第七章_季节性时间序列模型
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2348 2454.9 2881.7
2443.1
2536 2652.2 3131.4
2604.3
2743.9 2781.5 3405.7
2854
3029 3108 3680
(1)绘制时序图
(2)选择拟合模型
长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动 同时作用于该序列，因而尝试使用混合模型 （b）拟合该序列的发展
第三节 季节性检验
一、季节性MA的自相关系数 二、季节性AR的偏自相关系数
一、季节性MA模型的自相关函数
设某一季节性时间序列 的季节性，即各周期点 之间的相关性 可用：X t (1 S B S )et 而et 又适合于一个MA（ 1 ）模型， 即et (1 1 B)at 二式结合得：X t (1 1 B)(1 S B S )at
二、乘积季节模型
使用场合
序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复
杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中 的相关关系
构造原理
短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取
季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(k,m)
模型提取 假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系， 模型结构如下
例1 季节指数的计算
季节指数图
四、综合分析
常用综合分析模型
加法模型
xt Tt St I t
乘法模型
xt Tt S t I t
混合模型
a) xt S t Tt I t b) xt S t (Tt I t )
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例2
第四节 季节时间序列模型的建立
1.根据时间序列的ACF和PACF确定是否为季节性 时间序列，其周期是多少； 2.对序列进行差分和季节差分，以得到一个平稳序 列； 3.计算差分后序列的ACF和PACF识别模型阶数， 选择一个初始模型； 4.对模型进行初估计，然后以初估计值为初始值， 进行普通最小二乘估计或极大似然估计；
第七章 季节模型
第一节 季节时间序列的重要特ห้องสมุดไป่ตู้ 第二节 季节时间序列模型
一、季节时间序列表示
案例：下表是某地区2001－2005年的旅游业产值。
年 份 2001 2002 2003 2004 2005 1季 25.2 24.4 23.8 26.0 25.1 2季 17.1 18.4 19.4 19.1 18.6 3季 12.6 14.1 13.8 15.7 15.1 4季 19.3 18.9 21.0 21.6 20.8
xt S t (Tt I t )
(3)计算季节指数
月份 季节指数 月份 季节指数
1
2 3 4 5 6
0.982
0.943 0.920 0.911 0.925 0.951
7
8 9 10 11 12
0.929
0.940 1.001 1.054 1.100 1.335
季节指数图
季节调整后的序列图
根据第三章的内容 , 不难求得其自相关系数:
2 2 2 2 2 0 Var ( X t ) (1 12 12 1212 ) a (1 12 )(1 12 ) a 1 1 , 2 3 10 0 2 1 1 112 - 12 112 11 , 12 , 13 2 2 2 2 (1 1 )(1 12 ) 1 12 (1 12 )(1 12 ) 14 15 0
5
6 7 8
962.2
1005.7 963.8 959.8
1213.7
1281.1 1251.5 1286
1585.4
1639.7 1623.6 1637.1
1898.3
1966 1888.7 1916.4
2108.2
2164.7 2102.5 2104.4
2265.2
2326 2286.1 2314.6
x
x
i 1 k 1
m
ik
计算季节指数
nm
xk Sk x
, k 1,2,, m
季节指数的理解
季节指数反映了该季度与总平均值之间的一 种比较稳定的关系 如果这个比值大于1，就说明该季度的值常常 会高于总平均值 如果这个比值小于1，就说明该季度的值常常 低于总平均值 如果序列的季节指数都近似等于1，那就说明 该序列没有明显的季节效应
一个是 （ 1 B12 ) X t (1 12 B12 )et， （a） 它是只考虑不同年份同 月之间的资料之间的相 互关系。
