离散数学——群论

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群的性质
6.群中元素的阶 群中元素的阶 定义】元素的阶(Order)： 【定义】元素的阶 ： 是群， ∈ ， 设<G, >是群，a∈G， 是群 的最小正整数k称 的阶 记作|a| 的阶， 使ak=e的最小正整数 称为a的阶，记作 。 的最小正整数 如果这样的 不存在，则称a的阶是无限的 这样的k不存在 的阶是无限的。 如果这样的 不存在，则称 的阶是无限的。 注: (1) |a| = |a-1| (2) |e| = 1
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群的性质
群的性质包括： 群的性质包括： 1)可消去性 1)可消去性 2)群方程的可解性 重点） 群方程的可解性（ 2)群方程的可解性（重点） 3)群中无零元 3)群中无零元 4)有限群运算表的特性 4)有限群运算表的特性 5)可定义群中元素的幂运算 重点） 可定义群中元素的幂运算（ 5)可定义群中元素的幂运算（重点） 6)可定义元素的阶 6)可定义元素的阶
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群的性质
其中Z 【例3】设有群〈Z6，⊕6〉,其中 6={0,1,2,3,4,5}, 】设有群〈 其中 ⊕6是模 加法 试求出群〈Z6，⊕6〉中每一元素 是模6加法 试求出群〈 加法,试求出群 的阶。 的阶。
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群的性质
【练习3】求群<Z,+>, <Zn， ⊕n>及<P(S), ⊕>中 练习 】求群 及 中 各元素的阶。 各元素的阶。
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群的性质
5.群中元素的幂运算 群中元素的幂运算 是群， 设G是群，a ∈G，则 是群 ，
e, n = 0 n −1 n a = a a, n ≥ 1 (a −1 ) − n , n ≤ −1
与群<Z 【例3】在群 】在群<Z,+>与群 3， ⊕ >中，分别计算 -5与2-3. 与群 中 分别计算3
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循环群
关于循环群的两个问题： 关于循环群的两个问题： (1)如何求取循环群的所有生成元？ 如何求取循环群的所有生成元？ 如何求取循环群的所有生成元 (2)如何求取循环群的所有 循环 子群？ 如何求取循环群的所有(循环 子群？ 如何求取循环群的所有 循环)子群
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循环群
【定理2】设G=<a>， 定理 】 ， (1)若|G|= ∞，则G的生成元只有 与a-1。 若 的生成元只有a与 ， 的生成元只有 (2)若|G|=n，则G的生成元是 k，其中 是与 互素的正 若 的生成元是a 其中k是与 是与n互素的正 ， 的生成元是 整数。 整数。
得a-1 =(-a)/(1+a) ∈S。 。 综上知<S， 是群 是群。 综上知 ，*>是群。
群的基本概念
是一个群, 【练习1】 设<G，ο>是一个群 u∈G , 在G中定义新的 练习 】 ， 是一个群 ∈ 中定义新的 运算*, 使得对于任意的a 运算 使得对于任意的 , b ∈G , a*b=a ο u-1ο b,试证明 试证明 <G，*>也是一个群。 ， 也是一个群 也是一个群。
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群的基本概念
4) 每个元素存在逆元： 每个元素存在逆元： 对于任意a∈ 设 存在且a 对于任意 ∈S,设a-1存在且 -1 ∈S ，则
a ∗ a −1 = 0 −1 * a = 0 a
a + a −1 + a a −1 = 0 即 a −1 + a + a −1a = 0
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群的基本概念
2) 运算 满足结合律： 运算*满足结合律 满足结合律： 任意a， ， ∈ ， 任意 ，b，c∈S，有 (a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c =a+b+c+ab+ac+bc+abc,且 且 a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc) =a+b+c+ab+ac+bc+abc, 所以， 满足结合律。 所以，(a*b)*c=a*(b*c)，即*满足结合律。 ， 满足结合律
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群的性质
其中⊕ 【例2】设群 】设群G=<P({a,b}), ⊕ >,其中⊕是集合的对 其中 称差运算，解下列方程： 称差运算，解下列方程： (1){a} ⊕ x= Φ (2)y ⊕ {a,b}={b}
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群的性质
加法， 【练习2】设群 8， ⊕8 >， ⊕8是模 加法，在 练习 】设群<Z ， 是模8加法 群中解下列方程： 群中解下列方程： (1)x ⊕8 6 =5; (2)2 ⊕8 y = 3.
