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本课节内容 3.3
公式法
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1
1 因式分解的概念：
一般地，把一个多项式表式成若干个多项式的乘积 的形式，称为把这个多项式因式分解
2 确定公因式的方法：
1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的 最大公约数。
2、定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的 字母。
3、定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个 ，即最低次幂。
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解 （ 1） x2+5x+2 4 5 2
=x2+2· x· 5+5
=
x
+
5
2
；
2 2
2
（2） 16y2-24y+9； = (4y)2 -2 ·4y ·3 + 32； = (4y-3)2 ；
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（3）x2+2 3x+1 9；
2
=x2+2· x· 13+13
=
a2-b2 = (a+b)(a-b) .
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4
像上面那样，把乘法公式从右到左地使用， 就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种 因式分解的方法叫做公式法.
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5
理解平方差公式 a 2 - b 2 = （ a + b ） （ a - b ）
4 能用平方差公式因式分解的特征：
1 必须含有两个项（或能写成两个整体） 2 两项都能写成平方的形式 3 且两个项的符号相反
x2-10x+25
(x-5)2
a表示x,b表示5
x2+2x+4
1+
y
+
y2 4
4x2-12xy+9y2
不适用
1
+
y 2
2
(2x-3y)2
不适用
a表示1,b表示
y 2
a表示2x,b表示3y
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2. 把下列多项式因式分解： （ 1）x2+5x+245； （2） 16y2-24y+9； （3）x2+2 3x+1 9； （4）3x4+6x3y2+3x2y4.
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完全平方公式 a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2 = (a-b)2
4 能用完全平方公式因式分解的特征：
1 必须含有三个项（或能写成三个整体） 2 有两项都能写成平方的形式，且这两项符号相同 3 中间还有首项与尾项底数积的2倍或-2倍
注意：
a，b可以是单项式，也可以是多项式
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x
+
1
2
；
3
（4）3x4+6x3y2+3x2y4.
= 3x2(x2+2xy2+y4).
= 3x2[x2+2 ·x ·y2+(y2)2].
= 3x2(x+y2)2.
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小结与复习
1. 什么叫多项式的因式分解？因式分解与多 项式的乘法有什么关系？
2. 什么叫公因式？怎样确定公因式？ 3. 因式分解有哪些方法？写出公式法分解因
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2
3 整式的乘法公式有？
平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2，
完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2= a2-2ab+b2 .
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3
动脑筋
如何把 x2-25 因式分解？ 我们学过平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2， 把这个乘法公式从右到左地使用， 得 a2-b2=(a+b)(a-b) . 因此 x2-25 = x2-52 = (x+5)(x-5) .
注意：
a，b可以是单项式，也可以是多项式
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例1 把25x2-4y2 因式分解.
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7
例2 把 (x+y)2-(x-y)2 因式分解 .
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8
例3 把 x4-x4 因式分解 .
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9
例4 把x3y2-x5 因式分解.
注意：有公因式，应先提出公因式，再用公 式法进行因式分解.
（2）13.32-11.72
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4. 手表表盘的外圆直径D=3.2cm，内圆直径d=2.8cm， 在外圆与内圆之间涂有防水材料.试求涂上防水材料 的圆环的面积(结果保留π).怎样计算较简便？
答：
2
π D - d π 2 2
2
=
π
D
2
+
d 2
D
2
-
d 2
= 0 .6 π( 平 方 厘 米 ）.
（3）295m2-16n2.
（4）(x+y)2-(y-x)2
答 ： (5 3m -4n )(5 3m +4n ) 答：4xy
（5）x4-16
（6）9x4-36y2
答：(x2+4)(x+2)(x-2) 答：9(x2+2y)(x2-2y)
（7）a3-ab2 答：a(a+b)(a-b)
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3. 计算： （1）49.62-50.42；
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例5 把 -1+36b2；因式分解 .
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11
练习
1. 填空：
（1）9y2 = (
（ 2） 36x2= ( 25
（ 3） 9t2= ( 4
)2；
) 2. )2.
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2. 把下列多项式因式分解：
（1）9y2-4x2；
（2）1-25x2
答：(3y+2x)(3y-2x) 答：(1+5x)(1-5x)
式时所用的公式.
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本章知识结构
因式分解
概念 因式分解的方法
提公因式法 公式法
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注意
1. 运用整式乘法可以检验因式分解的结果是否正确.
2. 提公因式时，如果多项式的首项为负数，一般先 把负号提出来，并把括号内的各项变号.
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动脑筋
你能将多项式a2+2ab+b2 或a2-2ab + b2进 行因式分解吗？
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我们学过完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 . 将完全平方公式从右到左地使用，
a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2 = (a-b)2 就可以把形如这样的多项式进行因式分解.
19
例5
把
9x2-3x+
1 4
因式分解.
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例6 把-4x2+12xy-9y2 因式分解.
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例7 把a4+2a2b+b2因式分解.
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例8 把x4-2x2+1 因式分解.
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练习
1. 填空（若某一栏不适用，填入“不适用”）：
多项式
能否表示成(a+b)2或(a-b)2的形式 a，b各表示什么
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我们学过完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 .
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把 形如这样的多项式进行因式分解.
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
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