三维连续体结构仿生拓扑优化新方法

摘
要： Wolff 法则是指骨骼通过重建/生长， 保证骨小梁方向趋于与主应力方向一致以不断地适应它的力学环境。
根据 Wolff 法则，建立了一种新的拓扑优化的准则法。该方法的基本思想是：(1) 将待优化的结构看作是一块遵 从 Wolff 法则生长的骨骼，骨骼的重建过程作为三维连续体结构寻找最优拓扑的过程；(2) 用构造张量描述正交 各向异性材料的弹性本构；(3) 重建规律为结构中材料的更新规律。通过引入参考应变区间，材料更新规律可解 释为：设计域内一点处主应变的绝对值不在该区间时，该点处构造张量出现变化；否则，构造张量不变化，该点 处于生长平衡状态。(4) 当设计域内所有点都处于生长平衡状态时，结构拓扑优化结束。采用各向同性本构模型， 即令二阶构造张量与二阶单位张量成比例，分析三维结构拓扑优化。实例进一步验证基于 Wolf 法则的连续体结 构优化方法的正确性和可行性。 关键词：拓扑优化；Wolff 法则；多孔介质；构造张量；各向异性 中图分类号：O342 文献标识码：A
A NEW METHOD FOR TOPOLOGY OPTIMIZATION OF THREE-DIMENSIONAL CONTINUUM STRUCTURES BASED ON BIONICS
CAI Kun , *ZHANG Hong-wu , LUO Yang-jun , CHEN Biao-song
，使得用
构造张量来联系材料的微观结构和材料的弹性本 在结构设计中，单纯对其形状和尺寸优化不一 定能使结构的性能达到最佳。因此，有必要进行结 构的拓扑优化，即结构中材料的布局优化。结构拓 扑优化对象包括骨架类结构和连续体结构，其中连 续体拓扑优化研究自 20 世纪 80 年代末至今一直是 一个热点[11~20]。 按照寻优手段，连续体拓扑优化方法主要分为 两大类：一类是明确定义目标函数，通过数学规划 等方法求解优化问题[11~16]； 另一类则不采用目标函 数和约束条件控制结构的优化过程，而是按照给定 准则控制结构的进化/生长,即准则法[17,18]，如 SKO 法 (Soft Kill Option)[17] ， ESO 法 (Evolutionary Structural Optimization)[18]等。准则法的优点在于概 念简单，可以无需敏度分析和计算效率高。本文基 于生物力学中的 Wolff 法则，把待优化的结构比拟 为一块遵从 Wolff 法则生长(物质的重新分布)的 “骨 骼”，从而给出一种三维结构拓扑优化的新方法。 三维拓扑优化工作的困难要比二维问题复杂 的多[19,20]，主要困难在于计算量大且后处理复杂。 在对三维拓扑优化结果的处理上，待处理对象往往 具有拓扑简单、材料均匀等特点
[19]
1 基本理论
1.1 等刚度凝缩 定义 1. 一块宏观均匀的多孔介质，将固体物
质聚集在一起形成一个实体的过程叫凝缩。 如图 1 所示，令：
A ：多孔柱体横截面的视面积；
σ ：多孔柱体的横截面上的平均正应力； Ei ：多孔柱体在轴 (i ) 方向的弹性模量。 Ai ,re ：实柱体横截面积；
σ i , re ：实柱体横截面上的正应力；
Abstract:
Wolff’s law in biomechanics states that the microstructure of bone adapts gradually to the
environment as a result of remodeling process. A new method for topology optimization of three-dimensional (3D) continuum structure based on Wolff’s law is proposed. The continuum structure is optimized as a piece of bone which obeys Wolff’s law, and the process of locating the optimum topology of structure is assumed to be equivalent to the “bone” remodeling process. Secondly, a second order positive definite fabric tensor is introduced to express the material anisotropy. If the fabric tensor is proportional to the second order identity tensor, the material is isotropic. Thirdly, an interval of reference strain is adopted and the remodeling rule can be established. During the growing process, at any material point, if the absolute value of its principal strain is out of the interval, then the increment of the corresponding eigenvalue of fabric tensor, i.e. the growth speed is non-zero; but if all the absolute values locate in the interval, the growth speeds are equal to zero and the material point is in a state of remodeling equilibrium. Finally, the global optimum of structure requires all material points being in the state of
E ：实柱体中材料的弹性模量或多孔柱体中基
，当结构中材料
