内涵报酬率
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.2.2 二叉树模型的参数计算 二叉树期权定价模型的计算中，需要获得风险中性定价下 、 和 的数值，才能通过逆 推获得期权的理论价值。下面我们推导风险中性定价下 、 和 的计算公式。 由于股票价格变化是一个等价鞅过程，股票的预期价格中只存在因时间变化而发生的资 产增值。因此股票价格的数学期望满足：
四、运行结果分析
>> coupon=[5 5 5 5 5] coupon =
55555 >> [irr n]=newtonirr(coupon,96,1e-4) irr =
0.0595 n=
3
6
实验 1.3 二叉树模型与期权定价
1.1 实验目的 掌握二叉树模型求解期权的思想和方法，能够利用 matlab 软件编写相应的计算程序。
3
1.2 内涵收益率的计算
内涵报酬率（IRR)，又称内含报酬率、内部报酬率，是指能够使未来现金流入量现值等 于未来现金流出量现值的折现率，或者说是使投资方案净现值为 0 的折现率。 内涵报酬率 是一个相对数指标，和现值指数在一定程度上反映一个投资项目投资效率高低，所以这类评 价指标通常是用于独立方案决策，也就是备选方案之间是相互独立的。
1.简单收益率 标注为 t 时刻的价格， 标注为 时刻的价格。因此，定义 t-1 到 t 期简单收益
率应为：
稍加变形，我们可得其另一表达形式：
根据定义，2 期简单收益率就是 t 期价格和 t-2 期价格的变动率，可以写为：
因此我们可以得到多期的收益率的一般形式，即：
2.对数收益率 除了简单收益率外，金融研究中另一使用频率很高的收益率是对数收益率，它以复利的 方式衡量 t 期价格与 t-2 期价格的变动率。1 期的对数收益率定义为：
二、算法思路 1.首先设置初值点，对于收益率而言，合理的取值范围是大于 0。为了保证计算的可靠性， 覆盖极端情况，初值取足够小，并用科学计数法表示， =1e-8。 2.我们已经有了现值程序 MPV(coupon,r)，对于牛顿迭代法而言，还缺少计算一阶导程序 GPV(coupon,r)。就债券现值而言，一阶导的公式推导如下：
if(yret(i,1)~=flag) yret1(k,:)=yret(i-1,:);
k=k+1; flag=yret(i,1); end end yret1(k,:)=yret(n,:); yearret=dayret2(yret1(:,2));
yearret=[yearret,yret1(2:end,1)]; end
用牛顿迭代法解非线性方程 f(x)=0，是求方程根的重要方法之一，它通过泰勒展开巧妙地把
非线性方程线性化，其最大优点是在方程 f(x) = 0 的单根附近具有平方收敛。
一、基本原理：
把 f(x)在点 x0 的某邻域内展开成泰勒级数
，取其线性
部分（即泰勒展开的前两项）, 并令其等于 0。
泰勒展开式（Taylor Expansion）：
1.2 基本原理
1979 年，罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)在《金融经济学杂志》上发表 论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法， 被称为 Cox-Ross-Rubinstein 二项式期权定价模型。
1.2.1 二项式模型的基本原理 模型假设股价波动只有向上和向下两个变动方向，在期权的存续期内，股价向上(或向下) 波动的概率和幅度都不变。然后将考察的存续期分为若干阶段，利用上面股价变动的特点， 可以计算出每一节点的股票价格，直至期权执行日股票的可能价格，根据期权执行价格，我 们可以计算出不同的股票价格状态下期权的执行价值。然后通过折现就可以获得当期期权的 价格。 例如在图 1 中，我们把考察的存续期分为两个阶段，得到两层结构的二叉树。 是股票 的初始价格，经过一次价格变化，如果股价上涨，我们得到子节点 ；如果价格下跌，我 们得到另一个子节点 。以 和 为初始价格，再经过一次价格变化，我们得到第二层的 最终价格 、 和 。
(1) 对式(1)稍做变换，我们得到：
1
这说明式中的 恰是 t 期与 t-2 期之间的连续复利增长率。 与 1 期的对数收益率相似，2 期的对数收益率定义为：
由于
，因此：
1.3 实验内容
1）编写计算日算术收益率和日对数收益率的 matlab 程序。 2）编写股票组合的收益率程序 3）编写计算年收益率和周收益率的 matlab 程序。 4）利用上面编写的程序，对上证综合指数和深圳成份指数做统计分析。
对于二叉树模型，还有一个条件，即股票的上涨和下跌之积满足
。
把式
(2)等式代入上式可得：
(4)
利用
，可以把上式转换为 的二次函数：
利用 的泰勒 1 阶展开式，
，待入上式可得关于 的一元二次方程：
