第七章 对角矩阵

λ
x1 = − x3 再解齐次线性方程组 ( −1 ⋅ E − A ) X = 0, 得 x = 0 2
故其基础解系为： 故其基础解系为： (1,0, −1) 所以， 所以， η3 = ε 1 − ε 3 的属于特征值－ 的线性无关的特征向量 的线性无关的特征向量. 是σ 的属于特征值－1的线性无关的特征向量
ai ∈ P
①
设 a1ξ1 + a2ξ 2 + ⋯ + akξ k = 0, 以 λk 乘①式的两端，得 式的两端，
a1λkξ1 + a2λkξ 2 + ⋯ak λkξ k = 0.
又对① 又对①式两端施行线性变换 σ ，得
②
a1λ1ξ1 + a2λ2ξ 2 + ⋯ ak λkξ k = 0.
③
③式减②式得 式减②
{
η1 ,η2 ,η3 线性无关，故 σ 可对角化，且 线性无关， 可对角化，
σ 在基 η1 ,η2 ,η3 下的矩阵为对角矩阵
1 0 0 0 1 0 ; 0 0 −1
1 0 1 (η1 ,η2 ,η3 ) = ( ε 1 , ε 2 , ε 3 ) 0 1 0 . 1 0 −1
即 ai 1ξ i 1 + ⋯ + airi ξ iri = 0. 线性无关， 而 ξ i 1 ,⋯ , ξ iri 线性无关，所以有
ai 1 = ⋯ = airi = 0, i = 1, 2,⋯ , k .
线性无关. 故 ξ11 ,⋯ , ξ1r1 ,⋯ , ξ k 1 ,⋯ , ξ krk 线性ri ξ iri , i = 1,2,⋯ , k .
η 由④有， 1 + η2 + ⋯ + ηk = 0.
若有某个 ηi ≠ 0, 则 ηi 是 σ 的属于特征值 λi 的 特征向量. 是互不相同的，由定理8， 特征向量 而 λ1 , λ2 ,⋯ λk 是互不相同的，由定理 ， 必有所有的 ηi = 0, i = 1,2,⋯ , k .
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §5 对角矩阵 §6线性变换的值域与核 §7不变子空间 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 小结与习题
§7.5 对角矩阵
一、可对角化的概念 二、可对角化的条件 三、对角化的一般方法
一、可对角化的概念
σ 证明：首先， 证明：首先， 的属于同一特征值 λi 的特征向量
的非零线性组合仍是 σ 的属于特征值 λi 的一个特征 向量. 向量
设 a11ξ11 + ⋯ + a1r1ξ1r1 + ⋯ + ak 1ξ k 1 + ⋯ + akrk ξ krk = 0, ④
a11 ,⋯ , a1r1 ,⋯ , ak 1 ,⋯ , akrk ∈ P .
−7 −2 1 x1 0 2 −2 −2 x2 = 0 −3 −6 −3 x 0 3 1 2 的一个基础解系: ( , − ,1) 的一个基础解系 3 3
所以A可对角化 所以 可对角化. 可对角化
令
1 −2 1 3 2 T = 1 0 − 0 1 13
互不相同， 但 λ1 , λ2 ,⋯ , λk 互不相同，所以 a1 = a2 = ⋯ = ak −1 = 0. 将之代入① 将之代入①，得 akξ k = 0.
