组合数学_第6章6.4-6.5_

{1,2,…, n}的排列 i1 i2… in对应于棋盘上以方格 (1, i1), (2, i2),…, (n, in)
为坐标的n个车的位置
1 2 3 4 5 设n=5, X1={1, 4}, X2={3},
1X
X
X3=Φ, X4={1, 5}, X5={2, 5},
2
X
则P(X1,X2,…,X5)中的排列
p(X1 , X2 , X3 , X4 ) = 2
（方法2：容斥原理）
带禁止位置的“非攻击型车”
{1,2,…, n}的排列 i1 i2… in对应于棋盘上以方格 (1, i1), (2, i2),…, (n, in)
为坐标的n个车的位置
1 1
2 3 4 5 位置
23 45
24135
带禁止位置的“非攻击型车”
满足第 j 行的车不在 Xj 中的列，i=1,2,…,n，共 有多少种放置方法？
令属性Pj表示 j行上的车放置在Xj所给出的禁止位置中， 且Aj则为具有属性Pj的车的放置方法集合，
(1) |Aj |= |Xj | (n - 1)! (j=1,2,…,n) S |Aj | = (|X1|+|X2|+…+|Xn|) (n - 1)! 令r1 = (|X1|+|X2|+…+|Xn|) 则S |Aj | = r1 (n - 1)!
上，使得每一个男孩都面对到另一个男孩。他们能够
有多少种方法改变座位使得每人面对的男孩都不同？
（所有的座位都是一样）
1
8
2
解：应用容斥原理 假设8个男孩分成了四对： (1,5), (2,6),
7
3
6
4
5
(3,5), (4,8)。 假设A1, A2, A3, A4分别表示仍然有(1,5), (2,6), (3,7), (4,8)出现的座法的集合。
且 Aj 为具有属性Pj的车的放置方法集合。
由容斥原理得，
p( X1, X 2 ,..., Xn3 ))=| P( X1, X 2 ,..., X 3n) |
=|
A1
!Ç
A2
!Ç
…
"
!Ç
An
|
共有n个S，第k个 求和是对所有{1, 2, …, n}的k子集 求和
å å = n!- | Ai | + | Ai Ç Aj | å -... + (-1)k | Ai1 Ç Ai2 Ç ... Ç Aik | å +... + (-1)n | A1 Ç A2 Ç ... Ç An |
计算Ai: A1可看作12, 3, …, n的所有排列的集合，因此 |A1|=(n-1)!。显然，由于 对称性，对任意i，都有|Ai|=(n-1)!
计算AiÇ Aj : 讨论两种情况： (1) AiÇ Ai+1 可看作1, 2, …, (i, i+1, i+2), i+3, …, n的所有 排列的集合，因此| AiÇ Ai+1 |=(n-2)!。 (2) Ai Ç Aj, 其中j>i+1 可看作1,2,…, (i, i+1), i+2, …,
问题：怎么计算 r2？
ü r2：两个车放到禁止位置的放法数目
满足第 j 行的车不在 Xj 中的列，i=1,2,…,n，共 有多少种放置方法？
(3) 令rk为把k个非攻击型车放到n*n的棋盘中 的方法数，其中每个车都处在禁止放置的位 置上（由Xik给出），则
å | A i1 Ç A i2 Ç ... Ç A ik | = rk ( n - k ) !
一个：3*4=12
r2=1+2+3*4=15
F1
X XX
12
XX XX
F2
3 4 56
r3：3个非攻击车
F1
放入禁放位置的
6X
可能数(分F1 , F2讨论) p F1中放1个，F2中放
2个：3*2
5 4
X
X
XX
p F1中放2个，F2中放 3
1个：1*4
2
p r3=1*4+3*2=10
1
XX
F2
r4=1*2：F1中放2个， F2中放2个，
7
3 (3,5), (4,8)。
6
4
5
假设A1, A2, A3, A4分别表示仍然有(1,5), (2,6), (3,7), (4,8)出现的座法的集合。
则使得每人面对的男孩都不同的坐法的数目为： |A1∩A2∩A3∩A4|。
由于每个座位代表一种不同的动物，因此8位男孩的排列总数为8！
例：旋转木马有8个座，每个座位都代表一种不同的
则使得每人面对的男孩都不同的坐法的数目为： |A1∩A2∩A3∩A4|。
由于所有座位都是一样，因此8位男孩的排列总数为 7！
第六章 容斥原理应用
6.1 容斥原理 6.2 带重复的组合 6.3 错位排列 6.4 带有禁止位置的排列 6.5 另一个禁止位置问题
6.4 带有禁止位置的错位排列
设X={1,2,…,n}, 它的排列用i1i2…in表示, 错位排列是使 得 i1¹1, i2¹2,…, in ¹n 的排列。
i1∈{1}, i2 ∈ {2},…, in ∈ {n}
( j, j+1), …, n 的所有排列的集合，因此| Ai Ç Aj |= (n-2)!。 所以，对任意i, j，都有| AiÇ Aj |= (n-2)!。
同理可证 ，对于每个k子集{i1,…, ik}，有
| Ai1 Ç! Ai2 Ç! "… !Ç Aik | = (n-k)!
