2019年高考(全国卷)理科数学试题评价与质量分析报告

2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题评价与质量分析报告
一．对2019年高考理科数学试题(全国新课标Ⅱ卷)的分析
2019年甘肃省高考数学理科试题(全国新课标Ⅱ卷)（新课标全国卷Ⅱ卷适用地区：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、西藏、陕西、重庆；海南）遵循《课程标准》的基本理念，严格依据《2019年全国(新课标卷)考试说明》的基本要求，全面贯彻新时代党的教育方针和全国教育大会精神，鲜明体现“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”的教育目标，以落实立德树人、服务高校人才选拔、导向中学教学为命题出发点，较好地坚持了“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，在以能力立意的命题思想指导下，注重了数学的学科特点和育人功能，体现了知识的基础性和综合性，着意将知识、能力与素质融为一体，既全面考查了必备知识和基本技能，又着重考查了核心考点、数学思想、核心素养、数学应用、创新意识、传统文化、“五育”精神以及考生进入高校继续学习的潜能．与2018年相比，主观题在各部分内容的布局和考查难度上进行了适当的调整和动态设计，这在一定程度上有助于考查考生灵活应变的能力以及自我调整心态的素质，有助于学生全面学习和掌握重点知识和重点内容，同时也有助于破解僵化的应试教育.试卷的结构保持了全国卷高考数学试卷稳健的一贯风格，试题设计体现了“大稳定、小创新”的成熟设计理念，科学灵活地确定试题的内容和顺序,难度适中，结构合理，有较好的区分度.
表1 2019年高考理科数学试题(全国卷Ⅱ)试卷结构及考点分布表
解答20题)，圆锥曲线占22分（选择8题、选择11题、解答21题），概率统计占22分（选择5题、填空13题、解答18题），立体几何占22分（选择7题、填空16题、解答17题），三角函数与解三角形15分（选择9题、选择10题、填空15题），数列12分（解答19题），不等式及应用20分（选择1题、选择6题、选修4-5含绝对值的不等式），选考题10分(极坐标方程、不等式)，集合5分（选择1题），复数5分(选择2题)，数学运算5分(选择4题)，平面向量5分(选择3题).从主干知识的分布不难看出:试题难度结构合理，提高了区分层次，由易到难，循序渐进，具有一定梯度，能较好区分不同程度的学生，有利于高校选拔.如选择题第1--3题，5--8题，第10题，填空题第13、14、15题、解答题第17、18、19题都属于基础题，对于运算能力较强的学生都能较顺利解答；选择题第4、9、10、11题，填空题第16题，选考题第22、23题难度
中等，对中档程度学生不会构成太大困难；选择题第12题，解答20题，21题这部分试题的设置虽是由浅入深，题目看似熟悉但上手并不容易，要完整解答更非易事.我们注意到2019年甘肃省高考数学理科试题(全国新课标Ⅱ卷)的一些非重点知识点没有考查，如命题的否定、数学归纳法、合情推理、二项式定理、三视图、基本不等式、定积分、程序框图、线性规划、统计图表、随机事件的分布列及期望、独立性检验和回归分析,尤其是以往常考的线性规划、程序框图是首次未考查，我们知道，程序框图、线性规划、二项式、三视图、定积分等内容在即将到来的新教材中被删除.同时，解答题的题目设置的顺序较以往有了很大的变化，立体几何解答题近几年来首次调整到第一道大题，数列连续考查，导数和圆锥曲线的第二问难度加大.所以相对于2018年(全国新课标Ⅱ卷)总体难度略有上升.具体来说有以下几个特点：
1．试题整体稳定，结构略有调整
2019年高考全国数学Ⅱ卷试题仍然延续了全国高考数学新课标卷稳中求变的风格，与2017年和2018年相比较，试题整体难度介于两者之间，个别题目有较大的难度.试卷最明显的变化是部分解答题的排列顺序有较大改变，变化幅度之大是前几年都没有的.立体几何位置提前到第17题，题目难度有一定下降，数列解答题放在了第19题，这是一个很明显的变化，但是立体几何和数列的难度和考察方向都与往年区别不大，只要掌握基本知识和方法就可以完整地解答；概率的难度也有一定的降低，回归到课本基础，只要学生掌握基本概念和基本公式，会对实际问题进行分析，就能较轻松的拿到分数；导数与往年相比运算量减小，难度略有降低，但本题第二问需要掌握“隐零点替换”技巧，对学生思维要求较高，体现了函数与方程、整体代换思想，总之本题入手容易，满分难；解析几何作为压轴题形式出现，第一问较为简单，但容易遗漏特殊情况，学生需逻辑严密，第二问有一定计算量，需要学生有扎实的运算能力和条件分析能力，拿到满分有较大的的难度；极坐标与参数方程考察形式跟以往相比有所改变，考察了学生读题审题能力，不等式考查的内容较为稳定，没有大的变化.尽管在试题排列顺序上有变化，但依然是由易到难，循序渐进，注重固本强基，夯实发展基础，稳中有变，助力破解应试教育.
