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例 用标号法求下图网络的最大流。弧旁的数字是（Cij,fij)。
v2
(4，3) v4
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
(3,0) vt
(2，1)
（s，4）v1
(2，2) v3
解：（一）标号过程
（1）给vs标号（0，∞）；未检查的标号点为vs。
（2）检查vs，在vs的前向弧（vs，v1）上，fs1=1，
不满足标号条件。此时，未检查的标号点为v2
（-1，1）
v2
(4，3)
v（4 2，1）
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
(3,0) vt
(2，1)
（s，v14）
(2，2)
v3
（-2，1）
（4）检查v2，在v2的后向弧（v3，v2）上，f32=1>0， 给
v3标号 (-2, l(v3)), 这里 l(v3) min l(v2 ), f32 min 1,1 1,
对发点 vs :
fsj
f js V(f)
(vs ,v j )A (vj ,vs )A
0
对收点 vt :
ftj f jt V(f)
0
(vt ,v j )A (vj ,vt )A
V(f)称为可行流 f 的流量,即发点的净输出量。
如(b)图是网络上的一
个可行流（运输方案） v2
10.5
（二）调整过程。找出增广链µ，并沿增广链µ调整流量 。
（1）找增广链：从vt开始，反向追踪，找出增广链µ， 如vt的第一个标号为k（或-k），则得到前向弧（vk，
vt）或后向弧（vt，vk)。检查vk的第一个标号，若为i（或i），又得到前向弧(vi,vk) 或后向弧(vk,vi) 。再检查vi的第 一个标号,依此找下去,直到vs。被找出的弧构成了增广链µ
(vi,vj) ∈ µ+ (vi,vj) ∈ µ-
0≤fij<Cij 0 < fij ≤ Cij
前向弧是 非饱和弧， 后向弧 是非零流弧，
8.4 V1
5.0 V2
3.3
V3
5.4
V4
Cij.fij
V5
4、截集与截量
定义4：网络D=（V，A，C），若点集V被剖分为两个非 空集合V1 和 V1，使vs∈V1，vt ∈ V1，V1V1= ， 则把所有始点在V1中，终点在V1中的弧构成的集合 （V1，V1）称为是分离vs和vt的截集。
8.3
3.3
v6
17.2
v3
6.3
v5
不难证明，任何一个可行流的流量V(f)都不会超过任一
截集的容量。即 V(f) C(V1, V1)
最小截集的容量是网络中的瓶颈容量。
定理1 最大流最小截定理。任一个网络D中，从vs到 vt的最大流的流量等于分离vs，vt的最小截集 的容量。
定理2 可行流f*是最大流 不存在关于f*的增广链。
3.2 5.1
6.3
µ=(v1,v2,v3,v4,v5,v6)
v4
11.6
3.3
v5
v6
17.2
后向弧
µ+={(v1,v2) ,(v2,v3), (v3 , v4),(v5,v6)}
µ- ={(v5,v4)}
定义3 设f是一个可行流, µ是从vs到vt的一条链,若µ满 足下列条件,称之为(关于可行流f的)一条增广链。
标号过程首先给vs标号（0，+∞），此时vs是未检查 的标号点，其余各点都是未标号点。
取一个未检查的标号点vi进行检查，给与vi相邻的 所有未标号点vj标号： （1）如果在前向弧（vi，vj）上，有fij<cij，则给vj标号
（vi，l(vj)）。其中l(vj)=min{l(vi)，cij-fij}，此时新 标号点vj成为未检查的标号点。 （2）如果在后向弧（vj，vi）上，有fji>0，则给vj标号 （-vi，l(vj)）。其中l(vj)=min{l(vi)，fji}，此时新标 号点vj成为未检查的标号点。 至此，点vi成为已检查过的标号点。重复标号过程，一旦 vt被标号，即得到一条从vs到vt的增广链µ，转入调整过程。
链的方向：若µ是联结vs和vt的一条链，定义链的
方向是从vs到vt。 v2
5.2
v4
10.5
3.2
11.6
v1
4.1 5.1
8.3
v3
6.3
3.3
v6
17.2
v5
前向弧：与链的方向一致的弧。前向弧全体记为µ+。
后向弧：与链的方向相反的弧。后向弧全体记为µ-。
v2
10.5
