几种不同增长的函数模型

log2x
15 17 19 21 23 25 27
0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 3.170 3.322
试问： (1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变
化趋势？ (2)各函数增长速度快慢有什么不同？ [解析] (1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大． (2) 由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中 f(x)
关于x呈指数函数变化的变量是________．
探究1.从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变
量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
[解析] 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化． 从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始 变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同， 其中变量 y2 的增长速度最快，画出它们的图象 ( 图略 ) ，可知变 量y2关于x呈指数函数变化． [答案] y2 [规律总结] 解决本题的关键是如何确定变量间的关系是
(2)设模拟函数为 y＝ax2＋bx＋c 时， 将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，得 a＋b＋c＝1， 4a＋2b＋c＝1.2， 9a＋3b＋c＝1.3. a＝－0.05， 解得b＝0.35， c＝0.7.
所以有关系式 y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7. 结论为：由此法计算 4 月份的产量为 1.3 万双，比实际产 量少 700 双，而且由二次函数性质可知，产量自 4 月份开始将 每月下降(图象开口向下，对称轴为 x＝3.5)，不合实际．
为 A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)这 4 个数据． (1)设模拟函数为 y＝ax＋b 时， 将 B，C 两点的坐标代入函数式，
3a＋b＝1.3， 得 2a＋b＝1.2. a＝0.1， 解得 b＝1.
所以有关系式 y＝0.1x＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会 每月上升 1 000 双，这是不太可能的．
但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，
而指数函数模型恰好反映了这种趋势． 因此选用指数函数 y ＝－ 0.8×0.5x ＋ 1.4 模拟比较接近客观 实际．
[规律总结]
本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客
观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模
拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函
数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3. [解析] 2x. (2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， (1)C1 对应的函数 g(x) ＝x3 ， C2 对应的函数为 f(x) ＝
∴1<x1<2,9<x2<10，∴x1<6<x2,2 015>x2.
指数函数关系，不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值，还
要看函数值的变化趋势．
x
2x
x2
下面是f(x)随
x的增大而得到 的函数值表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
பைடு நூலகம்
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
2x＋7 9 11 13
0 0 a
(3)指数函数、对数函数和幂函数． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1) 增 函数，但它们增长的速度不同，而且不 和 y ＝ xn(n ＞ 0) 都是 ___
在同一个“档次”上，随着 x 的增大， y ＝ ax(a ＞ 1) 的增长速度
快 ，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝ 越来越___ logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x logax ＜xn＜____. ＞x 时，就会有______ ax
设模拟函数为 y＝abx＋c 时， 将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，得 ab＋c＝1，① 2 ab ＋c＝1.2，② ab3＋c＝1.3.③ 由①，得 ab＝1－c，代入②③，得
b1－c＋c＝1.2， 2 b 1－c＋c＝1.3.
c＝1.2－b， 1－b 则 2 1.3 － b c＝ 2 . 1－b
b＝0.5， 解得 c＝1.4.
1－c 则 a＝ b ＝－0.8. 所以有关系式 y＝－0.8×0.5x＋1.4. 结论为：当把 x＝4 代入得 y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.