另一个是：(1 B)et (1 1B)at
（b）
它刻画的是同年不同月 之间的相关关系。
2.(1 B12 ) X t (1 1 B)(1 12 B12 )at
ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最 高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型， 通常它包含p+q个独立的未知系数： 如果该模型中有部分自相关系数或部分移动 平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺 了，那么该模型称为疏系数模型。
三、常用的随机季节模型
1 （ . 1 B12 )(1 B) X t (1 1B)(1 12 B12 )at
d
期点的相关关系；而 U( B) 则描述不同周
D S
期的同一周期点上的相 关关系；二者结合 起来，便同时刻画了两 个因素的作用。
从形式上看，它是随机 季节模型与 ARIMA模型的结合式，故称之 为乘积季节模 型，记为 ARIMA (k , D, m) ( p, d , q)表示。
疏系数模型
5.对模型进行适应性检验。
例5.10 :拟合1948——1981年美国女性月度失业率序列
差分平稳
一阶、12步差分
差分后序列自相关图
差分后序列偏自相关图
简单季节模型拟合结果
拟合模型残差白噪声检验
延迟 阶数
AR(1,12) MA(1,2,12)
ARMA((1,12),(1,12)
月份 1 2 3 4
对1993年——2000年中国社会消费品零售总额 序列进行确定性时序分析
1993 977.5 892.5 942.3 941.3 1994 1192.2 1162.7 1167.5 1170.4 1995 1602.2 1491.5 1533.3 1548.7 1996 1909.1 1911.2 1860.1 1854.8 1997 2288.5 2213.5 2130.9 2100.5 1998 2549.5 2306.4 2279.7 2252.7 1999 2662.1 2538.4 2403.1 2356.8 2000 2774.7 2805 2627 2572
一个是 （ 1 B12 ) X t (1 12 B12 )et 它刻画不同年份同月的 资料之间的相关关系；
另一个是 et (1 1 B)at 它表示同年不同月份之 间几乎不存在依赖关系 ， 但受前一期扰动的影响 ，即时间序列资料消除 了 季节因素之后适合一个 MA（ 1 ）模型。
一、 随机季节模型
随机季节模型，是对季节性随机序列中不同 周期的同一周期点之间的相关关系的拟合。 （列关系）
1.一阶自回归季节模型
Wt 1Wt s et 或 (1 1B )Wt et
S D 若还原为X t 序列，有： (1 1BS )S X t et
2.一阶移动平均季节模型
这是一个周期为 S的季节性MA(1) 模型，即(0,0,1) (0,0,1)模型。 展开，可得
X t at 1at 1 S at S 1 S at S 1
当S 12时，则： X t at 1at 1 12 at 12 112 at 13 是一个MA（ 13 ）模型，但除 1和12外，其余 系数均为零。
xt Tt I t ˆ S
t
(4)拟合长期趋势
ˆ 1015 T .522 20.93178 t t
(5)残差检验
xt ˆ Tt I t ˆ S
t
(6)短期预测
ˆ T ˆ ˆt (l ) S x t l t l
五、X-11过程
简介
X-11过程是美国国情调查局编制的时间序列季节调整过程。
2364
2428.8 2380.3 2410.9
2637
2645 2597 2636
9
10 11 12
1023.3
1051.1 1102 1415.5
1396.2
1444.1 1553.8 1932.2
1756
1818 1935.2 2389.5
2083.5
2148.3 2290.1 2848.6
2239.6
Wt et 1et s 或
Wt (1 1BS )et
D 还原为 X t 序列，有： S X t (1 1BS )et
3.季节性的SARIMA
U ( B S )Wt V ( B S )et
D 或 U ( B S ) S X t V ( B S )et
其中， U ( B S ) 1 1 B S 2 B 2 S k B kS V ( B S ) 1 1 B S 2 B 2 S m B mS
D (B)U(BS )d S X t V(BS )( B)at
(B) 1 1B 2 B ... p B 2 q (B) 11B 2 B ...q B
2
p
(1 B)
d
d
S (1 B )
D
S D
这里，( B) X t 仅表示同一周期内不同 周