由容斥原理公式可得：
例：旋转木马有8个座8个男孩脸朝里围坐在旋转木马 上，使得每一个男孩都面对到另一个男孩。他们能够
有多少种方法改变座位使得每人面对的男孩都不同？
（所有的座位都是一样）
1
8
2
1
7
2
7
3
4
3
6
4
5
5
8
6
循环排列！
1
7
=
4 5
=8
7
1
6
2 3
8 6
2
5
3
4
例：旋转木马有8个座8个男孩脸朝里围坐在旋转木马
满足第 j 行的车不在 Xj 中的列，i=1,2,…,n，共 有多少种放置方法？
令属性Pj表示 j行的车放置在Xj所给出的禁止位置中， 且Aj则为具有属性Pj的车的放置方法集合，
(2)考虑Ai Ç Aj：在第i、j行，车分别放入了Xi和Xj 所给出的禁止位置中（不能在同一列！）
设r2是把两个非攻击型车放到棋盘禁止位置上的方 法数，则 S | Ai Ç Aj | = r2 (n - 2)!
令Ai是i(i+1)出现的排列的集合，i=1,2,..,n-1，则有
Qn= | A1 Ç! A2 !Ç"… !Ç An-1 | . =|S|-S|Ai|+S|AiÇ Aj|-S|AiÇ Aj Ç Ak | +…+(-1)n-1|A1ÇA2Ç…ÇAn-1|
令Ai是i(i+1)出现的排列的集合，i=1,2,..,n-1
第一天： 1 2 3 4 5 6 7 8
第二天： 3 2 4 5 8 1 7 6
思想：确定｛1,2,3,4,5,6,7,8｝的排列中不会出现 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78的那些排列的数量。
存在某些相对禁止位 3 2 1 4 8 5 7 6
置的排列的计数问题
相对禁止位置排 Xn 是{1, 2, …, n}的子集(可以为空集)， 用P(X1 , X2 , … , Xn)表示{1,2,…,n}的排列i1i2…in的 集合，使得：
i1∈ X1， i2 ∈ X2，…， in∈ Xn
记 p( X1 , X2 , … , Xn ) = | P(X1 , X2 , … , Xn) | 表示 P(X1 , X2 , … , Xn)中排列的个数
动物。8个男孩脸朝里围坐在旋转木马上，使得每一
个男孩都面对到另一个男孩。他们能够有多少种方法
改变座位使得每人面对的男孩都不同？
1
计算|A1|：因为每个座位都代表一种不同
8
2 的动物，因此|A1|=8*6！。
显然，由于对称性，|Ai|= 8*6!, i=1,2,3,4.
7
3 计算|A1∩A2|=8*6*4!=48*4!，
r5=r6=0
12 3 4 56
由定理6.4.1，在上述棋盘中放入6个不可区分的非攻击
型车，且没有车占据禁放位置的方法数等于：
6!-7*5!+15*4!-10*3！+2*2!= 226
实用性
n 定理6.4.1有实际计算价值，只有当计算rk比 较容易。rk实际上是在计算禁止位置和非禁 止位置互换的“补”盘上放置
3
与左图所示的在棋盘上有
4X
5
X
禁止位置的5个非攻击型车 X 的放置一一对应
X
35421
问题：满足第j行的车不在Xj中的列，i=1,2,3,4,5， 共有多少种放置方法？
满足第 j 行的车不在 Xj 中的列，i=1,2,…, n，共 有多少种放置方法？
应用容斥原理
令属性 Pj 表示第 j 行的车放在Xj所给出的禁止位置中，
6
5
4
同样，由于对称性， |Ai∩Aj|=48*4!, i,j =1,2,3,4, i≠j.