2．体现基础考查，重难点有所倾斜
2019年高考数学试题，仍然注重对基础知识、基本方法、基本技能及高中数学主干知识的考查.在内容上，考察内容方面注重基础的考察，重点突出考察“三角函数”、“数列与不等式”、“立体几何”、“概率统计”、“解析几何”、“函数与导数”，这六大板块依旧是考察的重点，依然体现了“以学生为本”，“在基础中考察能力”的要求.试题起点较低，以集合、复数、向量、数学运算、数字特征等多道容易题开始，便于考
生的心理稳定和思维的展开.但是考察的重难点开始往新课改的方向有所倾斜，前几年必考题型在今年的高考中有所删减，尤其是线性规划和算法程序框图的删减，删减的方向恰好体现了新课改改革方向，也侧面传递了一个信号，今后的教学和教研中要结合新课程教学理念所呈现出的科学性、先进行以及学习理念、学习方式，促使新课改革的不断深入.
3．重视通性通法，深入考查数学思想方法
今年的试题还淡化特殊技巧，注重通性通法的考查和对数学思想的考查.尤其是选择题和填空题大部分都比较基础和常规，解答题的17、18、19题都是常规的考查，和往年考题类似，体现了通性、通法，学生只要掌握基本概念，又扎实的基本功和运算能力，解答这些题目应该会比较轻松.同时，试题以数学基础知识、基本能力、基本思想方法、基本活动经验为考查重点，加强针对性，有效地检测考生对数学知识中所蕴含的数学思想方法的掌握，如12题函数考察了函数图像的平移和伸缩变换，体现了数形结合思想，并没有涉及特殊函数等更综合的内容，整个试卷还考查了函数与方程思想、分类讨论思想、化归思想等重要数学思想方法，掌握了数学思想方法，就能透彻的理解数学知识，有助于创造能力的培养.
4．结合生活实际，重视数学应用能力考查
2019年高考数学试题中出现了很多与时事发展的交汇处寻找创新点的题目，与国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际紧密联系起来，通过设置真实的问题情境，考查考生灵活运用所学知识分析解决实际问题的能力.如第4题体现了嫦娥四号探测器实现人类历史上首次月球背面软着陆，第13题体现了我国高速发展的高铁事业等，这样加强了数学与时事之间的内在联系，反映了当前国家对基础设施建设的高度重视，体现“立德树人”的教育理念，考查更加立体；考查学生的阅读理解能力与运用数学模型解决实际问题的能力，也较好的考查学生的知识迁移水平，同时对推理步骤的严谨性，答题过程的条理性，解题过程的探索性都有较高的要求，具有浓厚的时代气息，体现了数学与社会的密切联系.
5．渗透数学文化，培养数学精神
考纲特别强调对于数学文化的考查，今年的考题仍然延续了这一点，如第16题，考察了中国悠久的金石文化与立体几何的联系.数学素养不仅涵盖了数学的基础知识、基本技能和它们所体现的数学思想方法与能力，还有在此基础上的应用意识和创新意识，还渗透到其他学科和领域.