二、季节性AR模型的偏自相关函数
利用同样的思路，我们 可以得到季节性 AR（ 1 ）模型。 （ 1 1 B )(1 S B S ) X t at 展开得： （ 1 1 B S B S 1 S B S 1 ) X t at 于是可求得偏自相关函 数。 同样可推广到AR(n)模型 （ 1 1 B 2 B 2 n B n )(1 S B S ) X t at 或更一般的情形 ( B )U ( B S ) X t at （ 1 1 B 2 B 2 n B n )(1 v1 B S v2 B 2 S v p B pS ) X t at 当求得第(n 1)阶、 (n 2)阶 等偏自相关函数，可根据 其在同期点的截尾性来 判断模型的阶数。
二、季节时间序列重要特征
周期性
时序图
三、季节指数
季节指数的概念
所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期内各
时期季节性影响的相对数
季节模型
xij x S j Iij
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季节指数的计算
计算周期内各期平均数
xk
x
i 1
n
ik
计算总平均数
n
n
, k 1,2, , m
这里，et 是原序列消除了周期点 之间相关部分（即季 节分量）之后的剩余序 列。et 不一定独立。因为我们 仅消除了不同周期的同 一周期点上的相关部分 ，作为 响应系统，除了不同周 期的同一周期点之间具 有一定 相关关系外，同一周期 的不同周期点之间也有 可能具 有一定的相关关系。因 此，随机季节模型有一 定的不 足，在一定程度上说它 是一个不完备的模型。
例2 续
对1993年——2000年中国社会消费品零售总 额序列使用X-11过程进行季节调整 选择模型（无交易日影响）
xt Tt St I t
X11过程获得的季节指数图
季节调整后的序列图
趋势拟合图
随机波动序列图
第二节 季节性时间序列模型
一、随机季节模型 二、乘积季节模型 三、常见的随机季节模型
它的基本原理就是时间序列的确定性因素分解方法
因素分解
长期趋势起伏 季节波动 不规则波动
交易日影响
模型
加法模型 乘法模型
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方法特色
普遍采用移动平均的方法
用多次短期中心移动平均消除随机波动 用周期移动平均消除趋势 用交易周期移动平均消除交易日影响
2443.1
2536 2652.2 3131.4
2604.3
2743.9 2781.5 3405.7
2854
3029 3108 3680
(1)绘制时序图
(2)选择拟合模型
长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动 同时作用于该序列，因而尝试使用混合模型 （b）拟合该序列的发展
第三节 季节性检验
一、季节性MA的自相关系数 二、季节性AR的偏自相关系数
一、季节性MA模型的自相关函数
设某一季节性时间序列 的季节性，即各周期点 之间的相关性 可用：X t (1 S B S )et 而et 又适合于一个MA（ 1 ）模型， 即et (1 1 B)at 二式结合得：X t (1 1 B)(1 S B S )at
二、乘积季节模型
使用场合
序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复
杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中 的相关关系
构造原理
短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取
季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(k,m)
模型提取 假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系， 模型结构如下
例1 季节指数的计算
季节指数图
四、综合分析
常用综合分析模型
加法模型
xt Tt St I t
乘法模型
xt Tt S t I t
混合模型
a) xt S t Tt I t b) xt S t (Tt I t )
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例2
第四节 季节时间序列模型的建立
1.根据时间序列的ACF和PACF确定是否为季节性 时间序列，其周期是多少； 2.对序列进行差分和季节差分，以得到一个平稳序 列； 3.计算差分后序列的ACF和PACF识别模型阶数， 选择一个初始模型； 4.对模型进行初估计，然后以初估计值为初始值， 进行普通最小二乘估计或极大似然估计；
