《相似图形》综合复习课件1

二、黄金分割与相似多边形
A C B
黄金比 5 1 点C把线段AB分成两条线段AC和BC, 2 AC BC 如果 , ≈0.618
AB AC
那么称 线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点, AC与AB的比叫做黄金比.
相似多边形的对应角相等， 对应边成比例.
三、相似三角形的定义？判定？性质？
∴ ∠AED=180 ° - ∠A - ∠ADE =180 ° - 70 ° - 50° = 60° C ∵ （3） △ADF∽△ABC
AD = ∴ AB
DE
BC
∴ AD=6cm，DB=3cm，BC=9.9cm,则AB=AD+DB=9cm
∴
6
9
=
DE
9.9
∴ DE=6.6 cm
D
6、如图，小明欲测量红塔 的高，他站在该塔的影子 B ？ 上前后移动，直到他本身 1.6m 18m 2m A 影子的顶端正好与塔的影 E C 子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高 是1.6m，他的影子长是2m。（1）图中△ABC与△ADE 是否相似？为什么？（2）求红塔的高。
AD AC = AC AB
AC 2 = AD · AB ∴ ∴应该选：C
3、如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点 P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部， 当他向前再行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部 刚好接触到路灯B的底部。已知王华的身高是1.6m，两 个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB= x m。 （1）求两个路灯之间的距离； （2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？ 解： （1）由题得： x 1.6 = 2x+12 9.6 解得：x = 3 m
这两个相似多边形对应边的比是2︰3
8、如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，
S△ABC =48，求 S△ADE
A 解：∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B ∠AED=∠C
D
B
E
C
∴ △ADE∽△ABC ∴
AD 2 S△ADE =（ ） S△ABC AB
AD
3
∵ AD=3BD ∴
∴ ∵
S△ADE = S△ABC
第四章 相似图形
知识回顾 一、比例的性质？
比例的基本性质─ 比例的合比性质─
a c ad bc . b d
a c ab cd 。 b d b d
比例的等比性质──
a c m a c m a (b d n 0 ) b d n b d n b
解： 四条线段a、b、c、d成比例 ∵
∴
a c = b d a
3 2
又 ∵ b=3cm，c=2cm，d=6cm ∴
=
6 6a=6 a=1
3、如图，将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对 折，得到的矩形ADFE与矩形ABCD相似，确定矩形 ABCD长与宽的比。
D F
解：∵ 矩形ADFE与矩形ABCD相似 C AE ∴ AD = AB AD
（1）相似，理由如下： 解：
∠A= ∠A ，∠BCA=∠DEA=90 ° ∵ △ABC∽△ADE ∴ AE DE = ∴ （2）∵ △ABC∽△ADE BC AC ∵ BC=1.6 m,AC=2m, EC=18 m,则AE=AC+EC=2+18=20m
DE = ∴ 1.6
20
2
∴ DE=16 m
7、如果两个相似多边形面积的比为4︰9，那么这两 个相似多边形对应边的比是多少？ 解：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方得：
9
AB
=
4
16
∴
S△ABC = 48
S△ADE = 27
9、如图，AB、CD交于点O，且AC//BD。 则OA· OD=OC· OB吗？为什么？ 解： OA· OD=OC· OB，理由如下： ∵ AC//BD
∴ ∠A=∠B
D O A
B C
∠C=∠D
∴ ∴
△AOC∽△BOD OA = OB
OC
OD OD=OC· OB ∴ OA·
相似三角形周长的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似多边形的周长比等于相似比 相似多边形面积的比等于相似比的平方
四、位似图形
如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组 对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的 两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心.
这时的相似比又称为位似比.