总之，综观今年的数学卷，稳中有新，紧扣大纲,注重基础和能力，更注重学生的数学核心素养的考查，很好的体现了高考的选拔功能.2019年高考数学Ⅱ卷试题对中学数学教学起到了很好的导向作用，明确体现在回归课本，夯实基础，重视数学思想方法等，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力，实现从重视结果教育到重视过程教育的转变.
二．考生答卷质量分析
（一）数据统计（省考试院提供）
表2 2019年甘肃省高考理科数学试卷分析统计表
样本量: 133286 题号平均分标准差难度区分度
T1_1 4.68 1.23 0.94 0.17
T1_2 3.99 2.01 0.80 0.26
T1_3 3.71 2.19 0.74 0.39
T1_4 2.76 2.48 0.56 0.40
T1_5 4.54 1.44 0.91 0.15
T1_6 4.34 1.70 0.88 0.23
T1_7 3.91 2.06 0.78 0.29
T1_8 4.22 1.81 0.84 0.39
T1_9 2.86 2.47 0.57 0.50
T1_10 3.93 2.05 0.79 0.39
T1_11 2.25 2.49 0.45 0.41
T1_12 1.53 2.30 0.31 0.21
样本量: 133286 题号平均分标准差难度区分度
T2_13 4.14 1.88 0.83 0.20
T2_14 1.48 2.28 0.30 0.47
T2_15 3.75 2.17 0.75 0.41
T2_16 1.87 1.65 0.37 0.30
T2 11.23 4.85 0.56 0.34
T3_17 8.17 3.15 0.68 0.37
T3_18 4.77 4.14 0.40 0.45
T3_19 7.42 4.01 0.62 0.51
T3_20 1.39 1.55 0.12 0.13
T3_21 2.91 1.91 0.24 0.21
总分82.67 24.94 0.55
样本量：110010 题号平均分标准差难度区分度
T3_22 4.32 1.82 0.43 0.30
样本量：23276 题号平均分标准差难度区分度
T3_23 2.76 2.45 0.28 0.46 表3 2019年甘肃省高考理科数学客观题分析（单位：人）
（二）考生答卷情况分析
1．选择题
选择题主要考查基础知识和基本运算能力.第1题到第10题几乎是历年高考的必考考点，涉及内容是集合运算、共轭复数、平面向量、数学运算、样本的数字特征、函数的单调性、点线面的位置关系、圆锥曲线、三角函数、三角恒等变换等，题型常规，考生对题型熟悉，能较好解决.第11、12题综合性、运算量加大，注重对学生数学素养、数学思想方法的考查.主要失分在第4、9、11、12题，第4题结合“嫦娥”四号实现人类历史首次月球背面软着陆的技术突破考查近似估算的能力，明确考查数学核心素养中的数学运算，学生一看题就蒙了，乍一看像是考物理，题目文本较长，信息较多，学生感觉无从下手，不能理解清楚题意而失分.第9题主要考查三角函数的图像与性质，三角函数的周期性与单调性，本题以三角函数为载体，考查了三角函数的图像及图像的变换，三角函数的周期性，数形结合的思想，有一定的综合度，难度不算大，但是学生的综合能力较弱，导致失分.第11题考查了双曲线和圆的综合应用，求解双曲线的离心率问题，可从方程的角度入手，根据题目给定的等量关系列出齐次式求解，也可利用数形结合，由等量关系直接得出，从得分率看到，学生分析能力、运算能力明显不足，导致失分.第12题是函数问题考查递推函数，函数的图像，根据函数的值域，类似函数的周期性寻找满足条件的自变量的取值，综合性较强，很多考生综合分析问题、解决问题的能力较弱而失分.