础材料的弹性模量。 易知， A 、 Ai , re 、 σ re 和 σ 应该满足下式
A ⋅ σ = Ai ,re ⋅ σ i , re = Fi
呈逐点各向异性时无法显示。基于此，本文只讨论
(1)
工
程
力
学
17
相同时含有相等的应变能(证明略)。 从等刚度凝缩实现的过程可知，凝缩对象总处 于相同的受力变形平衡状态，但胞元中物质的分布 方式不同。因此，等刚度凝缩不是单纯的物质聚集 过程， 而是受力结构中物质分布方式满足式(3)的等
16
工
程
力
学
remodeling equilibrium under the loading conditions. Degenerated method, in which all fabric tensors of all the material points are restricted to be proportional to the second order identity tensor, is proposed to solve the topology optimization problem of the 3D continuum structures. Numerical results are given to demonstrate the validity and capability of the theories and algorithm developed. Key words: topology optimization; Wolff’s law; porous medium; fabric tensor; anisotropy Wolff 曾指出骨骼结构中的骨小梁沿着主应力 方向生长 ，即 Wolff 法则。大量研究表明，骨骼 在受到外界载荷作用时，会通过改变自身的物质分 布(骨骼重建)来最大限度地承受外部荷载。因此， 有些学者认为骨骼重建是个优化过程 。 骨骼是一种典型的生物多孔介质。Cowin 曾用 二阶对称正定构造张量来表示骨骼中微结构中物 质分布方式和骨骼的弹性本构
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收稿日期：2005-06-30；修改日期：2006-03-09 基金项目：国家自然科学基金与创新群体基金(10225212, 10421002, 10332010, 10402005)；长江学者和创新团队发展计划以及国家基础性发展规划 项目(2005CB321704) 作者简介：蔡 坤(1978)，男，江苏人，博士生，从事拓扑优化研究； *张洪武(1964)，男，辽宁人，教授，博士，博导，长江学者，主要从事计算力学研究(E-mail: zhanghw@dlut.edu.cn)； 罗阳军(1979)，男，湖北人，博士生，从事结构优化研究。
。其他学者如
Kachanov、Harrigan、Kanatani、Odgaard 等在对含 微裂纹或孔隙材料的微结构与弹性本构之间关系 的研究中得到相似的结论：构造张量的主向和弹性 本构张量主向一致
[5~8]
。Zysset 与 He 讨论了用构造
[9,10]
张量表示含孔隙或损伤物质本构张量 构方法更加完善。
[3,4] [2] [1]
该方法的退化模型，即令构造张量为二阶单位张量 的标量倍数。为了显示结构的最优拓扑，通过等刚 度凝缩的方法将多孔材料的相对密度由构造张量 的不变量表示，结构的最优拓扑由连续体中各点的 相对密度分布确定。 由于本文认为待优化结构为均匀各向同性的 连续实体。随着结构的不断‘生长’，实体结构转 变成多孔介质。为了研究工作展开，做如下假定： 任何一种各向异性材料的弹性本构都可以等效于 由某一均匀各向同性的材料形成具有特定微观结 构的多孔介质的弹性本构，并称多孔材料中的固相 为基础材料(base material)。 运算符号说明： “• ”表示一次张量缩并；“:”表示两次张量 缩并；“ ⊗ ”表示并矢积；“ ⊗ ”表示另一种形式 的并矢积。对任意的同维二阶张量 A ， G ， C ，有 (1) A : G = Tr ( A ⋅ G ) (2) ( A ⊗ G ) : C = (G : C ) A 1 (3) ( A⊗G ) : C = ( A ⋅ C ⋅ G T + A ⋅ C T ⋅ G T ) 2 其中“ Tr ”表示张量的迹(Trace of a tensor)；上标 “ T ”表示张量的转置
若保证两者在该方向上的变形相等，则有 σ σ i ,re εi = = Ei E 联立式(1)，式(2)得 Ei ⋅ A = E ⋅ Ai , re 称式(3)为等刚度方程。 定义 2. 等刚度凝缩。
(a) 多孔材料柱体 图1 (b) 柱实体; Fi 为合力
效过程。从推论知，等刚度凝缩也叫等能量凝缩。 因此，用凝缩后单胞的相对密度来表示凝缩前该点 处材料的相对密度是合理的。 1.2 (2) 构造张量与弹性本构张量 构造张量
B=
均布力沿轴向作用圆柱体
Fig.1 The cylinders subjected to uniform force
(State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Department of Engineering Mechanics, Dalian University of Technology, Dalian, Liaoning 116024, China)
第 24 卷第 2 期 2007 年 2 月
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Vol.24 No.2 Feb. 2007
工
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力
学 15
ENGINEERING MECHANICS
文章编号：1000-4750(2007)02-0015-07
三维连续体结构仿生拓扑优化新方法
蔡 坤，*张洪武，罗阳军，陈飙松
(大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，工程力学系，大连 116024)