反应谱理论

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七、结构的地震反应分析
地震作用与地震作用理论概述 单自由度地震作用分析 地震反应谱 多自由度地震作用分析 地震反应的时程分析法 几点结论
7.1 地震作用与地震作用理论概述
7.1.1 地震作用(地震力) 由于地面运动结构质量所产生的惯性力称为地震作 用或地震力.结构的抗震设计当然必须首先解决地震 力的计算. 因为地震力不仅和地面运动有关,而且还和结构的 动力特性有关.而地面运动的特征(强度、频谱特征、 持续时间等)受震源机制、地质条件等等影响,结构本 身又是一十分复杂的力学系统,加之结构和基础间的 相互作用,其中许多因素是搞不清楚的.因此地震作用 的研究经历了艰难的历程. 7.1.2 地震作用理论 由于问题的复杂性,地震作用理论经历了一个由粗 略到科学的如下逐步发展过程:
7.2 单自由度地震作用分析
本节是反应谱理论的基础,为此首先讨论受地面运 动激励的体系运动方程. 7.2.1 单、多自由度体系地震作用运动方程
例-1) 试建立图示结构受地面运动 u g (t ) m 的运动方程。 h EI 解:由于横梁刚度无穷大,结构只能产 生水平相对位移。设x坐标向右。 u g (t ) 又设横梁(质量m)相对地面位移为 m( u ug ) u,以它为隔离体,受力如图所示。 图中Fs1和Fs2可由图是有位移法(实 Fs1 cu Fs 2 际直接可由形常数)得到
1
t f ( t , ) dI ( t ) I ( t ) f ( t , )d d 0 0 dt t t (t ) g ( )e ( t ) cos[ d ( t ) ]d u u
d
t

t
0
g ( )e ( t ) sin d ( t )d (6) u
max t ( t ) 0
(16) (17)
max
A(T ) ug ( )e V (T )
sin ( t )d
如果称下式为准速度反应谱

t
0
ug ( )e ( t ) sin ( t )d
max
(18)
7.3 地震反应谱
u( t ) ug ( t ) ( 2 u u)
2
d
0
(7)
式中
d
2

t
0
g ( )e ( t ) sin[ d ( t ) 2 ]d (8) u
arctan

1
2
(9)
7.2 单自由度地震作用分析
(t ) ug ( )e ( t ) cos (t )d u
0 t 0 t
(12)
(t ) ug (t ) ug ( )e ( t ) sin (t )d (13) u
对抗震设计来说,关心的是最大地震作用,也即
7.1 地震作用与地震作用理论概述
(2)
后来原苏联柯尔琴斯基又对其进行了修正,将地面运 动假设为 (3)
该理论虽然克服了静力理论不考虑结构变形的缺点, 但实际地面运动复杂的多,根本不能用确定函数来描 述. 3) 反应谱理论 这是以单自由度线性体系在实际地面运动作用下的 反应为基础,对结构进行分析的“拟静力理论”.我国 和许多国家的抗震设计规范都以这种理论为依据,后 面将专门介绍.
c12 c22
k11 K k 21
k12 k 22
7.2 单自由度地震作用分析
7.2.2 单自由度体系地震反应分析 单自由度体系地震反应分析运动方程为
mu cu ku mug (t )
(4) (5)
或表示成
在零初始条件下式(5)的位移解答为
则速度和准速度反应谱分别为
B2 ( t ) ug ( )e
V (T ) B1 (t ) cos t B2 (t ) sint max (22a)
V (T ) B1 ( t ) sin t B2 ( t ) cos t max
(22b)
7.3 地震反应谱
由式(22)可见 式中
V (T ) S (t ) cos(t ) max V (T ) S ( t ) sin(t ) max
(23a)
(23b)
(24a) (24b)
由此可见
S (t ) B (t ) B (t ) B2 ( t ) arctan B1 ( t )
2 1 2 2
由于一般结构阻尼比很小,可近似认为d,所以 从式(11)-(13)可见,D(T)、V(T)、A(T)分别为
7.3 地震反应谱
t
D(T )
1


t 0
0
g ( )e ( t ) sin ( t )d u
(15)
max
V (T )