第七章 季节模型
第一节 季节时间序列的重要特ห้องสมุดไป่ตู้ 第二节 季节时间序列模型
一、季节时间序列表示
案例：下表是某地区2001－2005年的旅游业产值。
年 份 2001 2002 2003 2004 2005 1季 25.2 24.4 23.8 26.0 25.1 2季 17.1 18.4 19.4 19.1 18.6 3季 12.6 14.1 13.8 15.7 15.1 4季 19.3 18.9 21.0 21.6 20.8
xt S t (Tt I t )
(3)计算季节指数
月份 季节指数 月份 季节指数
1
2 3 4 5 6
0.982
0.943 0.920 0.911 0.925 0.951
7
8 9 10 11 12
0.929
0.940 1.001 1.054 1.100 1.335
季节指数图
季节调整后的序列图
根据第三章的内容 , 不难求得其自相关系数:
2 2 2 2 2 0 Var ( X t ) (1 12 12 1212 ) a (1 12 )(1 12 ) a 1 1 , 2 3 10 0 2 1 1 112 - 12 112 11 , 12 , 13 2 2 2 2 (1 1 )(1 12 ) 1 12 (1 12 )(1 12 ) 14 15 0
5
6 7 8
962.2
1005.7 963.8 959.8
1213.7
1281.1 1251.5 1286
1585.4
1639.7 1623.6 1637.1
1898.3
1966 1888.7 1916.4
2108.2
2164.7 2102.5 2104.4
2265.2
2326 2286.1 2314.6
x
x
i 1 k 1
m
ik
计算季节指数
nm
xk Sk x
, k 1,2,, m
季节指数的理解
季节指数反映了该季度与总平均值之间的一 种比较稳定的关系 如果这个比值大于1，就说明该季度的值常常 会高于总平均值 如果这个比值小于1，就说明该季度的值常常 低于总平均值 如果序列的季节指数都近似等于1，那就说明 该序列没有明显的季节效应
一个是 （ 1 B12 ) X t (1 12 B12 )et， （a） 它是只考虑不同年份同 月之间的资料之间的相 互关系。
另一个是：(1 B)et (1 1B)at
（b）
它刻画的是同年不同月 之间的相关关系。
2.(1 B12 ) X t (1 1 B)(1 12 B12 )at
ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最 高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型， 通常它包含p+q个独立的未知系数： 如果该模型中有部分自相关系数或部分移动 平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺 了，那么该模型称为疏系数模型。
三、常用的随机季节模型
1 （ . 1 B12 )(1 B) X t (1 1B)(1 12 B12 )at
d
期点的相关关系；而 U( B) 则描述不同周
D S
期的同一周期点上的相 关关系；二者结合 起来，便同时刻画了两 个因素的作用。
从形式上看，它是随机 季节模型与 ARIMA模型的结合式，故称之 为乘积季节模 型，记为 ARIMA (k , D, m) ( p, d , q)表示。
疏系数模型
5.对模型进行适应性检验。
例5.10 :拟合1948——1981年美国女性月度失业率序列
差分平稳
一阶、12步差分
差分后序列自相关图
差分后序列偏自相关图
简单季节模型拟合结果
拟合模型残差白噪声检验
延迟 阶数
AR(1,12) MA(1,2,12)
ARMA((1,12),(1,12)
月份 1 2 3 4
对1993年——2000年中国社会消费品零售总额 序列进行确定性时序分析
1993 977.5 892.5 942.3 941.3 1994 1192.2 1162.7 1167.5 1170.4 1995 1602.2 1491.5 1533.3 1548.7 1996 1909.1 1911.2 1860.1 1854.8 1997 2288.5 2213.5 2130.9 2100.5 1998 2549.5 2306.4 2279.7 2252.7 1999 2662.1 2538.4 2403.1 2356.8 2000 2774.7 2805 2627 2572
一个是 （ 1 B12 ) X t (1 12 B12 )et 它刻画不同年份同月的 资料之间的相关关系；
另一个是 et (1 1 B)at 它表示同年不同月份之 间几乎不存在依赖关系 ， 但受前一期扰动的影响 ，即时间序列资料消除 了 季节因素之后适合一个 MA（ 1 ）模型。
