数项级数敛散性习题课

提示: 对正项级数,由比较判别法可知
但对任意项级数却不一定收敛 . 例如, 取
vn
(1)n n
1 n
lim vn 1 lim (1)n 1
n un
n n
级数
收敛 , 级数
发散 .
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问级数 收敛,
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P323 题5 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
(3) (1)n ln n 1 ;
n1
n
(2)
n1
(1)n1
sin
n1
n1
;
提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ;
0 < p ≤1 时, 条件收敛 ;
p≤0 时, 发散 .
(2) 因各项取绝对值后所得强级数
原级数绝对收敛 .
1
n1
n1
收敛 ,
故
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(3) (1)n ln n 1
n1
n
因
单调递减, 且
n1
n1
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解答提示: P322 题2 判别下列级数的敛散性:
提示: (1) lim n n 1 , 0 , N , n 1 n n 1
因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .
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利用比值判别法, 可知原级数发散.
(3)
n
n1
cos 2 2n
第十二章(1)
习题课 数项级数的敛散与幂级数的收敛域
一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、课外练习题
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求和 展开
(在收敛域内进行)
时为数项级数;
时为幂级数;
(an ,bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开.
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2
一、数项级数的审敛法
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2. 正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法
lim
n
un1 un
1 不定
根值审敛法
lim n
n
un
用它法判别
1
1
部分和极限 比较审敛法 积分判别法
收敛
发散
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3
3. 任意项级数审敛法
概念:
1 n2 )
lim
n
n2
1 n2
1.
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
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6
例3 判定级数
n 1(1 cos π) 的收敛性.
n1
n
解 因为
3
3
lim
n
n
2
un
lim n2
n
n 1(1 cos π) n
lim n2 n 1 1 (π)2 1 π2 .
n
n 2n 2
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
n1 n ln n
lim ln n lim ln x lim 1 0,
n n
x x
x x
1
lim n n
1 ln n
lim
n
1
n ln n
0,
n
f ( x) x ln x ( x 0),
f ( x) 1 1 0 ( x 1), x
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7
例4 若级数
均收敛 , 且
证明级数
收敛 .
证 0 c n a n bn a n (n 1 , 2 , ), 则由题设
(bn a n )收敛
(c n a n ) 收敛
n1
n1
[(c n a n ) a n ]
n1
(c n a n ) a n 收敛
)n2 ]n
n2
e0
1;
1
lim nn
lim
1
xx
exp{lim
1
ln
x}
exp{lim
1}
e0
1;
n
x
x x
x x
lim n
un
1
0,
原级数发散．
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5
例2
判定级数
n1
ln
1
1 n2
的收敛性.
解
因 ln 1
1 n2
~
1 n2
(n
),
故
lim
n
n2un
lim n2
n
ln(1
所以原级数绝对收敛 .
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例5 判断级数
(1)n 是否收敛？如果收散，
n1 n ln n
是条件收敛还是绝对收敛？
解
1 1, n ln n n
而 1 发散, n n1
(1)n
1
发散,
n1 n ln n n1n ln n
即原级数非绝对收敛．
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(1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理：
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
但
ln n 1
n1
n
n
lim ln( k 1) ln k n k1
lim ln( n 1) n
所以原级数仅条件收敛 .
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(4)
n1
(1)n
(n 1)! nn1
因
un1
un
n 2 (1 1 )n1 n n1 n1
为收敛级数
若
收敛 , 称
绝对收敛
若
发散 , 称
条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 ,来自百度文库且余项
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例1 判断级数敛散性 :
n 1
nn
;
n1 (n 1 )n
1
1
n
解
un
nn (n
nn 1 )n
(1
nn 1
)n
,
n
n2
lim(1
n
1 )n n2
lim[(1
n
1
1
在 (1,) 上单增, 即 1 单减, x ln x
故 1 当 n 1时单减, n ln n
1
1
un n ln n (n 1) ln(n 1) un1 (n 1),
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
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例6 设级数 un2 收敛, 试问交错级数
(1)n
un
收敛，
n1
n2 1
即原级数绝对收敛．
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P323 题3 设正项级数
和 都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示: 因
lim
n
un
lim
n
vn
0
,
存在
N
>
0, 当n
>N
时
又因
2( un2 vn2 )
利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.
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P323 题4 设级数 收敛 , 且
是否也收敛？说明理由.
n 3
:
用比值法, 可判断级数
收敛,
再由比较法可知原级数收敛 .
因
n
充分大时
1 n
1 ln10 n
,
∴原级数发散 .
发散,
an
(5) n1 ns
(a 0, s 0):用比值判别法可知:
a 1 时收敛 ; a 1 时发散.
s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
n1
(1)n
un
是绝对收敛还是条件收敛 ?
n1
n2 1
解 利用不等式 ab 1 (a2 b2 ), 2
有 (1)n un un n2 1 n2 1
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1 2
un2
1 n2
1
,
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因为
un2
n1
和
n1
1 n2
1
均收敛，
故
n1
un2
1 n2
1
收敛，
由比较审敛法知，