的解应为：
任然利用 的泰勒 1 阶展开式，
中
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
， ，上式可转化为：
，根号
9
由于 是下跌的幅度，因此我们应该取小的那个值
2
function [ret]=wkret(data) data(:,3)=fix((data(:,1)+2)./7); sn=size(data,1); flag=data(1,3); data(:,4)=0; for i=2:sn
if (data(i,3)~=flag) data(i-1,4)=1; flag=data(i,3); end
3.循环迭代。设置 r1 和 r0 两个变量，这里的技巧在于，每次循环开始，首先把 r1 的值赋给 r0，然后 r1 计算新值，这样 r0 中始终就为上一个 r1 的值。即：
While(………) R0=R1; R1=…..; END
4.设置循环终止条件，即
变化越来越小，满足精度条件 TOL。
5.最后得到符合精度条件的结果 ，irr=r1。
函数的输入参数： Irr:
Iter:
未来收益现金流 市场价格 精度设置
内涵收益率 迭代次数
function [irr iter]=newtonirr(coupon,mv,tol) t0=1e-8; h=-(mpv(coupon,t0)-mv)/mgrad(coupon,t0); t1=t0+h; iter=0; while(abs(t1-t0)>tol) t0=t1; h=-(mpv(coupon,t0)-mv)/mgrad(coupon,t0); t1=t0+h; iter=iter+1; end irr=t1; end
，而 则为
。
通过上面的理论推导，我们获得了风险中性条件下，上涨下跌的变化幅度 和 。以及 对应的概率 和 ，归纳如下：
(5)
2.美式期权的二叉树期权定价 不同于欧式期权必须到期才能执行期权，美式期权的买方可以在到期日或之前任一交易 日提出执行。正是存在提前执行，美式期权定价时无法由 BS 公式求得精确值。而二叉树模 型由于能够模拟股价运行的可能路径，因此成为美式期权定价的一种有效手段。 首先，我们利用二叉树模型求得每一个可能的股价状态。 然后，考虑如果期权能够提前执行，那么每二叉树每一个节点的期权价格就应该比较提 前执行和不提前执行两种情况的获益情况，因此每一节点的期权价值公式为：
function [sret2]=dayret2(x) n=length(x); sret2=zeros(n-1,2); x1=x(2:n,1); x2=x(1:(n-1),1); sret2(:,1)=(x1(:,1)-x2(:,1))./x2(:,1); sret2(:,2)=log(x1(:,1))-log(x2(:,1)); end
图 1：二叉树模型中股价变化路径图
假设计算的是欧式看涨期权的理论价值，并且知道看涨期权执行价格 ，结合股价的二
叉树模型，我们可以利用公式
求出期末各个节点的期权价值。然后利用价
7
格上涨和下跌的概率 和 ，通过公式
，从期末的期权价
值开始，折现每一期的期权价值，最后逆推获得期初的期权价格 ，其过程如图 2。
三、程序实现
1.计算一阶导的程序：gpv=mgrad(coupon,r) 函数的输入参数：
coupon(向量): 未来收益现金流 r(数值): 收益率
函数的输入参数： gpv: 一阶导数值
5
function gpv=mgrad(coupon,r) t=size(coupon,2); cpv=0; for i=1:t
end pos=find(data(:,4)==1); new=data(pos,[1,2]); n=size(new,1); ret=log(new(2:n,2))-log(new(1:(n-1),2)); ret(:,2)=new(2:n,1); end
function [yearret]=yret(x) n=size(x,1); yret=zeros(n,2); yret(:,1)=year(x(:,1)); yret(:,2)=x(:,2); m=yret(n,1)-yret(1,1)+1; yret1=zeros(m,2); flag=yret(1,1); k=1; for i=1:n
我们令
，然后推导可得迭代公式：
由此我们得到迭代公式：
2.几何意义 在上面的式子中，
为切线的斜率，即
，就求得增量 。由于函数 单调递减，
正。
就推进到下一个搜索点 。然后求
。重复上面的迭代公式，我们就能无限逼近
，而
为
，用 乘以
为负值，增量部分
为
位置的切线，与 x 轴相交，我们得到 的点。
4
图 1.牛顿迭代法的几何意义
cpv=cpv+i*coupon(i)/(1+r)^i; end gpv=-(1/(1+r))*(t*100/(1+r)^t+cpv); end
