复合材料层合板的刚度与强度分析

aaaA

1
Et
2

2


M
x

D
M y D

M
xy

0
D D
0
0


k
x

Et3
0 1
ky aaaD
D


k
x
y


12(1 2 )

2
显然，各向同性单层板无拉弯耦合效应
织物构成的层合板
[(±45)/(0,90)]
混杂纤维层合板 夹层板
[0C/45K/90G] [0/90/C5]S
层合板分类-按单层板相对于中面的位置
对称层合板：
铺设角相同 z =-z
非对称层合板
材料相同 Qijz=Qij-z
反对称层合板 一般层合板
夹芯层合板
zk zk1

0 x
0 y
0 xy
dz

zk zk1
kx ky kxy
zdz



Mx
My

N
QQ1121
Mxy

k1 Q16
Q12 Q22 Q26
Q16
Q26 Q66

经典层合板理论
第 k 层应力为：
xy Q Q1121
Q12 Q22
Q Q1266
xy00
zkkxy

xyk Q16 Q26 Q66k x0y kxy
虽然沿层合板厚度的应变是线性变化的，但 由于层合板每层的 Q ij 可以不同，故应力变 化一般不是线性的

v

v(x,
y,z)
w w ( x , y , z )
经典层合板理论
由直法线和等法线假设 yz0,zx0,z0：
z
w z

0


zx


u z

w x

0


zy


v z

w y

0
经典层合板理论
将上面三式分别对 z 积分得到：
由于耦合刚度 B i j 的存在，层合板面内内力 会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲 内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此 现象被称为拉弯耦合效应
经典层合板理论
层合板的合力及合力矩可用块矩阵表达：
N A B0
M B
Dk

式中的 0 为层合板的中面应变列阵，k 为曲 率列阵。上式即为用应变表示内力的一般层 合板的物理方程

kxy

Mx My


B11 B12
B12 B22
B16 B26


0 x
0 y


D11 D12
D12 D22
D16 D26

kx ky

Mxy

B16
B26
B66


0 xy

D16
D26
D66

kxy

经典层合板理论
式中： N
N
Aij (Qij )k (zk zk1) (Qij )k tk

k 1
k 1

Bij

1 2
N
(Qij )k (zk2
k 1
zk21)
N
(Qij )k tk zk
k 1

Dij


Q
22

E2 1 1 2 2 1
Q 6 6 G 1 2
单层板的刚度
将弹性模量和泊松比代入上式中可得：
Q 1 1 Q 2 2 1 E 2 ,Q 1 2 1 E 2 ,Q 6 6 2 ( 1 E ),Q 1 6 Q 2 6 0
（1）各向同性单层板
各向同性材料有两个独立的弹性常数，各
方向的弹性性质相同。设弹性模量和泊松
比分别为：E ,
根据折减刚度 矩阵计算公式

Q
1
1


E1 1 1 2
21
Q 12

12 E 2 1 1 2 2 1

21E 1 1 1 2 2 1




k
x
z ky



xy



0 xy


k
xy

等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
中面的应变为：

a
a
u
0






0
x
0 y

0 x y

x

1 3
N
(Qij )k (zk3
k 1
zk31)
N
(Qij )k (tk zk2
k 1
tk3 ) 12
其中 tk zk zk1 为第 k 层的厚度，z 是第 k 层中心的坐标值 zkzk11 2(zkzk1)1 2(zkzk1)
经典层合板理论
上式中的 Aij , Bij , Dij 依次称为拉伸刚度，耦合 刚度及弯曲刚度
k 1
zk31)
N
(Qij )k (tk zk2
k 1
tk3 ) 12
单层板的刚度
得：
A11

A22

A

Et
1
2
,
D11

D12

D

Et2
12(1
2)
aaaaaaA12 A,aaBij 0,aaD12 D
aaaaaaA66
1
2
A, aaaaD66
设板厚为 t ，代入下式：

N
N
Aij (Qij )k (zk zk1) (Qij )k tk

k 1
k 1

Bij

1 2
N
(Qij )k (zk2
k 1
zk21)
N
(Qij )k tk zk
k 1

Dij
1 3
N
(Qij )k (zk3
经典层合板理论
经典层合板理论-层合板的合力
层合板上的合力 Nx, Ny, Nxy 及合力矩 Mx,My,Mxy （都是指单位长度上的力或力矩）
经典层合板理论
合力及合力矩的定义式为：


