组合数学—第二章鸽巢原理和Ramsey定理(2)

定理推广（2） 将T 划分成E1, E2, … , Ek
设r,k≥1, qi≥r, i=1, 2, … , k, 是给定正整数，则存 在一个最小的正整数R(q1, q2, … , qk; r)，使得当 n≥R(q1,q2,…,qk;r) 时, 当n元集S 的所有r 元子集 划分成k 个子集族T1, T2, … , Tk，那么存在S 的q1 元子集A1, 其所有的r元子集属于T1, 或者存在S 的 q2元子集A2，A2的所有r 元子集属于T2, … ,或者 存在S 的qk 元子集Ak, 其所有的r元子集属于Tk .
2013年7月9日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.1 若 n(r－1) + 1个物品放入n个盒 子。则至少有一个盒子里含有r个或者更多 的物品。 推论2.2.2 若设有n个正整数m1 , m2 , … , mn 满足下面的不等式 (m1 + … +mn)/n > r－1, 则 m1,…, mn中至少有一个数≥ r 推论2.2.3 设m和n都是正整数且m>n，若将 m个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒 m 子中有大于等于 n 个物体
8 28 56 84 101 216 127 495 216 1031 282 1870
9 36 69 115 121 316 169 780 232 1713 317 3583 565 6588
10 40 43 92 149 141 442 178 1171 2826
6090
580 12677 798 23556
2013年7月9日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.3 设m和n都是正整数且m>n，若将 m个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒 m 子中有大于等于 n 个物体
2013年7月9日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.2.3 设有大小两只圆盘，每个都划分成大小 相等的200个小扇形，在大盘上任选100个小扇形 涂成黑色，其余的100个小扇形涂成白色，而将 小盘上的200个小扇形任意涂成黑色或白色。现 将大小两只圆盘的中心重合，转动小盘使小盘上 的每个小扇形含在大盘上小扇形之内。证明：有 一个位置使小盘上至少有100个小扇形同大盘上 相应的小扇形同色。
R(p,q)的图表示 R(p,q)的集合表述
Kn 的顶点集V Kn 的边集E 用2 色涂色Kn 的边 存在蓝色完全p 边形 存在红色完全q 边形 集合S S 的2 元子集的集合T 将T 划分成E1,E2 存在S 的p 子集其所有2元子集∈E1 存在S 的q 子集其所有2元子集∈E2
集合表述具有更强的表达能力.
例2.3.3 证明：R(3, 3)= 6 证明：由例2.3.1知R(3,3)≤6。而图2.3.2中 的实线代表蓝色的边，虚线代表红色的边 ，则这个的涂色方案既不包含蓝三角形， 也不包含红三角形。所以R(3,3)>5。因此
R(3,3)=6。
定理2.3.2 设p, q是正整数，p，q≥2，则 R(p, q)= R(q, p)
j j 1
j 1
j
j
j 1
j
j 1
§2.3 Ramsey定理
任何一个6人聚会，必有3个人相互认识或 者相互不认识 • 其思想可以概括为“在任何一个足够大的 结构中必定包含一个给定大小的规则子结构 ”。
例2.3.1 设K6是6个顶点的完全图，用红、蓝两 色涂色K6的边，则存在一个红色三角形，或 存在一个蓝色三角形。
2013年7月9日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.2 若设有n个正整数m1 , m2 , … , mn 满足下面的不等式 (m1 + … +mn)/n > r－1, 则 m1,…, mn中至少有一个数≥ r
另外两个平均原理：
设有n个正整数m1 , m2 , … , mn满足下面的不等式 (m1 + … +mn)/n < r+1, 则 m1,…, mn中至少有一个数<r+1
证明：假设长为n2+1的实数序列中没有长度为 n+1的递增子序列，下面证明其必有一长度为 n+1的递减子序列。 令mk表示从ak开始的最长递增子序列的长 度，因为实数序列中没有长度为n+1的递增子 序列，所以有：
1 mk n(k 1,2,, n 2 1).
根据推论2.2.3，这相当于把n2+1个物体
证明：设K6的顶点为v1,v2,v3,v4,v5,v6.对于任意 一种涂色方案，根据鸽巢原理加强形式的推 论3， 与v1关联的5条边至少有
5 3 条同色边 2
不妨设这三条边为{v1 ,v2},{v1 ,v3},{v1 ,v4}
（1）若这三条边均为红色
v1
v2
v4
v3
(a) 当v2 ,v3 ,v4 之间有一条红边，如{v2 ,v3} (b) v2 ,v3 ,v4 之间没有红边， v1 v1
定理推广（1） 将2 元子集推广到r 元子集
对于任意给定的正整数p,q,r, (p,q≥r) 存在 一个最小的正整数R(p,q;r)使得当集合S 的 元素数大于等于R(p,q;r) 时，将S 的r 子集 族任意划分成E1, E2，则或者S 有p子集A， A 的所有r 元子集属于 E1, 或者存在q子集B ，B 的所有r 元子集属于 E2.
2013年7月9日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
2013年7月9日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明 如图2.2.1所示，使大小两盘中心重合，固
定大盘，转动小盘，则有200个不同位置使小 盘上的每个小扇形含在大盘上的小扇形中，由 于大盘上的200个小扇形中有100个涂成黑色 ，100个涂成白色，所以小盘上的每个小扇形 无论涂成黑色或白色，在200个可能的重合位 置上恰好有100次与大盘上的小扇形同色，因 而小盘上的200个小扇形在200个重合位置上 共同色100×200=20000次，平均每个位置同 色20000÷20=100次。由推论2.2.3知，存在 着某个位置，使同色的小扇形数大于等于100 个。
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例2.2.4 用鸽巢原理的加强形式证明
证明：任意n2+1 个实数 a1 , a2 ,..., an 2 1 组成的序列中，必有一个长度为n+1的递增 子序列，或必有一个长度为n+1的递减子序 列。
2013年7月9日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明： 令n≥R(p, q)。对于蓝、红两色涂色Kn的 边的任何一种方案，将蓝边换红边，红边换蓝 边，则或存在一个蓝色的完全p边形，或存在 一个红色的完全q边形。而原来的涂色方案中 必存在一个红色的完全p边形或一个蓝色的完 全q边形，即R(q,p)≥R(p,q)。同理可证R(p,q) ≥R(q,p)。因此，R(p, q)= R(q, p)
使得
mk1 mk2 mkn 1 i.
（2.2.1）
对应于这些下标的实数序列必满足
ak1 ak2 akn1 ,
（2.2.2）
它们构成一长为n+1的递减序列。 否则，若有某个j（ 1 j n ）使得 ak a k ， 那么由从 a k 开始的最长递增子序列加上 a k ， 就得到一个从 a k 开始的长度为 mk 1 的递增 子序列。由 mk j 的定义知 mk mk 1, 这与（2.2.1）式矛盾。因此（2.2.2）式成立。 同理可证若没有长度为n+1的递减子序列，则 必有一长度为n+1的递增子序列。因此，结论 成立。
Ramsey定理断定Ramsey数的存在性. Ramsey数的确定是一个很困难的问题. r=1, 是鸽巢原理，

