3 d1 x1 , x 2 , d i , d i 0 i 1,2,3,4
d3
1/2 [1/2] 1/6 -1/3 0 0 0
d1
x2 x1 p1 p2 p3
σkj
* * 最优解 : x1 2, x2 4
Cj
CB wenku.baidu.com 0 0 0 XB xs b 1 4 10/3 10/3
0
x1 0 0 0 1 0 0 0
0
x2 0 0 1 0 0 0 0
0
xs 1 0 0 0 0 0 0
0
x1 0 0 0 1 0 0 0
0
x2 0 0 1 0 0 0 0
0
xs 1 0 0 0 0 0 0
0
p1
p2
p2
p3
0
d1
0 1 0 0 0 0 0
d1
0 -1 0 0 1 0 0
d 2
2 3 4/3 -5/3 0 1 0
d 2
-2 -3 -4/3 5/3 0 1 0
d3
-1/2 -1/2 -1/6 1/3 0 0 1
最终表：
Cj CB 0 XB x1 b 12 0 x1 1 0 x2 0 p1 p4 p3 p4 p2 0 0
第四章 目标规划 第一节目标规划问题与数学模型 一、目标规划问题的提出 例4.1某工厂生产甲乙两种产品，生产单位产 品所需要的原材料及占用设备台时如表所示， 该工厂每天拥有设备台时为10，原材料最大供 应量为11kg/天，已知生产每单位甲种产品可获 利润为800元，乙种产品为1000元，要求制定一 个获利最大的生产计划。具体数据如下：
0
p1
p2
p2
p3
0
d1
0 1 0 0 0 0 0
d1
0 -1 0 0 1 0 0
d 2
-1/2 1/2 1/2 -5 0 1 5
d 2
1/2 -1/2 -1/2 5 0 1 -5
d3
0 0 0 1 0 0 0
d3
0 0 0 -1 0 0 1
d1
x2
d3
p1 p2 p3
σkj
Cj
CB 0 0 0 0 XB xs b 3 2 4 2
d2
x1
400
d2
第三节 解目标规划的单纯形法
步骤： （1）建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子 个数从高到低分别列成K行，置k=1； （2）检查K行中是否存在负数，且对应的前k-1行的系数 是零。若有取其中最小者对应的变量为换入变量，转 （3），否则转（5）。 （3）按最小比值规则确定换出变量，当存在两个和两个 以上相同最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换 出变量。 （4）按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返 回（2）。 （5）当k=K时，计算结束。表中的解即为满意解。否则 置k=k+1，返回到（2）。
max z 8 x1 10x 2 2 x1 x 2 11 x1 2 x 2 10 x , x 0 1 2
min z p1 d1 p 2 (d 2 d 2 ) p3 d 3
11 2 x1 x 2 x1 x 2 d1 d1 0 x1 2 x 2 d 2 d 2 10 8 x1 10x 2 d 3 d 3 56 x1 , x 2 , d i , d i 0 i 1,2,3.
min f (d d )


（2）要求不超过目标值。允许决策值不 足目标值：
min f (d )


（3）要求不低于目标值。允许决策值超 过目标值：
min f (d )

在不超过原材料限制的基础上考虑： P1——产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量； P2——充分利用设备有效台时，不加班 P3——利润不小于 56百元。
第二节 目标规划的图解法
步骤： （1）先考虑硬约束与决策变量的非负约束， 同一般线性规划作图法； d d 0。 （2）作目标约束，此时，先让 然后标出d , d 的增加方向（实际上是目标值减 少与增加的方向）； （3）按优先级的次序，逐级让目标函数（准 则函数或达成函数）中极小化偏差变量取零， 从而逐步缩小可行域，最后找出问题的解。
d 2
0 0 -1 0 0 2 0
d3
0 0 0 1 0 0 0
d3
0 0 0 -1 0 0 1
d1 d 2
d3
p1 p2 p3
σkj
Cj
CB 0 0 0 p3 XB xs b 6 5 5 6
0
x1 3/2 3/2 1/2 [3] 0 0 -3
0
x2 0 0 1 0 0 0 0
0
xs 1 0 0 0 0 0 0
（3）优先因子和权系数 目标的主次轻重用优先因子 Pl 和权系数 Wlk 表示。 Pl >> Pl 1 优先因子间的关系为 （4）目标规划的目标函数 目标规划的目标函数（又称为准则函数或 达成函数）由各目标约束的偏差变量及相 应的优先因子和权系数构成。 目标函数只能是极小化
基本表达式： （1）要求恰好达到目标值。不希望决策 值超过或不足目标值：
0
p1
p2
p2
p3
0
d1
-1 2 2/3 0 0 0
d1
1 -2 2/3 1 0 0
d 2
-1 6 1/3 1/3 0 1 0
d 2
1 -6 -1/3 -1/3 0 1 0
d3
0 -1 0 0 0 0 1
d3
0 1 0 0 0 0 0
d3
x2 x1 p1 p2 p3
-1/3 1/3
σkj
基本概念： （1）偏差变量 对每一个决策目标，引入正、负偏差变量 d 和 d ，分别表示决策值超过或不足目标 d 0， 0 ，d · 0 。 d d 值的部分。 （2）绝对约束和目标约束 绝对约束(硬约束)是指必须严格满足的约 束条件。 目标约束是目标规划特有的一种软约束， 目标约束中决策值和目标值之间的差异用偏 差变量表示。
min z p1 d1 p 2 (d 2 d 2 ) p3 d 3
11 2 x1 x 2 x1 x 2 d1 d1 0 x1 2 x 2 d 2 d 2 10 8 x1 10x 2 d 3 d 3 56 x1 , x 2 , d i , d i 0 i 1,2,3.