比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又 要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以 指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着 工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，
生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂
长，就月份 x ，产量为 y 给出三种函数模型： y ＝ax＋ b ， y ＝ ax2 ＋bx ＋c ，y＝ abx＋ c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月 的产量？
探究1.本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函
数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型． [解析] 由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象
数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器 或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数 据检验，又必须符合实际．
性质 在(0，＋∞) 上的增减性
快 增长的速度 越来越____ 图象的变化 越来越陡
越来越 慢 ____
相对较快
不变
直线上升
越来越平 随n值而不同
2.三种增长函数模型的比较 (1)指数函数和幂函数．
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，
通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽 快于 管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长____ ＞ xn . xn的增长，因此总存在一个x ，当x＞x 时，就会有ax____
●探索延拓 函数模型的选择
某皮鞋厂今年 1月份开始投产，并且前 4个月的
产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质 量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推 销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月 的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了
高效课堂
●互动探究
考查函数模型的增长差异
四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下
表： x 1 5 10 15 20 25 30
y1 y2 y3 y4
2 2 2 2
26 101 226 401 626 901 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 10 20 30 40 50 60 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
第三章
函数的应用
第三章
3.2 3.2.1 函数模型及其应用
几类不同增长的函数模型
优效预习
●知识衔接 1 ．对数函数 y ＝ logax ， (a ＞ 0 ， a≠1) 当 a ＞ 1 时，增区间为 (0，＋∞) ，当0＜a＜1时减区间为_____________ _____________ (0，＋∞) ．
象如下图所示．设两函数的图象交于点
A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1) 请指出图中曲线 C1 ， C2 分别对应的 函数； (2) 结合函数图象，判断 f(6) ， g(6) ， f(2 015)，g(2 015)的大小．
探究1.随着自变量x的增大，图象位于上方的函数是指数函
2 ． 函 数 y ＝ ax(a ＞ 0 ， a≠1) ， 当 a ＞ 1 时 增 区 间 为 (－∞，＋∞) ，当0＜a＜1时减区间为_____________ (－∞，＋∞) ． _____________ 3 ． 函 数 y ＝ logax 与 y ＝ ax(a ＞ 0 ， a≠1) 的 图 象 关 于 y ＝x _____________ 对称． 增函 4 ． y ＝ xα(α∈R) ，当 α ＞ 0 时函数在 (0 ，＋ ∞ ) 上为 _____ 减 数，当α＜0时，函数在(0，＋∞)上为______函数．
0 0
(2)对数函数和幂函数． 对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间
(0 ，＋ ∞ ) 上，随着 x 的增大， logax 增长得越来越慢，图象就像
是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可 能会大于xn ，但由于logax 的增长____ 慢 于 xn 的增长，因此总存在 ＜ xn . 一个x ，当x＞x 时，就会有log x____
0
●预习自测 1．专家预测，在我国大西北某
地区荒漠化土地面积每年平均比上 年增长 10.4% ，经过 x 年可能增长到 原来的 y 倍，则函数 y ＝ f(x) 的图象大 致为( ) 由 题 意 可 知 y ＝ (1 ＋ [答案] D [解析] 10.4%)x.
2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年 测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷， 则沙漠增加数 y 公顷关于年数 x 的函数关系较为近似的是( A．y＝0.2x 2x C．y＝10 [答案] C
小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始 时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定 值x0后，就一定有ax＞xn.
图象信息迁移题 函数 f(x) ＝ 2x 和 g(x) ＝ x3 的图
[ 解析 ]
)
1 2 B．y＝10(x ＋2x) D．y＝0.2＋log16x
( 排除法 ) 当 x ＝ 1 时，否定 B 项；当 x ＝ 2 时，否定
D，当x＝3时，否定A项；故选C.
3．下列函数增长的速度最快的是( A．y＝3x C．y＝x3 B．y＝log3x D．y＝3x
)
[答案] A
4．当x＞4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4，则有( A．a＜b＜c C．c＜a＜b [答案] D B．b＜a＜c D．b＜c＜a )
＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长的
幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最慢的 是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．
[规律总结] 对于三种函数增长的几点说明：
(1) 对于幂函数 y ＝ xn ，当 x ＞ 0 ， n ＞ 0 时， y ＝ xn 才是增函 数，当n越大时，增长速度越快． (2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象 关于 y ＝ x 对称，从而可知，当 a 越大， y ＝ ax 增长越快；当 a 越
从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)， ∴f(6)<g(6)． 当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2 015)>g(2 015)． 又g(2 015)>g(6)，∴f(2 015)>g(2 015)>g(6)>f(6)．
函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如右图所示．
5.某地的水电资源丰富，并且得到 了电费 y( 元 ) 与用电量 x( 度 ) 之间的函数
关系如右图所示：则月用电量为100度
60 元． 时，应交电费___
●自主预习 1．四种函数模型的性质
函数 y＝ax (a＞1) 增 函数 ____ y＝logax (a＞1) 增 函数 ____ y＝xn (n＞0) 增 函数 ____ y＝kx＋b (k＞0) 增 函数 ____
(1) 试根据函数的增长差异指出曲线 C1 ， C2 分别对应的函 数； (2) 比较两函数的增长差异 ( 以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解析] 为f(x)＝lgx.
(1)C1 对应的函数为 g(x)＝ 0.3x －1，C2 对应的函数
(2) 当 x<x1 时， g(x)>f(x) ；当 x1<x<x2 时， f(x)>g(x) ；当 x>x2 时，g(x)>f(x)．