∵ ξ k ≠ 0,
∴ ak = 0
线性无关. 故 ξ1 , ξ 2 ,⋯ , ξ k 线性无关
3. (推论1) 设 σ 为n 维线性空间 的一个线性变换， 推论1 维线性空间V的一个线性变换 的一个线性变换， 推论
4. (定理9) 设 σ 为线性空间 的一个线性变换， 定理9 为线性空间V的一个线性变换 的一个线性变换， 定理
λ1 , λ2 ,⋯ λk 是σ 的不同特征值，而 ξ i 1 , ξ i 2 ,⋯ξ iri 是属于 的不同特征值，
的线性无关的特征向量， 特征值 λi 的线性无关的特征向量， i = 1, 2,⋯ , k , 线性无关. 则向量 ξ11 ,⋯ , ξ1r1 ,⋯ , ξ k 1 ,⋯ , ξ krk 线性无关
−1 P 上的 n 级可逆矩阵 X ，使 X AX 为对角 存在一个
矩阵， 称矩阵 可对角化 可对角化. 矩阵，则称矩阵A可对角化
二、可对角化的条件
1. (定理 设 σ 为 n 维线性空间V的一个线性变换， 定理7) 定理 维线性空间V的一个线性变换，
个线性无关的特征向量. 则σ 可对角化 ⇔ σ 有 n 个线性无关的特征向量 证：设σ 在基 ε 1 , ε 2 ,⋯ε n下的矩阵为对角矩阵
（或矩阵A）可对角化 以这些解向量为列，作一个 或矩阵 ）可对角化. 以这些解向量为列，
T −1 AT 是对角矩阵 而且 n阶方阵 ，则T可逆， 阶方阵T， 可逆， 是对角矩阵. 阶方阵 可逆
T就是基 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n 到基 η1 ,η2 ,⋯ ,ηn 的过渡矩阵 就是基 的过渡矩阵.
λ1 λ2 ⋱ λn 则有σε i = λi ε i , i = 1,2,⋯ n.
∴ ε 1 , ε 2 ,⋯ε n 就是σ 的n个线性无关的特征向量 个线性无关的特征向量. 个线性无关的特征向量
反之， 反之，若 σ 有 n 个线性无关的特征向量 η1 ,η2 ,⋯ ,η n , 为基， 那么就取η1 ,η 2 ,⋯ ,ηn 为基，则在这组基下σ 的矩阵 是对角矩阵. 是对角矩阵
3 2
的特征值是2、 、 得A的特征值是 、2、-4 . 的特征值是
对于特征值2， 对于特征值 ，求出齐次线性方程组
−1 −2 1 x1 0 2 4 −2 x2 = 0 −3 −6 3 x 0 3
的一个基础解系:（－ 、 、 ），（ ），（1、 、 ） 的一个基础解系 （－2、1、0），（ 、0、1） （－ 对于特征值－4，求出齐次方程组 对于特征值－ ，
中有n个不同特征值 如果 σ 的特征多项式在数域 P中有 个不同特征值， 中有 个不同特征值， 可对角化. 则 σ 可对角化 特别地， 推论 在复数域C上的线性空间中 推论2 上的线性空间中， 特别地，(推论2) 在复数域 上的线性空间中， 的特征多项式没有重根， 如果线性变换σ 的特征多项式没有重根，则 σ 可 对角化. 对角化
( λi E − A) X = 0,
i = 1.2.⋯ k
的一个基础解系（ 的一个基础解系（此即 σ 的属于 λi 的全部线性无关 下的坐标） 的特征向量在基 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n下的坐标）.
3°若全部基础解系所合向量个数之和等于n ，则 °若全部基础解系所合向量个数之和等于
σ 有n个线性无关的特征向量 η1 ,η2 ,⋯ ,ηn , 从而 σ 个线性无关的特征向量
5. 设 σ 为n维线性空间 的一个线性变换，λ1 , λ2 ,⋯ λr 维线性空间V的一个线性变换 的一个线性变换，
全部不同的特征值， 为σ 全部不同的特征值，则 σ 可对角化
⇔ ∑ dimVλi = n,
i =1
r
Vλi 为 σ 的特征子空间 的特征子空间.