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群的性质
3. 群中无零元。 群中无零元。 4. 有限群的运算表的特征 <G, >是个有限群，则G中每个元素在 运算表中的每 是个有限群， 是个有限群 中每个元素在 一行(列 必出现且仅出现一次 必出现且仅出现一次。 一行 列)必出现且仅出现一次。 应用：通过运算表可直接看出代数系统是否是群。 应用：通过运算表可直接看出代数系统是否是群。
群的基本概念
1)运算 在S上封闭： 运算*在 上封闭 上封闭： 运算 任意a， ∈ ， 任意 ，b∈S，有a*b=a+b+ab∈R，且a≠ -1，b≠ -1。 ∈ ， ， 。 若a*b= -1即a+b+ab= -1，则a= -1或b= -1，与题设矛盾 即 ， 或 ， ，故a*b≠ -1. 所以a*b∈S，即运算 在S上封闭。 ∈ ，即运算*在 上封闭 上封闭。 所以
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循环群
循环群举例: 循环群举例 （1）无限阶循环群：<Z，+> , Z=<1>=<-1> ）无限阶循环群： ， 2）n阶循环群 阶循环群： Zn=<1>=<n-1> （2）n阶循环群：<Zn, ⊕n >, 这是两个重要的循环群，且可以证明， 这是两个重要的循环群，且可以证明，从同构的意 义来说，循环群只有两个，即无限群<Z,+>与n阶有 义来说，循环群只有两个，即无限群 与 阶有 限群<Z 限群 n, ⊕n >。 。
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(封闭 封闭) 封闭 (有幺元 有幺元) 有幺元 (元素可逆) 元素可逆 元素可逆
子群
思考： 思考： 中的幺元及元素的逆元在子群H中能 若H ≤ G，则群 中的幺元及元素的逆元在子群 中能 ，则群G中的幺元及元素的逆元在子群 否继承？ 否继承？
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子群
【定理】 定理】 1） 群 G的非空子集 对于 的运算构成一个子群的 的非空子集H对于 ） 的非空子集 对于G的运算构成一个子群的 充要条件是： 充要条件是： ∀a,b∈H ，有ab-1∈H。 ∈ 。 2）H是群 的非空有限子集 H对于 的运算构成一 是群G的非空有限子集 对于G的运算构成一 ） 是群 的非空有限子集, 对于 个子群的充要条件是： 个子群的充要条件是： ∀a,b∈H,有ab∈H。 ∈ 有 ∈ 。
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群的性质
1. 可消去性 是群， 设<G, >是群，则对任何 是群 则对任何a,b,c∈G, 如果有 ∈ 如果有 ⑴ a b=a c 则 b=c 。 ⑵ b a= c a 则 b=c 。
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群的性质
2. 群方程可解性 是个群， 设<G, >是个群，则对任何 b∈G, 是个群 则对任何a, ∈ 中存在唯一解。 方程 a x=b 或 y a=b 在G中存在唯一解。 中存在唯一解 思考：解的形式？ 思考：解的形式？
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循环群
【定理3】设G=<a>, 定理 】 (1)若|G|= ∞ ，则G的循环子群有无限个，即为 若 的循环子群有无限个， 的循环子群有无限个 <a0>,<a>,<a2>,<a3>, ....... (2)若|G|=n，则G的循环子群为 n/d>,其中 是n的所有 若 的循环子群为<a 其中d是 的所有 ， 的循环子群为 其中 正因子， 的循环子群的个数为n的正因子个数 正因子，即G的循环子群的个数为 的正因子个数。且 的循环子群的个数为 的正因子个数。 |<an/d>|= d。 。
群的基本概念
3) 存在幺元： 存在幺元： 若幺元e存在 则对任意a∈ ， 存在， 若幺元 存在，则对任意 ∈S，满足
a ∗ e = a e * a = a
a + e + ae = a 即 e + a + ea = a
即幺元存在且为0。 得 e = 0 ,即幺元存在且为 。 即幺元存在且为
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作业： 作业： 练习1】 练习3】 课件中的 【练习 】，【练习 】 课本 6.4，6.9(1) ，
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群论
群的基本概念及性质
子群
特殊群
(循环群 循环群 置换群 阿贝尔群 Klein四元群 四元群) 四元群