表4 选择题各题满分率统计表
2．填空题
填空题依然考查基础知识和基本运算能力.第13、14题的平均分分别为4.14分、3.75分，得分情况较好，第13题考查了样本的数学期望的理解与计算，第14题考查了余弦定理和三角形面积的计算，都属于基本问题，绝大部分考生都能顺利完成.第14题是函数的奇偶性与指数、对数运算的综合应用问题，难度不大，但是平均分仅有1.48分，甚至比第16题得分都低，是填空题得分情况最差的一题，反映出学生对于综合性稍强的函数性质与指数、对数运算的应用不熟练，逻辑关系分析不到位.第16题考查了半正多面体的面与棱长的计算，对空间想象能力及综合思维能力要求较高，是考生失分的主要原因.
3．解答题
第17题属于立体几何问题，是长方体中关于线面垂直的证明以及二面角的正弦值的求解，此题与2018年第20题题型设置基本相似，难度降低，考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、基本运算能力等.第一问是线面垂直的证明，可以用线面垂直的判定定理来证明，定理的正确使用及规范的表述是关键.第二问先利用题设条件推出侧棱长与底面长的关系，再建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的正弦值，从学生答卷情况看，基本上大部分考生都可以正确建系，准确找点，有效计算，属于考生比较熟悉的题型.抽样统计300份答卷的得分情况来看，满分34份，占11.3%，得分10分以上166份，占55.3%,超过了半数.考生答卷中主要存在的问题有：
①第一问中考生不能准确找到关键的线线垂直，不能进行有效的证明；
②考生对于线面垂直定理记忆不准确，应用不熟练，只凭自己感觉写出结果；
③建系后未能找对点的坐标；
④未能找到侧棱长和底面边长之间的关系；
⑤法向量的求解有误，主要错误在于计算失误；
⑥夹角公式使用错误，将余弦错用为正弦；
⑦同角三角函数基本关系的运用出现错误.
第18题属于概率问题，是以乒乓球比赛为实际背景，考查随机事件的概率，相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，并且考查对实际问题的分析能力，理解离散型随机变量取值的实际意义等.这样的背景与学生的日常活动密切相关，但实际情况并不一定是这样，此题是近些年高考指挥棒为倡导素质教育给出的明显的信号，学生应该去做一些有益于身体健康的活动，并且在活动中要注意对规则的学习和研究.学生获取知识的渠道是多种多样的，而不是仅仅在教室里和书本上.但从答题情况来看，考生总体答题情况并不理想，抽样统计500份答卷的得分情况来看，满分卷仅60份，占12%，而0分多达94份，占18.8%，其余分值占比都较小，均未超过9%，明显两极分化严重，反映出学生对概率相关概念还是比较模糊，对实际问题的分析不到位.考生答卷中主要存在的问题有：
①不明确题目信息，对题意理解不清；
②概念模糊，概率计算公式记忆不到位；
③未能明确变量所代替数值的含义；
④答非所问，有不少考生求了分布列和期望；
⑤计算出现错误.
第19题属于数列问题，是以数列为载体设置的考题，考查了数列的递推公式的应用，等差、等比数列的定义，并利用等差、等比数列的定义进行证明，以及等差、等比数列通项公式的求解.考查考生的观察能力、分析能力、解决问题的能力和整体意识，首先要观察证明的数列的通项形式和已知条件中的递推式的关系，其次要明确等差、等比数列的定义，要记清等差、等比数列的通项公式，还有方程思想的应用.抽样统计600份答卷的得分情况来看，满分卷达116份，占19.3%，占比最高，但0分卷有44份，占7.3%.此外，专门抽查了100份0分答卷，其中43份未做达，交了白卷，其余57份答卷主要是仅仅计算了数列的前几项等.考生答卷中主要存在的问题有：
①对题意理解不清；
②考生对于如何利用定义证明等差、等比数列不清楚；
③没有明确表述等差、等比数列的基本量，未能说明数列的首项及公差、公比；
④考生对于等差、等比数列的通项公式记忆不清；
⑤运算化简出现严重失误.
