用直接积分法计算电流线圈的磁场

用直接积分法计算电流线圈的磁场

一．目的

1. 掌握用直接积分法计算电流线圈的磁场的方法和步骤。

2. 编制计算机程序，计算螺线管线圈的磁场，并绘制磁力线分布场图。

二．方法原理

这里以恒定磁场问题为例，介绍直接积分法。它是将连续场源效应的叠加予以等值代替，最终解得待求场量的离散解。换句话说，将连续函数的积分运算用求和的方法来近似逼近，是直接积分法的关键。 1. 轴对称磁场中沿轴线的磁场

当空间磁场的分布具有轴对称性质，则被称为轴对称磁场。

真空中一载电流I.半径为 0r 的环形回路，如图5.3-1所示，就是轴对称磁场的基本计算模型。

不难求得，沿此环形电流回路轴线上任一场点P 的磁感应强度为

图5.3-1 环形电流回路

图5.3-2 场源的离散化

B=

2

/32'202

0])([2z z r Ir -+μ （1）

磁感应强度B 的方向是沿z 轴的正方向的。

对于由多匝环形线圈组成的载流螺线管线圈磁场的分析，应用叠加原理，这时待求磁场可由各个环形载流线圈各自产生的效应叠加求解。即将各匝线圈内的电流I 视作集中在截面中心的“电流丝”，但这在导体较粗的情形下会带来一定的误差。因此，较理想的场源离散化处理方法是：如图5.3-2所示，取载流线圈的外轮廓线为场源周界，且认为场源截面S 内电流分布均匀，即

J=NI/S (2)

式中，N 是螺线管线圈的总匝数。然后，将截面离散成n 个小面积，第i 个小面积i S ∆（i=1,2,…n ）内的电流为

i i S J I ∆=∆ （3）

把此电流视作集中在i I ∆中心的电流丝。这样，当截面离散为足够数量的小面积

i S ∆时，就能保证计算结果具有满意的精度。

需要指出的是：场源离散化的网格的几何形状应力求规格化，以便可由计算机程序自动生成。对于电流分布不均匀的场源，离散时应使每一网格内的电流尽可能均匀。

场源离散完成后，利用叠加原理和式（1），就可计算出轴线上任一场点P 处的磁感应强度值为

B=

∑=-+∆n

i i p i

i i z z r

r I 1

2

/322

2

0])([2μ （4）

2.轴对称磁场中任意场点的磁场

容易导出，单个环形载流回路（图5.3-1所示）在任意点处磁感应强度各个分量的计算公式为

B r =)]()()

()()([])[(22

'02'2202/1220'

0k K k E z z r r z z r r z r r r z z I --+--++++-πμ 和

B Z =πμ20I ])()[(12'20z z r r -++)]()()

()()([2

'02

'220k K k E z z r r z z r r +-+---- （5） 这里,K(k)和E(k)分别为第一类和第二类椭圆积分。它们可分别由以下无穷

级数计算： K()k =2π[1+(4222)4*23*1()21(k k ++(6

)6

*4*25*3*1k +….] 和

E()k =2

π

[1-(--3)4*23*1(

)21(4222k k (-6

5)6*4*25*3*1k ….] (6) 式中k 值取决于环形回路的几何尺寸与场点位置

2

'2002

)()(4z z r r r r k -++=

对于载流螺线管磁场的分析，如前所述，它可看作N 匝环形载流回路的组合，显然，其磁场分布具有同样的轴对称特征。取过对称轴平面为分析场域。首先，按照上面所述方法，将场源网格离散化（离散成n 根电流丝），然后，应用叠加原理和式（5），求得待求场点处磁感应强度的各个分量分别为 B r =∑

=∆n

i i

I 102π

μ2

122]

)()[(i P P i P i

P z z r r r z z -++-⨯[)]()()

()()([

2

22

2k K k E z z r r z z r r i P p i i P p i --+--++

和

B r =∑=∆n

i i

I

1

02πμ2

1

22]

)()[(1

i P P i z z r r -++⨯)]()()

()()([

2

22

2k K k E z z r r z z r r i P p i i P p i +-+----

其中2

22

)()(4P i P i P

i z z r r r r k -++=

式中：P r ,P z 为场点的r 和z 方向的坐标；i r ,i z 为离散后的第i 个环形电流丝的半径与z 坐标，并设环形电流丝的轴线与轴重合。如直接根据式（8）编制程序，就可求得待求场点处的磁感应强度的解答。 3.轴对称磁场中场图的绘制

利用计算机直接绘制磁力线分布图，原则上可行，但工作量较大。然而，在轴对称磁场的情况下，通过磁矢位A 的数值解却提供了较方便地绘制图的途径。 容易证明，在轴对称磁场中，

r A =常数 （10）

该式表明，r A 等于定值的轨迹即为B 线。很明显，依此描述B 线自然方便得多。但必须指出的是，为使B 线分布符合定性乃至定量地分析磁场的需要，

在作图时，应按C r =∆)A (1

r （某一指定值）的原则，描绘相应的B 线。

为了利用式（10）所示的关系绘制场图，必须求出磁矢位A 的数值解。单个环形载流回路（图5.3-1所示）在任意点处的磁矢位的计算公式为

k I A πμ0=

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--)()()211(20k E k K k r

r 式中的K(k).E(k)和k 分别由式（6）和（7）给出。

对于载流螺线管的磁矢位的计算，可把其看作是N 匝环形载流回路的组合。按照上述计算磁感应强度的方法，线将场源离散成n 根电流丝，然后，应用叠加原理和式(10),求得待求场点处磁矢位的值为

k

I A i

n

i πμ∆=∑

=01⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--)()()211(2k E k K k r r P i 这里，k 可由式（9）算得。式中：, P r ,P z 为场点的r 与z 方向的坐标，

i r ,i z 为离散后的第i 个环形电流丝的半径与z 坐标，并设环形电流丝的轴线与z 轴重合。

三．上机作业

题5.3-1图所示为一载流螺线管线圈的剖面图。该线圈总匝数N=1995匝，通有电流I=0.5 A ，线圈的内外半径分别为1R =2.7 cm 和2R =3.26 cm,高度为h=22.8 cm 。根据本节给出的计算方法，制定框图和编制计算程序，且：