v1 4.1
8.3
v3
5.2
Cs1=5， fs1<Cs1, 给v1标号(s, l(v1)), 其中
l(v1) min l(vs ), (Cs1 fs1) min ,5 1 4
（-1，1）v2
(3，3)
(4，3) (1，1)
v4
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
（s，v14） (2，2)
(3,0) vt
(2，1)
量），记为C （V1，V1）， 即
C(V1 , V1 )
Cij
(v i , v j )(V1 , V 1 )
v2
5.2
v4
10.5
3.2
11.6
v1
4.1 5.1
8.3
3.3
v6
17.2
v3
6.3
v5
C （V1，V1）=5+3+5+6=19
v2
5.2
v4
10.5
3.2
11.6
v1
4.1 5.1
弧旁数字：流量
v1
4.1
8.3
v3
5.2
3.2 5.1
6.3
v4
11.6
3.3
v6
17.2
v5
可行流总是存在的，例如所有弧的流量fij=0—零流。 所谓最大流问题就是寻找流量最大的可行流。
3、增广链
对可行流f={fij}的弧有
饱和弧：fij=Cij
非饱和弧：0<fij<Cij
零流弧：fij=0
非零流弧：0<fij≤ Cij
v3
（-2，1）
在µ上进行流量=1的调整，
v2
(4，3)
f ij
(vi , vj)u
(3，3)
(1，0)
f
' ij
f ij
f
ij
(vi , vj)u (vi , vj)u
vs
(1，0)
(5，2)
得可行流f ’如右图所示：
v1
(2，2)
v4
(5，3)
(3,0) vt
(2，2)
v3
去掉各点标号，从vs开始，重新标号。
至此，vt得到标号，转入调整过程。
（二）调整过程: 从vt开始逆向追踪，找到增广链。
（-1，1）
v2
(4，3)
v（4 2，1）
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
µ（vs,v1,v2,v3,vt） (5，1)
(1，1)
(3,0) vt（3，1）
(2，1)
= l(vt)=1，
（s，v14） (2，2)
继续检查v2，在v2的前向弧（v2，v4）上，f24<C24， 给
v4标号 (2, l(v4)), 这里 l(v4 ) minl(v2 ), C24 f24 min1,1 1,
此时，未检查的标号点为v3和v4，在v3和v4中可任 选一点进行检查，不妨检查v3。
（-1，1）
v2
(4，3)
(3，3)
(4，3)
(3，3)
(1，0)
（0，∞） vs
(1，0)
(5，2)
（sv，1 3） (2，2)
v4
(5，3)
(3,0) vt
(2，2)
v3
标号点集V1=(vs,v1)
未标号点集V1=(v2,v3,v4,vt)
截集：（V1，V1）={（vs，v2），（v1，v3）} 最大流量 V（f ’）=最小截量C（V1，V1）=5
第十章 图与网络优化
主要内容: 图论的基本概念 最小支撑树问题 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
第四节 网络最大流问题
一、基本概念与定理
1、容量网络与流 定义 给定一个有向图D=（V，A），在V中指定一个
发点vs，和一个收点vt，其余点称中间点。对任
意弧(vi，vj)∈A，有权Cij≥0，称为弧的容量。称
用之差 b( f′) - b( f ) =？
b( f ′) -b( f )
bij
(
f
' ij
fij )
bij
(
f
' ij
பைடு நூலகம்
fij )
bij bij
-1
+1
为增广链 µ的费用。
例： vs
v5
3
5 v2 4
7 1 v4
v1
v3
6
.vt
增广链 µ的费用=(3+4+1+6)-(5+7)=2
f ij
f
ij
(vi , vj)u (vi , vj)u (vi , vj)u
二、寻求最大流的标号法
从任一个可行流f出发，若网络中没有给定f，则从 零流开始。
（一）标号过程。通过标号来寻找增广链µ。
网络中的点标号点已未检检查查 未标号点
每个标号点vj的标号包含两部分(vi，l(vj)) ： 第一个标号vi表示标号点的前一点，以便找出增广链µ； 第二个标号l(vj)是为了确定增广链µ的调整量用的。
