H方程

v , u
F F (v , u )
F y v G
1
s
y ,
u
G G( y , u )
G y v F
1
s
变
G v y
换
F y v
G F u u
F G u u
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2.由拉格朗日函数到哈密顿函数的勒让德变换
2 1 1 Ze 2 r 2 sin 2 2 ) ( 2 r 2 L T V m( r ) 2 4 0 r 2 1 Ze 2 r 2 sin 2 2 ) , 式中 2 r 2 m( r . 2 r 4 0
则必有： ——循环积分 pl c（常数） l
其中， l 被称为循环坐标。
q
循环积分之意义： 广义动量守恒！
5.哈密顿正则方程的意义
正则方程是经典力学向量子力学和广义相对论过渡的桥 梁。正如量子力学的建立者之一薛定谔所说,“哈密顿力学是 现代物理学的基石”。现代物理学的两大基础———量子力
学和广义相对论的建立都与哈密顿力学有着直接关系。在正
§5.5 哈密顿正则方程
1.勒让德变换 当相互独立的自变量改变时函数也随之改变， 它们之间的变换称之为勒让德变换。
设：旧函数为 F F (v , u )( 1,2,, s)
变换）， 其中： v 为一组旧主变量（参与 u 为一组辅变量（不参与 变换）
设：
y 为一组新主变量（参与 变换）， u 仍为一组辅变量（不参 与变换）
，在此坐标系下 ，
0
，代入上式，得c=0.这样，以后任意
2 0 0、 2时 sin ，必有：
即：
0
常数
所以：
哈密顿正则方程的解题要领
（1）确定自由度； （3）写出拉氏函数； （5）求出H函数； 参考文献： 【1】 【2】 【3】
（2）选择广义坐标；
（4）求出广义动量；

（5）
哈密顿正则方程的解题要领:
（1）确定自由度； （3）写出L函数； （5）求出H函数； （2）选择广义坐标； （4）求出广义动量； （6）代入H方程求解并讨论.
课后作业：P275----5.21、5.23、5.24 参考文献：
J ,现代物理知识，2006,18(5):63-65. 【 1】 宫衍香,马秋红.哈密顿和哈密顿力学
换
L H L H L H H L , , q q q q t t t t
3.哈密顿正则方程
q H p
H p q

（ 5）
( 1,2,, s)
H方程的适应范围： 惯性系中，受有理想、完整约束的体系。
则方程基础上进一步可推导出哈密顿-雅可比方程，将该方 程过渡即可得到量子力学中的波动方程，这是由薛定谔完成 的；爱因斯坦在建立广义相对论的引力场方程时也运用了后 面要学习的哈密顿原理。
6.哈密顿正则方程的应用
【例题】 研究电子在库仑引力场中的运动。 【解】 设电子电荷为-e、质量为m，中心正电荷电量为Ze. （1） 自由度为3，选广义坐标为球面坐标 r , , （2） 体系的L函数为：
旧系统 自变量 函 数 新系统
, t q , q
q , p , t
H H (q , p , t )
L H p q
1
s
, t ) L L(q , q
H L p q
s
变
1
H q p
L p q
（6）代入H方程求解并讨论；
p H p m r2 sin 2

（2）
（2）式就是由哈密顿正则方程求出的电子在库仑引力场中
的运动方程。
联立（1）式和（2）式可解得：
2 m r m r
2 p
m r sin
3 2


r
2
0 （3）
（4）
d ) (m r2 dt m r2 sin 3
知识回顾
• 基本形式的拉氏方程
d T T Q dt q q
• 保守系的拉氏方程
d L L 0 q dt q
, t ) T V 式中，拉格朗日函数： L L(q , q
• 拉氏方程的能量积分
L h(常数) 雅可比积分 p q
4.能量积分与循环积分
（1）能量积分
因为：H H（q , p , t）
dH H H H ） 所以： ( q p dt q p t
将H方程代入上式，得：
dH H L dt t t
（ 6）
又因为：
L h(雅可比积分) H p q
F 且定义： y v
（1）
新函数： G( y , u )
y v F (v , u )
1
s
（2）
新旧自变量、新旧函数之间的关系为：
G v y F G u u
（3）
（4）
上述（1）—（4）式称为勒让德变换。
勒让德变换
旧系统 自变量 函 数 新系统
【2】岳小萍.哈密顿正则方程与稳恒电流电路J ,新乡师院学报：自然科学 版，2010，27(4)：32-35. 【3】赵红霞.高阶Lagrange函数的哈密顿原理和正则方程(硕士学位论文). 江西师范大学.2008.
例题
c(常量) sin
2
由于总可以先取一个坐标系
使初始时
( , )
1 s
(1)稳定系统：
h T V , 机械能守恒
(2)不稳定系统： h T2 T0 V , 广义能量守恒
§5.5 哈密顿正则方程
1.勒让德变换
2.由拉格朗日函数到哈密顿函数的勒让德变换 3.哈密顿正则方程 4.能量积分与循环积分 5.哈密顿正则方程的意义 6.哈密顿正则方程的应用
为此，可设此平面为：
2 p cos
因为（3）式和（4）式均不含 ,故知电子必在一平面内运动。
2 m r m r 0 代入（ 3）式和（ 4）式得： 2 r d ) 0 ( m r2 dt （5）式与矢量力学求得的结果相同。
0，p 0. 0, 所以
（3） 广义动量为：
L L 2 , p pr mr m r , r L p m r2 sin 2

（1）
（4） 体系的H函数为：
p p H pr r L
2 2 p p 1 2 ( pr 2 2 2 ) 2m r r sin r
（5）代入H方程中，得：
2 2 p p H r p 3 3 2 2, r m r m r sin r 2 p cos H p , 2 3 m r sin
r
H pr pr m
p H p m r2
H p 0,
1
s
结论： 若H或L函数中不显含时间t时，则由（6）式可得
H=h（常数） —能量积分。
并且，(1) 对稳定约束而言, H=h=T+V（机械能守恒）；
(2) 对不稳定约束而言, H=h=T2－T0+V（广义能量守恒）。
4.能量积分与循环积分
（2）循环积分
H 若H函数中不显含某一广义坐标 q l ， 即 0 ql