机械制图第3章 点、直线和平面的投影

第3章 点、直线和平面的投影
§3－1 点在三面体系中的投影
§3－2 直线的投影 §3－3 直线上的点 §3－4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角 §3－5 两直线的相对位置 §3－6 直角的投影 §3－7 平面的投影 §3－8 平面上的点和直线 §3－9 点、直线和平面轴测图的画法
§3－1 点的投影
a
ay
Y
1. aaz = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA 3. aax =aa y = Aa=zA
出因 平为 面平 边面 框是 。无
限 大 的 ， 所 以 一 般 不 画
5、三投影面体系中点的投影规律
1. aa X轴，aaz = aay = XA 2. aaZ轴， aax =aa y = ZA 3. aax = aaz =YA
Ⅰ
Ⅱ A c
b
aH
c' 3'(4') 1' b'
a' X
c
2' d' O 4b
D
3
d
1(2)
a
d
交叉两直线重影点投影的可见性判断
1 (3)4 2
13 2
4
3 4
1(2)
例 不用第三面投影试判定直线AB和 CD是平行
还是交叉。
a'
c'
交叉
b'
d'
X
O
a d
b c
§3-6 直角的投影
一、垂直相交的两直线的投影
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
（3）侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
a
b
a
b Z
ab
ab
A
B
X
O
YW
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ 3． ab = ab =AB
b YH
从属于V 面的直线
B b b
A a
a
a
b
Z
b
a
b a
W
a'
a"
X
BB
AA
H
ab a'
X
b' Z b"
a"
O
YW
Y
ab
YH
投影面平行线的投影特征为： a 直线在与其所平
行的投影面上的投影反映该直线的实长，同时还
反映该直线与另两个投影面之间的真实倾角。
V
Z
b'
b"
W a'
a"
X
BB
AA
H
ab
b' Z b"
a'
a"
X
O
YW
Y
ab
YH
b 直线的其余两个投影均分别平行于相应的投影
例题1
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab
AB
|zA-zB |
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
AB
b
|yA-yB|
AB
ab
|yA-yB|
a
X
ab
b
AB
a
|yA-yB|
|yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
1、投影面的平行线
凡平行于某一投影面，同时倾斜于另两 个投影面的直线统称为投影面的平行线。其 中：
平行于正投影面（V面）的称为正平线； 平行于水平投影面（H面）的称为水平 线； 平行于侧投影面（W面）的称为侧平线。
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
k'
m' b'
AK ak ak ak 1
KB kb kb kb n
a"
W
A
k"
a' Z a"
K
b" m"
k'
k"
B aM
k b
m
b'
X
H（2） 定比性
直线上的点分割线段成 定比，其各个投影亦分
b
成相同的比例。
O
a k
YH
b" YW
。【例1】 已知直线DE的正面投影和水平投影及线上K点的
正面投影k',试求出K点的水平投影
1、投影面体系建立
◆正面投影面（简称正 V
面或V面）
◆水平投影面（简称水
平面或H面）
X
◆侧面投影面（简称侧
面或W面）
投影轴
OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线
Z
oW
H
Y
三个投影面 互相垂直
2、空间点A在三个投影面上的投影
a 点A的正面投影 V a●
a 点A的水平投影
a' b'
c' d'
a" b" c" d"
f' e'
f
a
cb
f"
e"
A B
C D
F
ed
两直线相交
E主
2 两直线相交 两直线相交的投影特征是：其同
面投影必定相交,且交点的连线垂
直于相应的投影轴。
b'
V
b'
c'
k' d'
B c'
k'
a'
a' C
X
•D
K
X
Oc
c
A
b
ak
d'
O
b
d
a
d
H
例 已知直线AB和CD的两面投影，试判定两直线
b B b
a
b
A
a
a
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab
ab
a
[例题2] 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。
L AB
c
zA-zB
ab
c
§3-5 直线和直线的相对位置
平行
有三种情况 相交 交叉（既不平行，也不相交）
A
●
X
a 点A的侧面投影
a●
Z
● a oW
H Y
空间点用大写字母 表示，点的投影用 小写字母表示。
3、投影面展开
V a
●
Z
az
W ●a
不动 V a
●
X
ax
a● H
O
ay ay
Y
Y X ax 向下翻
Z
向右翻
az
A
●
a● H
●a
O
W
ay
Y
4、点的直角坐标与三面投影的关系
Z
V
a
az
y
x
a
X
ax A
z
OW
（1）迹点的定义：直线与投影面的交点
（2）迹点的分类：水平迹点（M）、正面迹点（N） 和侧面迹点（S）。
a' n'N
m' b' A
O
B
a
M m
b
b' m'
Mm b
a' n'N
nO a
§3-4 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角
四、作图
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角 2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角角 3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角
一般位置直线
3、一般位置直线
凡同时倾斜（即既不平行 ，也不垂直） 于三个投影面的直线称为一般位置直线。
一般位置直线
Z
b
a
b
B b
a
b
a
X
O
Y
b
b A
a
a
a
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长 Y 2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3．不反映 、 、 实角
一般位置直线的投影特征为：
定理一 垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线 在该投影面上的投影仍反映直角。 定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于 该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。
二、交叉垂直的两直线的投影
定理三 相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线 在该投影面上的投影仍反映直角。 定理四 两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该 投影面，则空间两直线的夹角必是直角。