2.牛顿搜索法：[irr iter]=newtonirr(coupon,mv,tol)
函数的输入参数： coupon(向量): MV(数值): TOL(数值):
(6)
利用二叉树模型，从到期日开始倒推每一期不同股价状态下期权的价格，当回溯到当期 时，美式期权的理论价值就获得了。主要过程如图 3 所示：
图 3：二叉树模型中美式期权的逆向求解
10
理论上讲，间隔时间 越短，最后获得的结果精度就越高，在实践中，N 的取值往往要 大于 30，才能获得比较理想的结果。
图 2：二叉树模型中期权的逆向求解
由于二项式期权定价模型，假定了给定时间间隔内，证券的价格运动只有两个可能的方 向：上涨或者下跌，模型的结构非常简单，而二项式分布渐近趋向于正态分布，当我们把给 定的时间段细分为更小的时间单位，拟合的精度就不断提高，这些特点使得二项式期权定价 模型可以用于处理更为复杂的期权。因此与 B-S 期权公式、蒙特卡洛模拟一起成为三大主 要定价手段之一。
1.1 金融资产收益率的计算
1.实验目的 1）掌握使用 matlab 计算金融序列的算数收益率和对数收益率。 2）掌握使用 matlab 计算金融数据日收益率、周收益率、月收益率、季度收益率和年收益率 的求法。 2.实验原理
在金融研究中，处理的主要对象就是各类资产的收益率。因此我们有必要了解收益率的 各类计算方法。
function [sret]=dayret(x) n=size(x,1); sret=zeros(n-1,2); for i=2:n sret((i-1),1)=(x(i,1)-x((i-1),1))/x((i-1),1); sret((i-1),2)=log(x(i,1))-log(x((i-1),1)); end end
而二叉树模型中股票的价格变化服从二项分布，股票价格变化只有向上或者向下两种状 态，根据二项式分布的特征，股票价格的数学期望满足：
联立两式，可得：
在求得 和 的前提下，我们可以求得 ：
8
(2)
因股票价格变化符合布朗运动，从而有
，因此我们得到：
利用公式 可得：
因此 为：
，可以计算 的方差。首先利用二项分布计算 (3)
1.简单搜索方法
2.简单搜索方法的改进
3.折半方法
4.牛顿迭代法（Newton method）
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它
是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。由于多数方程不存
在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
四、运行结果分析
>> coupon=[5 5 5 5 5] coupon =
55555 >> [irr n]=newtonirr(coupon,96,1e-4) irr =
0.0595 n=
3
6
实验 1.3 二叉树模型与期权定价
1.1 实验目的 掌握二叉树模型求解期权的思想和方法，能够利用 matlab 软件编写相应的计算程序。
3
1.2 内涵收益率的计算
内涵报酬率（IRR)，又称内含报酬率、内部报酬率，是指能够使未来现金流入量现值等 于未来现金流出量现值的折现率，或者说是使投资方案净现值为 0 的折现率。 内涵报酬率 是一个相对数指标，和现值指数在一定程度上反映一个投资项目投资效率高低，所以这类评 价指标通常是用于独立方案决策，也就是备选方案之间是相互独立的。
1.简单收益率 标注为 t 时刻的价格， 标注为 时刻的价格。因此，定义 t-1 到 t 期简单收益
率应为：
稍加变形，我们可得其另一表达形式：
根据定义，2 期简单收益率就是 t 期价格和 t-2 期价格的变动率，可以写为：
因此我们可以得到多期的收益率的一般形式，即：
2.对数收益率 除了简单收益率外，金融研究中另一使用频率很高的收益率是对数收益率，它以复利的 方式衡量 t 期价格与 t-2 期价格的变动率。1 期的对数收益率定义为：
二、算法思路 1.首先设置初值点，对于收益率而言，合理的取值范围是大于 0。为了保证计算的可靠性， 覆盖极端情况，初值取足够小，并用科学计数法表示， =1e-8。 2.我们已经有了现值程序 MPV(coupon,r)，对于牛顿迭代法而言，还缺少计算一阶导程序 GPV(coupon,r)。就债券现值而言，一阶导的公式推导如下：
if(yret(i,1)~=flag) yret1(k,:)=yret(i-1,:);
k=k+1; flag=yret(i,1); end end yret1(k,:)=yret(n,:); yearret=dayret2(yret1(:,2));
yearret=[yearret,yret1(2:end,1)]; end
用牛顿迭代法解非线性方程 f(x)=0，是求方程根的重要方法之一，它通过泰勒展开巧妙地把