计算|A1∩A2∩A3|=8*6*4*2!=192*2!, 同样，由于对称性,|Ai∩Aj∩Ak|=192*2!, i, j, k =1,2,3,4, i≠j≠k.
计算|A1∩A2∩A3∩A4 |=8*6*4*2=384。 由容斥原理可得（略）。
1
1
8
√ 2
7
2
7
3
4
3
6
4
5
3
5
8
6
7
2
5
1
4
8
6
例：旋转木马有8个座，每个座位都代表一种不同 的动物。8个男孩脸朝里围坐在旋转木马上，使得 每一个男孩都面对到另一个男孩。他们能够有多少 种方法改变座位使得每人面对的男孩都不同？
1
解：应用容斥原理
8
2
假设8个男孩分成了四对： (1,5), (2,6),
Qn：{1, 2,…, n}的排列中没有12, 23, …, (n-1)n 这 些模式出现的排列的个数
Q1=1 Q2=1 Q3=3
Q4=11
1
21 132 213 321
用容斥原理计算Qn:
令S为{1,2,…,n}的全部排列, Qn是S中没有12, 23, …, (n-1)n 这些模式的排列的个数。
例：X1 = {1, 2}, X2 = {2, 3}, X3 = {3, 4}, X4 = {4,1}是 {1, 2, 3, 4}的子集，求p(X1 , X2 , X3 , X4) 。 解：（方法1：直接计算） P(X1 , X2 , X3 , X4) 中的排列i1i2i3i4满足下列条件：
i1≠1, 2; i2≠2, 3; i3≠3,4; i4≠1, 4。 等价于 i1=3或4; i2=1或4; i3=1或2; i4=2或3。 因此， P(X1 , X2 , X3 , X4) = {3412, 4123}
定理6.4.1 将n个非攻击型不可区分的车放到带有 禁止位置的n*n的棋盘中，放法总数等于：
n !- r1 ( n - 1) !+ r2 ( n - 2 ) !- ... + ( - 1) k rk ( n - k ) !+ ... + ( - 1) n rn
r1, r2,…, rn的计算依赖于具体的问题！
例：带禁止位置的“非攻击型车”
1X
2 XX
3
XX
4
XX
5
6 1 234 56
求rk
n r1： 1个非攻击车放入 禁放位置的可能数
1
2
¨ r1=3+4=7
n r2：2个非攻击车
3
放入禁放位置的
4
可能数(分F1 , F2讨论) 5 ¨ F1中放入两个：1 6 ¨ F2中放入两个：2 ¨ F1，F2中分别放入
定理6.4.1 将n个非攻击型不可区分的车放到带有 禁止位置的n*n的棋盘中，放法总数等于： n !- r1 ( n - 1) !+ r2 ( n - 2 ) !- ... + ( - 1) k rk ( n - k ) !+ ... + ( - 1) n rn
r1, r2,…, rn的计算依赖于具体的问题！ ü rk：k个车放置在其禁止位置上的放置方法数， k=1,2,…, n ü rk的计算不考虑剩下的n-k个车的放置 ü 任意两个车不在同一行或同一列
5X 4
3
X X
2X
X
1
X
X
1 2345
5
XX
X
4 XX
XX
3 XX X X X
2
X XX
1X
XX
1 2345
6.5另一个禁止位置问题
例：设一个班级8个学生每天练习走步。这些学生 站成一列纵队前行，第二天重新排队，使得没有一 个学生前面的学生与第一天在他前面的学生是同一 个人。他们有多少种方法交换位置？
定理6.5.1 对于n³1,
å Qn
=
n!+
n -1 k =1
(
-1)
k
çèæ
n
k
1÷øö(
n
-
k )!
=
n!-çæ è
n
1
1
÷ö(n ø
-
1)!+çæ è
n
2
1
÷ö(n ø
-
2)!+
!…
+
(-1)
n -1
çæ è
n n
-
1 1
÷ö1! ø
例：旋转木马有8个座，每个座位都代表一种不同 的动物。8个男孩脸朝里围坐在旋转木马上，使得 每一个男孩都面对到另一个男孩。他们能够有多少 种方法改变座位使得每人面对的男孩都不同？