第20题属于导数与函数综合问题，考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，切线问题，以函数为载体考查考生的基本运算能力、分析问题和解决问题的能力以及应用意识.第一问是求具体函数的单调区间的问题，并且利用零点存在性定理证明函数的零点个数，属于常规问题，但是零点的找取要能根据函数解析式的特点，有效的选择自变量，计算得出对应的函数值出现异号，要具备一定的观察和探索能力，同时，还要能迁移得出另一零点，对很多考生来讲就出现了困难.第二问是证明切线与另一曲线也相切，关键是切线与另一曲线的切点并不清楚，需要找到那个切点，并且转化为证明两切点连线的斜率和切线斜率相等，有一定的难度.抽样统计500份答卷的得分情况来看，满分仅1人，10分以上仅5人，仅占1%，主要得分集中在2分及以内，共427分答卷，占85.4%，其中0分有104份，占20.8%，1分有149份，占29.8%，基本上是仅求导正确而得分.考生答卷中主要存在的问题有：
①导函数求解错误；
②未考虑函数的定义域；
③未能找到使函数值有正负变化的自变量；
④不会求切线方程；
⑤未能找到与另一曲线的切点.
第21题属于解析几何问题，是高考的传统难题，考查利用直接法求动点的轨迹方程，椭圆的基本性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，证明两直线的垂直，求三角形面
积的最大值，考查转化问题的能力和基本运算能力.第一问设计了直接法求动点轨迹方程，并说明所得曲线形状；第二问设计了在第一问的条件下利用椭圆的基本性质和直线与椭圆的位置关系证明两直线的垂直，求解三角形面积的最大值，综合性强，难度大，重点考查思维的灵活性、运算能力以及综合应用知识解决问题的能力.本题满分卷共计53份，仅占0.04%，得6分以上共计1663份，占1.24%，而得0分的多达30118份，占22.6%，其中一半的学生是空白卷，其余的进行了作答但未答对任何关键点.考生答卷中主要存在的问题有：
①很多考生因计算速度问题，没有时间完成本题；
②斜率公式记忆不清；
③有很多考生一开始就设定曲线为椭圆，先入为主，还有考生利用双曲线和抛物线的方程进行求解；
④化简运算错误，计算能力不过关；
⑤未考虑曲线方程的限制条件；
⑥未能说明曲线形状或是将椭圆的“椭”写错；
⑦思路不清晰，基本方法不熟悉，第二问基本上没有明确的解题思路；
⑧最值求解困难.
第22题是选作题，考察4-4极坐标与参数方程，选做此题作答的考生有110010人，占总人数的82.5%，与2018年选做此题的比例相比略有上升，这也反映出我省大部分高三教师在复习备考过程中对选做题的导向.本题重点考查极坐标方程的应用.第一问根据点在曲线上，已知极角求极径，根据已知条件求直线的极坐标方程，第二问求动点轨迹的极坐标方程.考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力，可以利用极坐标直接求解，也可以转化为直角坐标求解之后再转化，方法灵活.考生答卷中主要存在的问题有：
①考生对于特殊角的三角函数值的记忆出错；
②不会求直线方程；
③化简运算错误，计算能力不过关；
④未考虑曲线方程的限制条件.
第23题是选做题，考察选修4-5不等式，选做此题作答的考生有23276人，占总人数的17.5%，与2018年选做此题的比例相比略有下降，第一问考查含绝对值不等式的解法，第二问考查含绝对值不等式中的含参问题，难度与2018年的试题相当.由于平时练习的少，所以此题的得分率与22题相比并未显示出过多的优势.考生答卷中主要存在的问题有：
①考生对绝对值的概念不清楚，不会利用定义法去掉绝对值；
②考生对于集合的运算没有掌握；
③逻辑思维能力弱，表述能力欠缺.