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之 比等于位似后的边是原三 角形对应边的3倍，并分别确定放大前后对应斜边的比 值、对应直角边的比值。 解：
放大前后对应斜边的比值是1︰3、 对应直角边的比值是1︰3。
2、四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm， d=6cm，求线段a的长。
根据题意，可得：四边形CDBE是平行四边形
A
且△AEC∽△FGH
FG CE = HG ∴ AE 2.7m C 1.2m D ∵ FG=1m CE=BD=2.7m ,HG=0.9 m F 1.2m AE 2.7 1m ∴ 1 = 0.9 2.7m B H 0.9 G ∴ AE= 3 m
∴树高AB =AE+BE =3 + 1.2 = 4.2 m
10、（1）在平面直角坐标系中 描出点A（4，2），B（2，4）， C（0，4），D（0，2），E（2， 解： 所以、 除以 2 后得到的 0），顺次连接点A、B、C、D、 E、A，得到一个五边形ABCDE。新五边形与原五边形相似 （2）将点A、B、C、D、E的 横坐标和纵坐标都除以2，得到 五个新的点，顺次连接这五个 点，得到一个新的五边形，这 两个五边形相似吗？如果将点 A、B、C、D、E的横坐标和纵 坐标都除以 3 呢？
C组题
1、如图，BC与EF在一条直线上，AC//DF。将图（2） 中的三角形截去一块，使它变为与图（1）相似的图形。
D G D
A
A
Q
B
C E
F
B
C E
P
F
方法1：作EG//AB， 方法2：在EF上任取一点P过点P作 交DF于点G，沿EG PQ//AB，交DF于点Q，沿PQ将图 将△DEG截去即可。 （2）截开，得△PQF∽△ABC
∴
AD 2=AB· AE AE= AB 2 =2 1 AB 2 AD 2 AB 2 = 2 AD 2 AB = √2 AD AB ︰AD = √2︰1
1
A
E
B
又∵ ∴ ∴ ∴ ∴
4、如图，BC//DE//FG，图中有几对相似三角形？你 是怎样判断的？
A B C E G
解： 有三对，它们是：
△ABC∽△ADE
E
1、定义：三角对应角相等、三边对应成比例 的两个三角形叫相似三角形 2、判定： 两角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 3、性质： 相似三角形对应角相等，对应边成比例 相似三角形对应高的比，对应角平分线的 比和对应中线的比都等于相似比
3、性质：
9.6
A x
∴两个路灯之间的距离是18 m
1.6 P 12
Q x
B
（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
9.6 1.6
A
18
？ B x
解： 设他的影子长为 x m，则由题得： x 1.6 = 18+x 9.6 解得 x = 3.6 m
∴他的影子长为 3.6 m
4、如图，为了测量一条河的宽度，测量人员在对岸岸边P点
△ABC∽△AFG
D
F
△ADE∽△AFG
根据BC//DE//FG，可得同位角相等， 由此得到两个三角形相似
5、如图，已知△ADE∽△ABC，AD=6cm，DB=3cm， BC=9.9cm，∠A=70°，∠B=50°。 （1）求∠ADE的大小；（2）求∠AED的的小； （3）求DE的长。
A D B
解： （1） △ADF∽△ABC 且 ∠B=50° ∵ ∴ ∠ADE=∠B=50° E （2）在△ADE中， ∠A=70°∠ADE=50°
同样， 除以 3 后 y 得到的新五边形与 5 C B 原五边形相似 ● ●
4 3 D 2●
●
B
●
●
A
C 1● D
0 -1 -2
●
A
4 5
●
-2
-1
1E 2 E 3
x
B组题
1、如图，在长8cm、宽6cm的矩形中，截去一个矩形 （图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似， 那么留下的矩形面积为多少？ 解： 设留下矩形的面积为 x cm， 由题意得 x 6 2
2
6cm 8cm
48
=
解得：x =27
cm 2
答：留下矩形的面积为 27 cm2
（
（8
2、如图，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（ C ） C （1）AC︰CD = AB︰BC （2）CD︰AD = BC︰AC 2 = AD · （3）AC AB （4）CD 2 = AD · AB
A
D
B
解：已知∠A是两个三角形的公共角， 要使△ACD与△ABC相似， 就要使△ACD中∠A的两边与△ABC中的∠A的两 边对应成比例——即
2、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的 同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根 长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树 的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图）， 经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测 得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一 起算一下，树高为多少？ 解:如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E
解： 结论正确！理由如下：
∵ BC⊥BP，AD⊥BP ∴∠PAD= ∠PBC=90 ° ∠P= ∠P
且 ∴ △PAD∽△PBC
AD
∴ ∴
PA PB
P
且 AB=45m，BC=90mAD=60m
=
BC
？
A
D 60m
45m
C 90m
PA 60 PA+45 = 90
∴ PA=90
B
改变点C的位置，仍可以得到相应的结论
处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选择点A和B， 使得B、A、P在一条直线上，且与河岸垂直。随后确定点C、 D，BC⊥BP，AD⊥BP，由观测可以确定CP与AD的交点D。 他们测得AB=45m，BC=90m，AD=60m，从而确定河宽 PA=90m。你认为他们的结论对吗？还有其他的测量方法吗？