2、两投影面体系中点的投影
a
A
Z X
Y
a
点A的水平投影 —— a 点A的正面投影 —— a
3、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
4、两面投影图的画法
V
a
z
X
ax
x
O
y
a
a
H
H
5、两面投影图的性质
1) aaOX 2) aax =Aa , aax =Aa
通常不画出投影面的边界
三、点的三投影面体系中投影
a 三个投影与投影轴既不平行也不垂直。
b 任一投影均不反映该直
c' b' c" b"
线的实长，且小于实长。 a'
a"
V
Z
W
c
X
CB
a c'
b Z c"
A
a'
a"
X
O
YW
H
ac
Y
YH
c 任一投影与投影轴的夹角均不反映空间直线与任
何投影面的真实夹角。
c' b' c" b"
a'
a"
V
ZW
c
X
CB
a c'
轴，该两投影与相应投影轴之间的距离即为该直
线与相应投影面之间的距离。
V
Z W
b' a'
b" a"
D
X
BB
AA C
H
ab
b' Z b"
a'
a"
X
O
YW
Y
ab
YH
2、投影面垂直线
凡垂直于某一投影面,同时平行于另两 个投影面的直线统称为投影面的垂直线。其 中：
垂直于正投影面（V面）的称为正垂线； 垂直于水平投影面（H面）的称为铅垂线； 垂直于侧投影面（W面）的称为侧垂线；
X a
O
YW
b
YH
从属于V 投影面的铅垂线
Z
a
a
b
X a(b)
b
O
YW
YH
从属于OX轴的直线 Z
X a
a
b O
YW
ห้องสมุดไป่ตู้
b ab
YH
投影面垂直线的投影特征为：a 直线在与其所垂
直的投影面上的投影积聚为一点。该积聚投影与
相应投影轴间的距离即为该
直线与相应投影面间
V
的距离。 a'(b')
b"
a"
W
b
XB
解：方法一 先求出直线的侧面投影，再根据直线上
的点的投影特征求出k。
Z
d'
d"
d'
k"
k'
k'
e' X
dO
k
e" YW
e'
X
d k
O k0
d0
e
YH 方法二使用定比性。 e
直线和直线的相对位置
【例2】试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点的 两面投影。
b′
C′
a′
X
O
a c
b
2、直线的迹点
b Z
c"
A
a'
a"
X
O
YW
H
ac
Y
YH
直线上的点
§3－3 直线上的点
1、直线上点的两个重要特性：
（1） 从属性 直线上的点，其 各个投 影必在该直线的同面 投影上。
a' V
k'
m' b'
a"
a' Z a"
W k'
k"
A
k" m'
m"
K
b'
b"X
O
b" YW
m"
a
B aM
k b
m
H
k b
m YH
a' V
将同面投影相连。
2 各种不同位置直线的投影
按直线与投影面的相对位置分为三种情况： 垂直、平行和相交。从而将直线分为三类七种
二、直线的分类
投影面平行线
正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
ax
a●
解法二:
用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8 毫米，求点A的投影。
a
a
9
8 a
5
§3-2 直线的投影
一 直线的投影 1 直线投影的基本特性 一般情况下， 直线
的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。 直线投影的基本作图方法：求出两端点的投影，
C
D
A
F
B
E
1 两直线平行 投影特征：其同面投影必相互平行 根据投影特征可在投影图上图示或判定两空间直线 的平行情况，能帮助我们图示和理解物体的投影。
V b'
d'
b'
d'
B D a'
a'
c'
X
AC
ac Hb
a d
c'
O
c
d b
例 求作如图所示 物体的三视图
A B
C D
F
E主
应运用直线上的点
和两直线平行的投影特 性来作图
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
b
b YH
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
Z
b
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
a
b
a
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ 2． a b=AB 3． 反映、角的真实大小
b YH
（3）侧平线—只平行于侧面投影面的直线
a
Z
a
a
A
a
b
b
b
X
O
YW
a
a
b
B
b b
YH
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH 2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
规定 ：与H面的夹角为，与V面的夹角为，与
W 面的夹角为。、、均 900 ；任意两角之和
等于900。
V
Z
b'
b"
是否相交。解：(1) 画出第三面投影，按两直线相
交的投影特征进行判定。 c' b'
k'
c0k0=c'k'
a'
d'
X
O
a
c
(2) 使用定比分 c0
割原理。
k0
k d
dk0=d'k' b
(不相交）
3 两直线交叉 投影特征：其同面投影不会同时平行，其同面可 能相交，但交点的连线不垂直于相应的投影轴。
B C
一、点在一个投影面上的投影
P
过空间点A的投射线 与投影面P的交点即为点 A●
● a
A在P面上的投影。
点在一个投影面上
的投影不能确定点的空 间位置。
P
● b B1 B2 ● B3 ●
●
解决办法？ 采用多面投影。
二、点在两个投影面上的投影
1、两投影面
V
体系的建立
X
O
水平投影面 —— H 正面投影面 —— V 投 影 轴 —— OX
（1）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
a
Z
a
a
A
b
B a(b)
a
b
b
X
O
YW
b
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
（2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线
ab
z a
b
ab
A
a
B
b
X
O
YW
a a
b
b
YH
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
6、特殊点的投影
V
b
Bb
a
b
Cc
c
Aa
a c
X
O
b
c
a
H
四、 两点的相对位置
a
b
B b
A
a
b
a
两点中x值大的点 —— 在左 两点中y 值大的点 —— 在前 两点中z 值大的点 —— 在上
5、 重影点的投影
a
d(c)
b
A
C
D
B
a(b)
c
d
例1：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
A
a
Z
a'(b') b"
X
O
b
a" YW
H
Y
a
YH
b 直线的其余两个投影均垂直于相应的投影轴且 反映该直线的实长。
a'(b') b" a"
V W
b
XB AD
C
a
Z
a'(b') b"
X
O
b
a" YW
H
Y
a
YH
思考： 1 投影面的垂直线与投影 面的平行线有何区别？ 2 投影面的垂直线与各投 影面间的夹角为多少？