1.1.2余弦定理

问题引入
隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员先 在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利用 经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出 山脚的长度BC。BLeabharlann CA探 究
在ABC中，已知 CB a,CA b,CB与CA的夹角为 C，
求边c.
A
分析：由向量的运算得：
c
b
c a b
2
c c c (a b )(a b )
C
2
2
2
2
a
B
a b 2 a b a b 2 a b cosa b
c2 a2 b2 2ab cosC
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它 们余 弦 定 理夹角的余弦的积的两倍。
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
余弦定理的应用范围及其推导的应用范围： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个 量，可以求出第四个量，能否由三边求出三角形的各角？
从余弦定理，又可得到以下推论：
cos
A
b2
c2 2bc
a2
cos
余弦定理的应用范围及其推导的应用范围： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
人教版数学必修5
1.1.2余弦定理（一）
复习巩固
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
变形：a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
正弦定理的具体应用在哪些范围？
1）已知三角形的任意两角及一边，解三角形； 2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，解三角形。
B
a2
c2 b2 2ac
cosC
a2
b2 c2 2ab
例题讲解:
1.在三角形ABC中， a 3 3, c 2, B 150 O ,求b.
(分析）由已知得条件可知，两边一夹角求第 三条边，则用余弦定理：即
解：由余弦定理： b2 a2 c2 2accosB ,得：
b2 27 4 2 3 3 2 ( 3 ) 49 2
b 7
课堂练习：必修五导学案第三页，新课内容1.2
课堂小结 余弦定理及推导： a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
cos
A
b2
c2 a2 2bc
cos B
a2
c2 b2 2ac
cosC
a2
b2 c2 2ab