ug ( )e ( t ) cos ( t )d
7.3 地震反应谱
这样就有可能利用众多的地震记录算得其平均反应 谱作为设计的依据.这个平均反应谱称为标准反应谱. 讲义上图5-6和图5-7为C.W.Housner得到的平均速度 和平均加速度反应谱. 图5-8是三种反应谱随周期变化趋势的示意. 当周期很短时,由于加速度仪严重失真,因此反应谱 的这一段误差较大.但作为极端情况T=0,此时体系为 刚体,无相对位移和速度,所以D=V=0.而amax=|ü |max . g 当周期很长时,系统刚度很小,质点相当于空中定点, 地面运动时处于不动的状态.此时D=|ug|max .另两反应 谱可由三反应谱关系得到. 7.3.3 抗震设计反应谱 目前抗震设计主要是确定地震作用,然后根据地震 作用按静力作结构强度和刚度验算.
(25) 由式(19)、(20)、(25)可见,只要有三个反应谱之 一,就可利用其间所述关系方便地求得另两个反应谱.
V (T ) V (T )
7.3 地震反应谱
上面介绍了用计算机计算的办法获得反应谱,实际 上也可利用“多摆地震仪”在地震现场实测出反应谱. 7.3.2 地震反应谱的标准化 地震反应谱随地面运动的不同而变化,不同次地震 的反应谱是不同的,同一次地震不同地点由于地质条 件的不同,地面运动也是不同的,因此地震反应谱也 不同。 工程抗震所要设计的建筑场地未来的地震更是无法 预知的,自然无法得到其地震反应谱。但是,由大量 地震记录计算获得的反应谱却有如下共同的特征: 1) 阻尼对减少反应谱峰值有很大作用. 2) 速度反应谱在相当宽的周期范围内接近于一定值. 3) 加速度反应谱当周期稍长时谱值随周期反比下降.
7.3 地震反应谱
从式(6)-(8)或式(11)-(14)可见,相对位移、相对 速度、绝对加速度反应和地面加速度、周期和阻尼有 关,都是时间的函数. 7.3.1 相对位移、速度和绝对加速度反应谱 对于某一地面地震记录,相对位移、相对速度、绝 对加速度的最大反应只是周期T 和阻尼比 的函数, 如果固定阻尼比 ,则最大反应只和周期有关,这一关 系曲线则分别称为该地震的相对位移、相对速度、绝 对加速度的反应谱,分别记作D(T)、V(T)、A(T)。 讲义上图5-2、5-3和5-4分别为1940年Elcentro南北地震分量的相对位移、相对速度、绝对加速度反应 谱.
h1
h2 h1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h2
h1
7.2 单自由度地震作用分析
图中各项和第二章例子相仿,分别为
f I 1 m( u1 ug ( t )); ui为相对位移 f d 1 c11u1 c12u2 ; f e1 k11u1 k12u2 ; f I 2 m( u2 ug ( t )) 元素全为1
P (t ) max m u(t ) ug (t )
max
ma max
(14)
式(14)和式(1)形式上完全相同,但其概念是根本不 同的.式(1)中a0是地面最大加速度,与体系的动力特性 无关.而式(14)中amax是质点最大绝对加速度,它和体系 的动力特性(频率和阻尼)有关. 对抗震设计来说,一旦求得地震作用P,即可将其看 作静力作用进行结构强度和刚度等验算.
7.1 地震作用与地震作用理论概述
地震地面运动是多维的,但经验表明水平地面运动 是导致结构破坏的主要因素,作为初学,本章只讨论受 单向水平地面运动激励的情况. 震害和计算都表明,对高烈度区地震竖向地面运动 的影响较显著。因此,我国对高烈度区的一些大跨、 高耸结构和靠自重保持平衡的结构规定需要考虑竖向 地震的作用。
7.1 地震作用与地震作用理论概述
1) 静力理论 这是本世纪初日本大森房吉提出的,为了简化他把 结构视作刚体. 因此如果地面运动的最大加速度为 ,结构某处的 重量为 ,则此质量所受的地震力为
(1)
由于完全不考虑结构的变形,显然静力理论与实际 不符. 2) 定函数理论 这是原苏联扎夫里耶夫在大森房吉之后首先提出的 “动力理论”.他将地震地面运动视作余弦函数
7.2 单自由度地震作用分析
列x方向全部力的平衡方程,即可得结 构的运动方程为
c 12 mu (t ) mu Fsu ku EIu gk u Fs1 2 3 h 2
u
u
h
7.2 单自由度地震作用分析
例-2) 试用刚度法建立图示受地面运动激 m2 k 2 ug(t) 的剪切型结构的运动方程。k1和 m1 励 k1 k2为层侧移刚度。 ug(t) 解:为用刚度法建方程,沿位移正向使 限制位移的支座产生图示单位位移。 k21 k2 由层刚度定义可得 k11 k1 k11 k1 k2 k21 k2 1 1 k12 k2 k 22 k 2 加惯性力、阻尼力後以楼层为隔离体 k22 k2 k12 fe1 fd1 fe2 fd2 k1 fI1 fI2 h2
2 u 2 u ug (t ) u
0
t 1 t ( ) ( ug()th(t sin d( t )d (6) e u( t ) u(t ) ug ) )d
由此体系的地震作用(惯性力)为
d
0
7.1 地震作用与地震作用理论概述
4) 时程分析理论 这是以体系运动方程为基础,用数值积分方法求体 系反应时间历程的“动力理论”(也称直接积分理论). 随着电算技术的发展,我国抗震设计规范已规定,对一 些高层和大型重要建筑要用时程分析法进行补充计算, 今后还将得到更广泛的应用和发展。 5) 其他理论 地震、脉动风荷载等都是随机荷载,当然可以用随 机振动理论来进行地震反应的统计特征分析. 也可从地震时结构不破坏条件下所能吸收的能量来 进行设计. 但这些地震作用理论都还未被列入规范,因此都未 能在抗震设计中普遍应用.
由于一般结构阻尼比很小,可近似认为d,所以
P ( t ) m( u( t ) ug ( t )) cu ku
(10)
u( t )

1
t
0
g ( )e ( t ) sin ( t )d (11) u
u( t )
则位移、加速度反应谱和准速度反应谱间有如下关系
D(T )
如果记
1
A(T ) V (T )
t ( t ) ( t )
V (T )
(19) (20) (21a) (21b)
B1 (t ) ug ( )e
0 t 0
cos d sin d
fe2
fe1
fd1 fI1 fd2
f d 2 c21u1 c22u2 ;
f e 2 k21u1 k22u2
fI2
列平衡方程并以矩阵方程表示,则得运动方程如下
M u C u K u M 1ug (t )
c11 m 0 M C c 0 m 21
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