6. 设 σ 为n维线性空间 的一个线性变换， 维线性空间V的一个线性变换 维线性空间 的一个线性变换，
定义1 维线性空间V的一个线性变换 的一个线性变换， 定义 ：设σ 是 n 维线性空间 的一个线性变换，
如果存在V的一个基， 如果存在 的一个基，使σ 在这组基下的矩阵为对 的一个基 角矩阵，则称线性变换 可对角化. 角矩阵，则称线性变换 σ 可对角化
定义2 矩阵A是数域 级方阵. 定义 ：矩阵 是数域 P 上的一个 n 级方阵 如果
设复数域上线性空间V的线性变换 例1. 设复数域上线性空间 的线性变换 σ 在某组基
ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵为
0 0 1 A = 0 1 0 1 0 0
是否可对角化. 在可对角化的情况下， 问σ 是否可对角化 在可对角化的情况下，写出 基变换的过渡矩阵. 基变换的过渡矩阵
3 2 −1 为以角矩阵. T −1 AT 为以角矩阵 这里 A = −2 −2 2 3 6 −1
解: A的特征多项式为 的特征多项式为
λ − 3 −2 1 λ E − A = 2 λ + 2 −2 −3 −6 λ + 1
= λ − 12λ + 16 = ( λ − 2 ) ( λ + 4 )
若σ 在某组基下的矩阵为对角矩阵
λ1 λ2 D= ⋱ λn
则 1）σ 的特征多项式就是 ）
fσ (λ ) = ( λ − λ1 ) ( λ − λ2 )⋯ ( λ − λn )
2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一 ）对角矩阵 主对角线上元素除排列次序外是唯一 确定的,它们就是 的全部特征根(重根按重数计算 重根按重数计算). 确定的 它们就是 σ 的全部特征根 重根按重数计算
a1 (λ1 − λk )ξ1 + a2 (λ2 − λk )ξ 2 + ⋯ ak −1 (λk −1 − λk )ξ k −1 = 0
ξ 由归纳假设， 线性无关， 由归纳假设， 1 , ξ 2 ,⋯ξ k −1 线性无关，所以
ai (λi − λk ) = 0, i = 1, 2,⋯ , k − 1.
即基 ε 1 , ε 2 , ε 3 到 η1 ,η2 ,η3 的过渡矩阵为
1 0 1 T = 0 1 0 , 1 0 −1 1 0 0 T −1 AT = 0 1 0 . 0 0 −1
是否可对角化？ 例2. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵 ，使 是否可对角化 若可，求可逆矩阵T，
2. (定理 设 σ 为n维线性空间 的一个线性变换, 定理8) 维线性空间V的一个线性变换 的一个线性变换, 定理
如果 ξ1 , ξ 2 ,⋯ξ k分别是σ 的属于互不相同的特征值
λ1 , λ2 ,⋯ λk 的特征向量，则ξ1 , ξ 2 ,⋯ξ k 线性无关 的特征向量， 线性无关.
作数学归纳法. 证：对k作数学归纳法 作数学归纳法
解：A的特征多项式为 的特征多项式为
0 −1 2 λ E − A = 0 λ − 1 0 = ( λ − 1) ( λ + 1) −1 0 λ
的特征值是1、 、－ 、－1. 得A的特征值是 、1、－ 的特征值是 解齐次线性方程组 ( 1 ⋅ E − A ) X = 0, 得 x1 = x3 故其基础解系为： 故其基础解系为： (1,0,1),(0,1,0) 所以， 所以， η1 = ε 1 + ε 3 , η2 = ε 2 的属于特征值1的两个线性无关的特征向量 的两个线性无关的特征向量. 是σ 的属于特征值 的两个线性无关的特征向量
∵ 线性无关. 命题成立. 当 k = 1 时， ξ1 ≠ 0, ∴ ξ1 线性无关 命题成立
来说，结论成立. 假设对于 k − 1 来说，结论成立 现设 λ1 , λ2 ,⋯ λk 为
σ 的互不相同的特征值，ξ i 是属于 λi 的特征向量， 的互不相同的特征值， 的特征向量，
即
σξ i = λiξ i , i = 1,2,⋯ , n.
则
2 0 0 T AT = 0 2 0 0 0 −4
−1
练习： 求微分变换D的特征多 练习：在 P[ x ]n ( n > 1) 中, 求微分变换 的特征多
三、对角化的一般方法
为维线性空间V的一个线性变换 的一个线性变换， 设 σ 为维线性空间 的一个线性变换，ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n 的一组基， 在这组基下的矩阵为A. 为V的一组基， σ 在这组基下的矩阵为 的一组基
步骤: 步骤
1° 求出矩阵A的全部特征值 1° 求出矩阵A的全部特征值 λ1 , λ2 ,⋯ , λk . 2° 对每一个特征值 λi ，求出齐次线性方程组 °