N
x

Ny

N
x
y

h
2

x

N
h
2
y xy

单层板的刚度
（2）特殊正交各向异性单层板 这种材料的自然坐标轴与材料主向一致，折
减刚度矩阵中元素的计算结果为：
Q11
E1
11221
,Q12
12E2 11221
21E1 11221
aQ22
E2
11221
,Q16
Q26
0,Q66
G12
单层板的刚度
计算拉伸刚度，耦合刚度及弯曲刚度得：

a
a
v0 y

u0

v0

y x
中面的曲率为：
2w

k
x

ky

k
x
y



a


a


2
x2 2w y2
2w

x y
其中 k x y 为中面扭曲率
z =--z
Qijz =Qij-z
经典层合板理论
经典层合板理论的基本假设 层合板的应力和应变关系 层合板的合力及合力矩
层合板的限制条件
层合板为薄板 层合板各单层粘接良好，变形连续 整个层合板等厚度
经典层合板的基本假设
直法线假设： yz 0,zx 0
Nx Ny



A11 A12
A12 A22
A16 A26


0 x
0 y


B11 B12
B12 B22
B16 B26

kx ky

Nxy

A16
A26
A66


0 xy

B16
B26
B66
A11 Q11t, aaaaaaaaD11 Q11t 3 12 A12 Q12t, aaaaaaaaD12 Q12t 3 12 A22 Q22t, aBij 0, aD22 Q22t 3 12 A66 Q66t, aaaaaaaaD66 Q66t 3 12 A16 A26 0, aaaaaaD16 D26 0
等法线假设： z 0
平面应力假设： z0； xz=0； yz=0
忽略正应力假设： z 0
经典层合板理论
由N层任意铺设的单层板构成 取XOY坐标面与中面重合 板厚为t
经典层合板理论
板中任意一点的位移分量 u , v 和 w 可表达为：
u u(x, y,z)
第三讲 层合板的刚度与强度
层合板
层合板是指由两层或两层以上的单层板粘合在 一起成为整体的结构元件
层合板可以由不同材质的单层板构成，也可以 由不同纤维铺设方向上相同材质的各向异性单 层板构成。
主要内容
层合板的表示方法 经典层合板理论 单层板的刚度 层合板的刚度分析 层合板的强度分析
层合板的几何标志



zk zk1

0 x
0 y
0 xy
zdz

zk zk1
kx ky kxy
z2dz



经典层合板理论
注意到 x0,y0,x0y,kx,ky 和 k x y 不是 z 的函数，而是中 面值，因此可以从求和记号中移出得到：
单层板的刚度
内力-应变关系为：
N

N

N
x y

w w(x, y)

u


u0(x,
y)

z
w(x, x
y)

v


v0 ( x,
y)

z
w
(x, y
y)
式中的 u0 , v0 , w 表示中面的位移分量，并且只 是坐标x , y 的函数，其中w 为挠度函数
经典层合板理论
将上面得到的表达式代入几何方程得到：

x
1
2
D
aaaaaaA16 A26 0,aaaD16 D26 0
单层板的刚度
可得各向同性单层板的内力-应变关系：



N
x
N y


A A

N
xy

0
A A
0
0 0 1
A

0 x
0 y
0 xy
上式中的 z k , z k 1 可由下图确定：
经典层合板理论
由于每个单层的刚度矩阵在单层内不变，因 此可以从每一层的积分号中提出：
Nx
Ny

N
QQ1121
Nxy

k1 Q16
Q12 Q22 Q26
Q16
Q26 Q66




一般层合板的物理关系很复杂，这是由于耦 合刚度阵 B 的存在所产生的耦合效应引起， 即拉弯耦合，此外，由于 A16 , A26 的存在产生 拉剪耦合，由于 D16, D26 的存在产生弯扭耦合
2. 单层板的刚度
各向同性单层板 特殊正交各向异性单层板 一般正交各向异性单层板
单层板的刚度


u x

u0 x

z
2w x2
y


v y

v0 y

z
2w y 2



xy

u y

v x

( u0 y

v0 x
)

2z
2w xy
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：


x
y




0 x
0 y
d
z

k 1
zk zk 1


x
y
xy
d
z
M

x

M y

M
xy
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h
2

x

N
h
2
y xy

zdz

k 1
zk zk 1

x
y
xy
z
d
z
经典层合板理论
经典层合板理论
对层合板的物理方程进行矩阵运算得到：
0 A BN
k
BT
DM
A A1 A1B(DBA1B)1BA1
式中：B (A1B)(DBA1B)1
D (DBA1B)1
经典层合板理论
上式中的子矩阵 A,B,D 分别称为面内柔度矩 阵，耦合柔度矩阵和弯曲柔度矩阵。矩阵B 与矩阵 B T 是相互转置的，但未必对称
层合板的表示方法
[03/902/45/-453]S
层合板的表示方法
一般层合板
[0/45/90/-45/0]
对称层合板 偶数层 奇数层
具有连续重复铺层 具有连续正负铺层
[0/90]S [0/45/90]S [02/90]S [0/±45/90]
有多个子层合板构成的层合板 [0/90]2