R(q1,q2, …, qk ;1) = q1+q2+…+qk−k+1 结果：9个Ramsey数的精确值，部分上界、下 界
r=2, k=2, 是简单的Ramsey定理.

作业
§2.2 鸽巢原理的加强形式
定理2.2.1 (鸽巢原理的加强形式)
设q1 , q2 ,..., qn都是正整数， 若把q1 q2 ... qn n 1个物体放入n个盒子里， 则 或者第一个盒子里至少含有q1个物体， 或者第二个盒子里至少含有q2个物体， ....., 或者第n个盒子里至少含有qn1
2013年7月9日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
放入n个盒子1，2，…，n中，必有一个盒子i里 面至少有
n 2 1 1 n n 1 n n
个物体，即存在n+1
个mk取值相同，有 k1 k 2 k n1 1 i n,
2013年7月9日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明思路：归纳法 归纳假设 R(p, 2)≤p, R(2, q)≤q, 归纳步骤 R(p-1, q)，R(q-1, p)存在 ⇒ R(p,q) ≤ R(p-1, q) + R(q-1, p)
假设对正整数p’,q’, p’≤p, q’≤q, p’+q’<p+q 为真， 则R(p-1,q), R(p,q-1) 存在. 令 n ≥ R(p-1,q) + R(p,q-1)， 用蓝红两色涂色Kn的边，则 case1 v1关联R(p-1,q)条蓝边， case2 v1关联R(p,q-1)条红边. 对于case1，如为蓝色Kp-1,构成蓝色Kp；如为 红色Kq，则满足要求. 对于case2可以类似分析. R(p,q) ≤ R(p-1,q) + R(q-1,p)
称R(p,q)为Ramsey数； 确定精确的Ramsey数的值是相当困难的工作 。到目前为止，仅有极少数小p，q的 Ramsey数被找到。
q p 3 4 5 6 7 8 9 10
3 6
4 9 18
5 14 25 43 49
6 18 35 41 58 87 102 165
7 23 49 61 80 143 111 298 205 540
v2 v3 (a)
v4
v2 v3 (b)
v4
（2）若这三条边均为蓝色，同理可证.
例2.3.2 用红、蓝两色涂色K9的边，证明或者存 在一个蓝色的三角形或红色的完全四边形。
2013年7月9日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
Ramsey 定理简单形式 定理 2.3.1 设p，q是正整数，p，q≥2，则存 在最小的正整数R(p,q)，使得当n≥R(p,q)时，用 红、蓝两色涂色Kn的边，或者存在一个蓝色的 完全p边形Kp，或者存在一个红色的完全q边形 Kq。