Z变换-反变换求系统响应及稳定性判断

燕山大学

课程设计说明书

题目：Z变换-反变换求系统响应及稳定性判断

学院（系）：电气工程学院

年级专业：

学号：

学生姓名：

指导教师：

教师职称：

燕山大学课程设计（论文）任务书

院（系）：电气工程学院基层教学单位：自动化仪表系

说明：此表一式四份，学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。

年月日

目录

第1章摘要 (1)

1引言 (1)

第2章基本原理 (2)

2.1 MATLAB及数字信号处理 (2)

2.2 Z变换与Z反变换的概念与原理 (2)

2.3系统的稳定性 (8)

第3章程序实现及结果分析 (9)

学习心得 (13)

第1章摘要

1.引言

介绍了Z变换及其逆变换的基本概念，论述了利用极点判断方法判定系统稳定性的原理和系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，并用MATLAB具体实现了的程序。任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态,开始产生偏差.所谓稳定性,是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能.系统的稳定性是系统设计与运行的首要条件,只有稳定的系统才值得分析与研究,才有必要分析研究该系统的其他自动控制问题.在经典控制理论中,线性系统稳定的充分必要条件。利用极点判断系统的稳定性，该方法最有效，其计算相对复杂，而matlab又能利用其工具箱快速计算出一个系统的零极点坐标并能绘制出系统的零极点分布图，用户可以直观地判定一个系统是否稳定，简便快捷。利用matlab分析控制系统的稳定性及系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，具有运算简单、操作方便、处理速度快、分析结果准确可靠等优点。由此可见，MATLAB为工程技术人员分析、设计较优的控制系统提供了强有力的工具。

［关键词］MATLAB;控制系统;Z变换及反变换；稳定性;极点；单位脉冲响应；单位阶跃响应

第2章 基本原理

2.1 MATLAB 及数字信号处理

MATLAB 是矩阵实验室之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。

MATLAB 的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,故用MA TLAB 来解算问题要比用C,FORTRAN 等语言完全相同的事情简捷得多.可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB 函数库中方便自在新的版本中也加入了对C,FORTRAN,c++ ,JA V A 的支持. 可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB 函数库中方便自己以后调用。

信号是数字信号处理领域中最基本、最重要的概念。简单的说，信号就是信息的载体，是信息的物理体现。信号既可以分为时间连续、幅度也连续的模拟信号和在时间和幅度上都经过量化的数字信号，也可以划分为连续时间信号和离散时间信号。几乎在科学技术的每一领域，为了，为了信号的提取，都要进行信号处理，就是一数值计算的方法对信号进行采集，变换，综合，估计，与识别的加工处理过程，借以达到提取信息和便于应用的目的。随着计算机和信息科学的飞速发展，信号处理已经逐渐发展为一门独立的学科，是信息科学的重要组成部分。在语音处理，雷达，航空，航天，地质勘探，通信，生物医学工程等众多领域得到了广泛应用。

MATLAB 软件，在数字信号处理方面具有得天独厚的优势。利用目录下的系统函数，用户可以实现波形的产生，信号的变换，滤波，功率谱估计，系统设计与稳定性分析，小波信号分析等众多功能。本文既是以数字信号处理的理论为基础，应用MA TLAB 软件用Z 变换与Z 反变换设计控制系统并分析稳定性的一个具体事例。

2.2 Z 变换与Z 反变换的概念与原理

2.2.1 Z 变换理论

Z 变换的思想来源于连续系统。线性连续系统的动态性能及稳定性，可以用拉氏变换的方法来进行分析，与此类似，线性离散系统的性能，可以采用Z 变换的方法来获得。Z 变换是从拉氏变换直接引申出来的一种变换方法，它实际上是采样函数拉氏变换的变形。因此，Z 变换又称为采样拉氏变换，是研究线性离散系统的重要数学工具。

（1） Z 变换的定义

连续函数)(t f 的拉氏变换式为

⎰

∞

-==0

)()]([)(dt e t f t f L s F st

设)(t f 的采样信号为)(*

t f ∑∞

=-=0

)()()(*n nT t nT f t f δ

其拉氏变换为

∑∞

=-=0

)()(*n nTs e nT f s F （7-13）

上式中sT

e

-是s 的超越函数，不便于直接运算。因此引入一个新的复变量

Ts

e z =

∑∞

=-=

=0

)()()](*[n n

z

nT f z F t f Z （7-14）

式（7-14）被定义为采样函数)(*t f 的Z 变换。它和式（7-13）是互为补充的两种变换形式。前者表示Z 平面上的函数关系，后者表示S 平面上的函数关系。

（2）对Z 变换还必须强调指出以下两点：

1. 变量z 是一个复变量,变量s 在拉氏变换中也是一个复变量，可表示为 s=σ＋j ω

于是 θωσj jT T Ts e z e e e z =⋅==

（7-15）

其中 T

e

z σ=

T ωθ=

式（7-15）就是变量z 以模z 和幅角θ形式表示的复变量。

2. 在Z 变换过程中，由于考虑的仅是连续时间函数经采样后的离散时间函数，或者说仅是连续时间函数在采样时刻上的采样值，所以式（7-14）表达的仅是连续时间函数在采样时刻上的信息，而不反映采样时刻之间的信息，从这个意义上来说，连续时间函数)(t f 与相应的离散时间函数)(*t f 具有相同的Z 变换，即

Z[)(t f ]＝Z[)(*t f ]=F(z)

（3） Z 变换的求法

1. 级数求和法

设连续时间函数为)(t f ,对应的离散时间函数为)(*t f ,将)(*t f 展开如下 ∑∞

=-=

)()()(*n nT t nT f t f δ

⋅

⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-+=)()()2()2()()()()0(nT t nT f T t T f T t T f t f δδδδ

然后逐项进行拉氏变换，得到 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=--nTs Ts

e nT

f e T f f s F )()()0()(*

或者

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=--n z nT f z T f f z F )()()0()(1 （7-16）

上式就是离散时间函数)(*t f 进行Z 变换的一种级数表达形式。由这种表达形式可知，如果知道连续时间函数)(t f 在各采样时刻nT （n=0,1,2,…）上的采样值

)(nT f ，便可根据式（7-16）求得其Z 变换的级数展开式，它是一个无穷项的级数。

2. 部分分式法