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子群
【定义】子群 定义】子群(Subgroup)： ： 的非空子集H如果对于 的运算也构成一个群， 群G的非空子集 如果对于 的运算也构成一个群，则 的非空子集 如果对于G的运算也构成一个群 的子群， 称H为G的子群，记作 为 的子群 记作H≤G。即： 。 设<G, >是群 H是G的非空子集，如果 是群, 的非空子集， 满足： 是群 是 的非空子集 如果<H, >满足： 满足 任何a,b∈ ⑴ 任何 ∈S 有a b∈H, ∈ ⑵幺元 e∈H, ∈ ⑶任何a∈H 有a-1∈H, 任何 ∈ 则 H≤G
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循环群
的生成元与循环子群。 【例1】求<Z，+>与<Z8 , ⊕8>的生成元与循环子群。 】 ， 与 的生成元与循环子群 解：(1)<Z, +> 生成元： 生成元： 1 与 -1 . 循环子群：<10>=<0>={0}, 循环子群： <11>=<1>= Z, <12>=<2>=2Z, ……………… <1k>=<k>=kZ, ………………
特殊群
(循环群
置换群 阿贝尔群
Klein四元群)
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循环群
【定义】 循环群 定义】 循环群(Cyclic group)： ： 如果群G可以由一个元素 生成 则称G 如果群 可以由一个元素a生成，即 G={ak|k∈Z},则称 可以由一个元素 生成， ∈ 则称 为由a生成的一个循环群 并称a为 的一个生成元（ 生成的一个循环群， 的一个生成元 为由 生成的一个循环群，并称 为G的一个生成元（ Generator），记为G=<a>。 Generator），记为G=<a>。 ），记为 可以证明， 可以证明，若G=<a>，则G=<a-1>，即a与a-1 都是 的 ， ， 与 都是G的 生成元。 生成元。
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循环群
【定理1】设循环群 定理 】设循环群G=<a>，则 |a| = |G|，即循环群的 ， ， 阶与生成元的阶是相同的。 阶与生成元的阶是相同的。 当|G|=∞时，G=<a>={…, a-2,a-1,e, a1,a2,…} 时 当|G|=n时， G=<a>={a0,a1,a2,…,an-1} 时
离散数学
Discrete Mathematics
主讲： 主讲：陈哲云 青岛理工大学计算机工程学院 2011 2011.09
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群论
群的基本概念及性质
子群 特殊群
(循环群 循环群 置换群 阿贝尔群 Klein四元群 四元群) 四元群
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群的基本概念
【定义】群( Group): 定义】 是个代数系统， 设<G, >是个代数系统，如果 满足 是个代数系统 (1)封闭 封闭 (2)可结合 可结合 (3)有幺元 有幺元 (4)每个元素可逆且逆元仍在 中 每个元素可逆且逆元仍在G中 每个元素可逆且逆元仍在 则称<G, >是个群，简称 为群。 是个群， 为群。 则称 是个群 简称G为群
群的基本概念
典型群举例： 典型群举例： <Z,+> 幺元e 幺元 x-1
4
<Zn, ⊕n> 0
x=0 0, x = n − x, x ≠ 0
−1
<P(S), ⊕> Φ x
0 -x
群的基本概念
上定义运算*： 【例1】设S=R-{-1}，S上定义运算 ： 】 ， 上定义运算 a*b=a+b+ab，试证明<S，*>是群。 ，试证明 ， 是群 是群。 证明 从以下几方面进行证明： 从以下几方面进行证明： 1) 运算 在S上封闭；2) 运算 满足结合律； 运算*在 上封闭 上封闭； 运算*满足结合律 满足结合律； 3)存在幺元； 存在幺元； 存在幺元 4) 每个元素存在逆元。 每个元素存在逆元。
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子群
是一个群， 的子集H为 【例】设<G，*>是一个群，定义 的子集 为 ， 是一个群 定义G的子集 H={a|a*x=x*a，对于任意的 ∈G} ，对于任意的x∈ 试问H对于运算 能否构成<G， 的子群 对于运算*能否构成 的子群？ 试问 对于运算 能否构成 ，*>的子群？
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群论
群的基本概念及性质 子群