第五章 矩阵分析基础1

（2）对任意实数k 和任意A，有 kA k A
（3）对任意两个n阶矩阵A、B有
AB A B （4）对任意向量XRn，和任意矩阵A，有
AX A X
（5）对任意两个n阶矩阵A、B，有
AB A B
例5: 设A＝(aij)∈M. 定义
||
A ||
1 n2
n
| aij
i , j 1
|
证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
lim
k
Xk
X*
0
向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。
2．矩阵的范数
定义3：设A为n 阶方阵，Rn中已定义了向量范数 ，
则称 sup AX
x 1
记为 A 。即
为矩阵A 的算子范数或模，
A sup AX
x 1
矩阵范数的基本性质： （1）当A = 0时， A ＝0，当A 0时， A > 0
注：（1） || A||F tr(AT A)
（2） 矩阵的Frobenius范数不是算子范数。
3．矩阵的范数与特征值之间的关系
定义4：矩阵A 的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径，
记为：
( A)
max
1in
i
定理5：矩阵A 的谱半径不超过A的任一相容矩阵范数，即
(A) A
并且如果A为对称矩阵，则
cond (A)2 max ( AT A) / min ( AT A)
特别地，若 A 对称，则
cond
( A)2
max | i | min | i |
§ 5.2 初等矩阵
初等矩阵对线性方程组的研究起着重要的作用，本节介绍 一般形式的初等矩阵，它是矩阵计算的基本工具。 5.2.1 初等矩阵
定义6 设向量 u, v Rn , R ，则形如
第五章
矩阵分析基础
§5.1 向量和矩阵的范数
1．向量的范数
定义1：设X R n，Ｘ 表示定义在Rn上的一个实值函数，
称之为X的范数，它具有下列性质：
(1) 非负性：即对一切X R n，X 0, Ｘ >0 (2) 齐次性：即对任何实数a R，X R n，
aX a X
（3）三角不等式：即对任意两个向量X、Y R n，恒有 X Y X Y
(1) cond (A) A1 A A1 A I 1
(2) cond ( kA )= cond ( A ) , k 为非零常数;
(3)若 A， 1则
cond(A) A1
注: cond (A) 与 所取的范数有关
常用条件数有：
cond (A)1 =‖A‖1 ‖ A‖11
cond (A)
=‖A‖ ‖ A‖1
max
1in
i
A (谱范数） 2
注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。
定义5： 设|| ·||为Rn×n上的矩阵范数，A,B∈Rn×n 称 ||A-B||为A与B之间的距离。
定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{ Ak}，若
lim
k
Ak A
0
则称矩阵序列{ A}k收敛于矩阵A，记为
lim
E(u, v; ) I uvT
的矩阵叫做实初等矩阵，其中I 是n 阶单位矩阵，
5.2.2 初等下三角矩阵
定义7 令向量 u li (0,L ,0,li1,i ,L ,lni )T，向量 v ei 1
则称矩阵
1
O
Li Li (li ) E(li , ei ;1) I lieiT
1 li1,i 1
为初等下三角阵。
M
O
lni
1
定理5.2.1 初等下三角阵 Li具有如下性质： (1) Li1(li ) Li (li ), Li 1 ；
1
(2)
L L1(l1)L2 (l2 )L
L n1 (ln1 )
l21 M
1 MO
ln1
ln2
Lபைடு நூலகம்
1
为单位下三角阵 ；
(3) 任何一个单位下三角阵 L Rn都可分裂成
定理2：在Rn上定义的任一向量范数 X 都与范数 X 等价， 1 即存在正数 M 与 m ( M>m ) 对一切XRn，不等式
mX X M X
1
1
成立。
推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。
对常用范数，容易验证下列不等式：
1X X X
n1
1
X X n X
1
X X nX
2
定义2：设给定Rn中的向量序列{ X k }，即 X0, X1, L Xk , L
k
Ak
A
定理6 设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的
矩阵序列Bk, k=0,1,2…)收敛于零矩阵
（
lim）B的k 充0要条件
k
为
。(B) 1
4. 矩阵的条件数
定义5 设矩阵 A 为非奇异矩阵，则称
cond(A) A1 A
为矩阵A的条件数，其中 是矩阵的算子范数。
对矩阵 A 的任意一个算子范数 g 有
证明：设
A
1 1
1 1
,
B
1 1
1 1
2 2
AB
2
2
|| A ||1,|| B ||1,|| AB || 2
从而 || AB |||| A ||g|| B ||
定理4：设n 阶方阵A = (aij)nn，则
（Ⅰ）与 x相1 容的矩阵范数是
n
A 1
max j
i 1
aij
（Ⅱ）与 x相2 容的矩阵范数是
A 2
1
其中1为矩阵ATA的最大特征值。
（Ⅲ）与 x 相容的矩阵范数是
n
A
max i
aij
j 1
上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数。
Frobenius范数: || A ||F
nn
| aij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
i1 j1
可以证明, 对方阵 A Rnn 和 xRn ，有 || Ax ||2|| A ||F || x ||2
三个常用的范数： 设X = (x1, x2,…, xn)T，则有
（1）
X
1
x1 x2
xn
（2） （3）
X 2
XTX
x12 x22 xn2
X
max
1in
xi
范数等价: 设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
, 则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1：定义在Rn上的向量范数 X 是变量X分量的 一致连续函数。 X f (X )
其中 X k x1(k) , x2(k) , , xn(k) T
若对任何i (i = 1, 2,…, n )都有
lim
k
xi(
k
)
xi*
则向量
X*
(x1* ,
,
x
* n
)
T
称为向量序列{ X k }的极限，或者说向量序列{ X k }
依坐标收敛于向量 X，* 记为
lim
k
X
k
X*
定理3：向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是