非线性方程线性化，其最大优点是在方程 f(x) = 0 的单根附近具有平方收敛。
一、基本原理：
把 f(x)在点 x0 的某邻域内展开成泰勒级数
，取其线性
部分（即泰勒展开的前两项）, 并令其等于 0。
泰勒展开式（Taylor Expansion）：
1.2 基本原理
1979 年，罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)在《金融经济学杂志》上发表 论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法， 被称为 Cox-Ross-Rubinstein 二项式期权定价模型。
1.2.1 二项式模型的基本原理 模型假设股价波动只有向上和向下两个变动方向，在期权的存续期内，股价向上(或向下) 波动的概率和幅度都不变。然后将考察的存续期分为若干阶段，利用上面股价变动的特点， 可以计算出每一节点的股票价格，直至期权执行日股票的可能价格，根据期权执行价格，我 们可以计算出不同的股票价格状态下期权的执行价值。然后通过折现就可以获得当期期权的 价格。 例如在图 1 中，我们把考察的存续期分为两个阶段，得到两层结构的二叉树。 是股票 的初始价格，经过一次价格变化，如果股价上涨，我们得到子节点 ；如果价格下跌，我 们得到另一个子节点 。以 和 为初始价格，再经过一次价格变化，我们得到第二层的 最终价格 、 和 。
(1) 对式(1)稍做变换，我们得到：
1
这说明式中的 恰是 t 期与 t-2 期之间的连续复利增长率。 与 1 期的对数收益率相似，2 期的对数收益率定义为：
由于
，因此：
1.3 实验内容
1）编写计算日算术收益率和日对数收益率的 matlab 程序。 2）编写股票组合的收益率程序 3）编写计算年收益率和周收益率的 matlab 程序。 4）利用上面编写的程序，对上证综合指数和深圳成份指数做统计分析。
对于二叉树模型，还有一个条件，即股票的上涨和下跌之积满足
。
把式
(2)等式代入上式可得：
(4)
利用
，可以把上式转换为 的二次函数：
利用 的泰勒 1 阶展开式，
，待入上式可得关于 的一元二次方程：
的解应为：
任然利用 的泰勒 1 阶展开式，
中
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
， ，上式可转化为：
，根号
9
由于 是下跌的幅度，因此我们应该取小的那个值
2
function [ret]=wkret(data) data(:,3)=fix((data(:,1)+2)./7); sn=size(data,1); flag=data(1,3); data(:,4)=0; for i=2:sn
if (data(i,3)~=flag) data(i-1,4)=1; flag=data(i,3); end
3.循环迭代。设置 r1 和 r0 两个变量，这里的技巧在于，每次循环开始，首先把 r1 的值赋给 r0，然后 r1 计算新值，这样 r0 中始终就为上一个 r1 的值。即：
While(………) R0=R1; R1=…..; END
4.设置循环终止条件，即
变化越来越小，满足精度条件 TOL。
5.最后得到符合精度条件的结果 ，irr=r1。
函数的输入参数： Irr:
Iter:
未来收益现金流 市场价格 精度设置
内涵收益率 迭代次数
function [irr iter]=newtonirr(coupon,mv,tol) t0=1e-8; h=-(mpv(coupon,t0)-mv)/mgrad(coupon,t0); t1=t0+h; iter=0; while(abs(t1-t0)>tol) t0=t1; h=-(mpv(coupon,t0)-mv)/mgrad(coupon,t0); t1=t0+h; iter=iter+1; end irr=t1; end
，而 则为
。
通过上面的理论推导，我们获得了风险中性条件下，上涨下跌的变化幅度 和 。以及 对应的概率 和 ，归纳如下：
(5)
2.美式期权的二叉树期权定价 不同于欧式期权必须到期才能执行期权，美式期权的买方可以在到期日或之前任一交易 日提出执行。正是存在提前执行，美式期权定价时无法由 BS 公式求得精确值。而二叉树模 型由于能够模拟股价运行的可能路径，因此成为美式期权定价的一种有效手段。 首先，我们利用二叉树模型求得每一个可能的股价状态。 然后，考虑如果期权能够提前执行，那么每二叉树每一个节点的期权价格就应该比较提 前执行和不提前执行两种情况的获益情况，因此每一节点的期权价值公式为：
function [sret2]=dayret2(x) n=length(x); sret2=zeros(n-1,2); x1=x(2:n,1); x2=x(1:(n-1),1); sret2(:,1)=(x1(:,1)-x2(:,1))./x2(:,1); sret2(:,2)=log(x1(:,1))-log(x2(:,1)); end