三．与2018高考理科数学全国Ⅱ卷对比
表5 2019年与2018年高考理科数学试卷各题均分统计表
四．教学及备考建议
2019年高考理科数学全国Ⅱ卷的试题稳中有变，在题目的顺序与重难点上有所调整，为2020年的高考改革预热.再纵观近几年的高考试题，可以看出命题的基本方向变化不大，关注对过程性知识的考查，关注对应用知识和创新意识的考查，注重检测学生的探究能力和学科素养.因此，考点、试卷结构、难度依然会保持稳定，内容不会有太大变化.所以，在2020年的高考数学复习中需要注意以下几个方面的问题:
1．认真研读《课程标准》、《考试大纲》和《考试说明》，关注时事热点，把握方向根据以往的惯例，2020年的《考试大纲》会在2019年《考试大纲》的基础上有所变化，教师更应关注到这些变化对高考命题走向的影响，要认真研读《课程标准》、《考试大纲》和《考试说明》．同时，热点问题不仅仅在语文、文科综合中体现，已经开始逐渐渗透到了数学的考试中，如选择题第4题体现的嫦娥四号探测器实现人类历史上首次月球背面软着陆，第13题体现的我国高速发展的高铁事业等，加强了数学与时事之间的内在联系，反映了当前国家对基础设施建设的高度重视，体现“立德树人”的教育理念，教师应当把这些融入到自己的课堂教学中．
2．构建知识网络，立足基础，注重回归课本
学生所学和复习过的知识虽然很多，但是学生是否已经掌握，能否有效地运用，这才是关键，所以需要对知识点进行梳理，把所学知识连成线、构成面、形成网，从而使知识系统化，层次分明，条理清楚，便于记忆，确保基本概念、公式等牢固掌握，运用自如.由于试题突出对基础知识考查，以中等难度的题为主，易、中、难的试题比例合理，容易题和中等题占120分左右.因此必须对基础知识进行全面复习，重点掌握.“源于课本，高于课本”是高考命题的基本原则，每年高考结束后，我们都会发现高考题中有许
多题目都是课本中的例题、习题的改编或重新组合，特别是选择题与填空题，其解题思路往往遵循课本中的习题或定理中的思想方法，真可谓“题在书外，根在书内”.实践表明，以课本为素材组织好高考复习是提高高考成绩的有效途径.因此建议在有限的复习时间内注意回归课本，吃透课本上的典型习题、例题，以不变应万变．
3．研究高考试题，关注命题特点，把握命题趋势
高考数学试题是命题专家根据考试大纲和课程标准，立足教材而科学设计的典型题，所以高考试题是备考的风向标，具有明确的指导性和重要的示范性．虽然主干知识每年重点考，知识点轮回考，但是每年高考试题都有创新.因此要重点研究试题的考点、试题的题型、试题的立意、试题的解法、试题的推广、试题的变化等问题，找准高考数学命题的特点，综合高考数学命题的规律，把握高考数学命题的方向，使备考落实到考点上，让高考备考更具有针对性与实效性，做到有的放矢，避免“题海战术”，对学生的复习起到事半功倍的作用．
4．注重数学思想方法，重视通解通法，关注社会生活
数学思想方法是对数学知识最高层次的抽象与概括，属于思维和能力的范畴，它是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁.数学思想方法可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，它是解数学题寻找思路与方法的抓手.纵观历年的高考试题，都突出了对数学思想方法的考查，以知识为载体，把对数学思想方法的考查寓于对各部分知识的考查之中，着重考查学生的能力和方法.近几年高考数学以数学基础知识、基本能力、基本思想方法为考查重点，无怪题与偏题，注重对数学通性通法的考查，试题淡化了特殊的解题技巧，很多试题的解答都是用常规解法，有利于学生正常发挥水平.近几年高考数学通过贴近生活实际的问题为背景设置试题，考查学生的阅读理解能力与建模能力，体现了数学在解决实际问题中的作用，体现了新课标的教育理念.预测2020年的高考数学中，对数学思想的考查、通解通法的考查、解决实际问题的能力的考查不会削弱，只会加强.所以在复习过程中一定要注重数学思想方法，重视通解通法，关注社会生活，培养数学建模能力．
5．强化定时训练，重视模拟考试，提高应试技巧
高考是选拔性考试，是以考生的解题能力高低论英雄，解题能力高，考分就高，所以高考备考的最终目标是提高学生的解题能力.由于考生运算能力差、答题不规范，造成考生在高考中经常出现会而不对的情况，由于解题速度和精确度不高，思维不严密，心理负担过重，造成考生高考成绩不理想.因此考前进行强化定时训练和模拟考试是非常必。