一、 随机季节模型
随机季节模型，是对季节性随机序列中不同 周期的同一周期点之间的相关关系的拟合。 （列关系）
1.一阶自回归季节模型
Wt 1Wt s et 或 (1 1B )Wt et
S D 若还原为X t 序列，有： (1 1BS )S X t et
2.一阶移动平均季节模型
这是一个周期为 S的季节性MA(1) 模型，即(0,0,1) (0,0,1)模型。 展开，可得
X t at 1at 1 S at S 1 S at S 1
当S 12时，则： X t at 1at 1 12 at 12 112 at 13 是一个MA（ 13 ）模型，但除 1和12外，其余 系数均为零。
xt Tt I t ˆ S
t
(4)拟合长期趋势
ˆ 1015 T .522 20.93178 t t
(5)残差检验
xt ˆ Tt I t ˆ S
t
(6)短期预测
ˆ T ˆ ˆt (l ) S x t l t l
五、X-11过程
简介
X-11过程是美国国情调查局编制的时间序列季节调整过程。
2364
2428.8 2380.3 2410.9
2637
2645 2597 2636
9
10 11 12
1023.3
1051.1 1102 1415.5
1396.2
1444.1 1553.8 1932.2
1756
1818 1935.2 2389.5
2083.5
2148.3 2290.1 2848.6
2239.6
Wt et 1et s 或
Wt (1 1BS )et
D 还原为 X t 序列，有： S X t (1 1BS )et
3.季节性的SARIMA
U ( B S )Wt V ( B S )et
D 或 U ( B S ) S X t V ( B S )et
其中， U ( B S ) 1 1 B S 2 B 2 S k B kS V ( B S ) 1 1 B S 2 B 2 S m B mS
D (B)U(BS )d S X t V(BS )( B)at
(B) 1 1B 2 B ... p B 2 q (B) 11B 2 B ...q B
2
p
(1 B)
d
d
S (1 B )
D
S D
这里，( B) X t 仅表示同一周期内不同 周
二、季节性AR模型的偏自相关函数
利用同样的思路，我们 可以得到季节性 AR（ 1 ）模型。 （ 1 1 B )(1 S B S ) X t at 展开得： （ 1 1 B S B S 1 S B S 1 ) X t at 于是可求得偏自相关函 数。 同样可推广到AR(n)模型 （ 1 1 B 2 B 2 n B n )(1 S B S ) X t at 或更一般的情形 ( B )U ( B S ) X t at （ 1 1 B 2 B 2 n B n )(1 v1 B S v2 B 2 S v p B pS ) X t at 当求得第(n 1)阶、 (n 2)阶 等偏自相关函数，可根据 其在同期点的截尾性来 判断模型的阶数。
二、季节时间序列重要特征
周期性
时序图
三、季节指数
季节指数的概念
所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期内各
时期季节性影响的相对数
季节模型
xij x S j Iij
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季节指数的计算
计算周期内各期平均数
xk
x
i 1
n
ik
计算总平均数
n
n
, k 1,2, , m
这里，et 是原序列消除了周期点 之间相关部分（即季 节分量）之后的剩余序 列。et 不一定独立。因为我们 仅消除了不同周期的同 一周期点上的相关部分 ，作为 响应系统，除了不同周 期的同一周期点之间具 有一定 相关关系外，同一周期 的不同周期点之间也有 可能具 有一定的相关关系。因 此，随机季节模型有一 定的不 足，在一定程度上说它 是一个不完备的模型。
例2 续
对1993年——2000年中国社会消费品零售总 额序列使用X-11过程进行季节调整 选择模型（无交易日影响）
xt Tt St I t
X11过程获得的季节指数图
季节调整后的序列图
趋势拟合图
随机波动序列图
第二节 季节性时间序列模型
一、随机季节模型 二、乘积季节模型 三、常见的随机季节模型
它的基本原理就是时间序列的确定性因素分解方法
因素分解
长期趋势起伏 季节波动 不规则波动
交易日影响
模型
加法模型 乘法模型
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方法特色
普遍采用移动平均的方法
用多次短期中心移动平均消除随机波动 用周期移动平均消除趋势 用交易周期移动平均消除交易日影响