图 1：二叉树模型中股价变化路径图
假设计算的是欧式看涨期权的理论价值，并且知道看涨期权执行价格 ，结合股价的二
叉树模型，我们可以利用公式
求出期末各个节点的期权价值。然后利用价
7
格上涨和下跌的概率 和 ，通过公式
，从期末的期权价
值开始，折现每一期的期权价值，最后逆推获得期初的期权价格 ，其过程如图 2。
三、程序实现
1.计算一阶导的程序：gpv=mgrad(coupon,r) 函数的输入参数：
coupon(向量): 未来收益现金流 r(数值): 收益率
函数的输入参数： gpv: 一阶导数值
5
function gpv=mgrad(coupon,r) t=size(coupon,2); cpv=0; for i=1:t
end pos=find(data(:,4)==1); new=data(pos,[1,2]); n=size(new,1); ret=log(new(2:n,2))-log(new(1:(n-1),2)); ret(:,2)=new(2:n,1); end
function [yearret]=yret(x) n=size(x,1); yret=zeros(n,2); yret(:,1)=year(x(:,1)); yret(:,2)=x(:,2); m=yret(n,1)-yret(1,1)+1; yret1=zeros(m,2); flag=yret(1,1); k=1; for i=1:n
我们令
，然后推导可得迭代公式：
由此我们得到迭代公式：
2.几何意义 在上面的式子中，
为切线的斜率，即
，就求得增量 。由于函数 单调递减，
正。
就推进到下一个搜索点 。然后求
。重复上面的迭代公式，我们就能无限逼近
，而
为
，用 乘以
为负值，增量部分
为
位置的切线，与 x 轴相交，我们得到 的点。
4
图 1.牛顿迭代法的几何意义
cpv=cpv+i*coupon(i)/(1+r)^i; end gpv=-(1/(1+r))*(t*100/(1+r)^t+cpv); end
2.牛顿搜索法：[irr iter]=newtonirr(coupon,mv,tol)
函数的输入参数： coupon(向量): MV(数值): TOL(数值):
(6)
利用二叉树模型，从到期日开始倒推每一期不同股价状态下期权的价格，当回溯到当期 时，美式期权的理论价值就获得了。主要过程如图 3 所示：
图 3：二叉树模型中美式期权的逆向求解
10
理论上讲，间隔时间 越短，最后获得的结果精度就越高，在实践中，N 的取值往往要 大于 30，才能获得比较理想的结果。
图 2：二叉树模型中期权的逆向求解
由于二项式期权定价模型，假定了给定时间间隔内，证券的价格运动只有两个可能的方 向：上涨或者下跌，模型的结构非常简单，而二项式分布渐近趋向于正态分布，当我们把给 定的时间段细分为更小的时间单位，拟合的精度就不断提高，这些特点使得二项式期权定价 模型可以用于处理更为复杂的期权。因此与 B-S 期权公式、蒙特卡洛模拟一起成为三大主 要定价手段之一。
1.1 金融资产收益率的计算
1.实验目的 1）掌握使用 matlab 计算金融序列的算数收益率和对数收益率。 2）掌握使用 matlab 计算金融数据日收益率、周收益率、月收益率、季度收益率和年收益率 的求法。 2.实验原理
在金融研究中，处理的主要对象就是各类资产的收益率。因此我们有必要了解收益率的 各类计算方法。
function [sret]=dayret(x) n=size(x,1); sret=zeros(n-1,2); for i=2:n sret((i-1),1)=(x(i,1)-x((i-1),1))/x((i-1),1); sret((i-1),2)=log(x(i,1))-log(x((i-1),1)); end end
而二叉树模型中股票的价格变化服从二项分布，股票价格变化只有向上或者向下两种状 态，根据二项式分布的特征，股票价格的数学期望满足：
联立两式，可得：
在求得 和 的前提下，我们可以求得 ：
8
(2)
因股票价格变化符合布朗运动，从而有
，因此我们得到：
利用公式 可得：
因此 为：
，可以计算 的方差。首先利用二项分布计算 (3)
1.简单搜索方法
2.简单搜索方法的改进
3.折半方法
4.牛顿迭代法（Newton method）
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它
是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。由于多数方程不存
在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。