如(b)图是网络上的
一个流（运输方案）
v2
5
v1
1
3
弧旁数字：流量
v3
2
2
1
3
（b）
v4
6
3
v6
2
v5
第四节 网络最大流问题
例 连接某产品产地v1和销地v6的交通网如下：
v2
5
v4
10
3
11
v1
4
8
5
3
v6
17
v3
6
v5
（a）
弧（vi，vj）：从vi到vj的运输路线，
弧旁数字：这条运输路线的最大通过能力。
v2
(4，3) v4
(3，3)
(1，0)
(5，3)
（0，∞） vs
(1，0)
(5，2)
(3,0) vt
(2，2)
（sv，1 3） (2，2) v3
点v1：标号过程无法进行，所以f ’即为最大流。
vs的净输出量=最大流量V（f ’）=3+2=5=vt的净输入量
与此同时，可找到最小截集（V1,V1）
v2
v3
继续检查vs，在vs的前向弧（vs，v2）上， fs2=Cs2=3, 不满足标号条件。此时，未检查的标号点为v1
（3）检查v1，在v1的后向弧（v2，v1）上，f21>0， 给v2标
号(-1, l(v2)), 这里 l(v2 ) min l(v1), f 21 min 4,1 1,
继续检查v1，在v1的前向弧（v1，v3）上，f13=C13=2，
D为一个容量网络。记为：D=（V，A，C）。
如(a)图是一个容量网络 v2
10
5
3
v4
11
v1
4
弧旁数字：容量
8
5
3
v6
17
v3
6
v5
（a）
网络D中的任一条弧(vi,vj)的流量记为f(vi,vj)，(简 记fij)，显然， fij≤Cij；一系列流量的集合 f={f(vi,vj)}构成网络D上的流（运输方案）。
(1，1)
v（4 2，1）
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
（s，v14） (2，2)
(3,0) vt （3，1）
(2，1)
v（3 -2，1）
（5）检查v3，在v3的前向弧（v3，vt）上，f3t=1， C3t=2，f3t<C3t， 给vt标号 (3, l(vt)), 这里
l(vt ) min l(v3), (C3t f3t ) min 1,1 1,
目标：制定一个运输方案，使从v1到v6的产品运量最大。
2、可行流与最大流 满足下述条件的流 f 称为可行流:
1)容量限制条件: 对每一弧(vi,vj)∈A
0≤fij≤Cij 2)平衡条件: 对中间点vj(j≠s,t),有
fij
f jk 0
(v i , v j )A (v j , v k )A
由定理2可得到寻找最大流的方法： 1 、从一个可行流f开始，寻找关于f的增广链；
2、如果不存在关于f的增广链，可行流f就是最大流f*；
3、如果存在关于f的增广链，则以适当的调整量对
可行流f进行调整，得到一个流量更大的可行流，不断
重复调整过程，直到不再存在增广链时，就得到了最大流。
f ij
f
' ij
V1
V1
v2
10.5
v1
4.1
8.3
v3
5.2
3.2 5.1
6.3
v4
11.6
3.3
v6
17.2
v5
V1 =(v1,v2,v3)
V1=(v4,v5,v6)
截集为红色弧集；
由图可见，截集不是唯一的。
每个截集相当于从发点vs到收点vt的必经之路，去掉截 集所有的弧，就不存在从发点vs到收点vt的路。
定义5 给定截集（V1，V1），把截集（V1，V1）中所 有弧的容量之和称为这个截集的容量（简称为截
第五节 最小费用最大流问题
网络D=（V，A，C）,每一弧（vi，vj）∈A，给出 （vi，vj）上单位流量的费用b(vi，vj)≥0，（简记bij）。
最小费用最大流问题：
求一个最大流 f，且使流的总费用
b( f )
bij fij
取最小值。
(vi ,v j )A
一、求解原理
设对可行流 f 存在增广链 µ，当沿 µ以=1调整f， 得新的可行流 f ' 时，(显然 V(f ')=V(f )+1)，两流的费
（2）调整流量
令调整量= l(vt)，沿增广链µ构造新的可行流f ’，
f ij
f
' ij
f ij
f
ij
(vi , vj)u (vi , vj)u (vi , vj)u
去掉所有的标号，对新的可行流f '={f 'ij}，重新进行 标号。
重复标号过程和调整过程，直到标号过程进行不下去 且vt未获得标号为止，说明当前可行流不存在增广链，即 得到了最大的可行流。