基于小波变换的一维数据中的特征部位提取算法

基于小波变换的一维数据中的特征部位提取算法

摘要：介绍了基于小波变换的图像分解与重构，小波变换具有时—频局部化的特点，因此不能对图像提供较精确的时域定位，也能提供较精确的频域定位。基于小波变换的这些特性，对图像进行变换，例如图像的增强，图像的特征部位的提取。研究结果表明，基于小波变换的图像处理的特征部位的提取具有理想的效果。

关键词：小波分析，图像处理，特征部位的提取

一、小波的基本知识

1、小波的发展历史及现状

小波理论是傅里叶分析的重要发展，1807年J. Fourier 提出Fourier 级数，1946年，Gabor 提出了Gabor 变换；稍后Gabor 变换发展为窗口傅里叶变换，20世纪80年代初，一些科学家开始使用小波，1986年Y . Meyer 第一次构造出正交小波基。从数学的角度看，小波实际上是在特定的空间内按照称之为小波的基函数对数学表达式的展开与逼近。

经典的小波理论尽管在90年代初期已经显得非常完善，但在实际应用中仍然存在许多缺陷。1995年，Sweldens 提出了通过矩阵的提升格式(lifting scheme)来研究完全重构滤波器，从而建立了称之为第二代小波变换的框架体系。1999年，Kingsbury 等提出了复小波变换，1999年，Candes 与Donoho 提出了脊波(ridgelet)和曲波(curvelet)。2002年，Donoho 和M. Vetterli 提出了轮廓波(contourlet)。2005年，Le Pennec 和Mallat 提出了Bandlet 。2005年，D. Labate 等提出了shearlet 。

2．小波的特点和发展

小波变换的具有如下3个特点：1、小波变换，既有频率分析的性质，又能表现发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象（傅里叶变换只具有频率分析的性质）。2、小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征不同特征的提取（图像的压缩、边缘抽取、噪声过滤等）。3、小波变换比傅里叶变换还要快一个数量级信号长度为M 时，傅里叶变换和小波变换的计算复杂性分别为：M M O f 2log =，M O w =。“小波分析”是分析原始信号的各种变换的特性，进一步应用于数据的压缩，噪音去除，特征选择等。例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短，起伏，旋律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分解。运用小波基，可以提取信号中“指定时间”和“制定频率”的变化。时间：提取信号中“指定时间”（时间A 或时间B ）的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。频率：提取信号中时间A 的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B 的变化比较快速变化，称较高频率成分。

3、小波的成就

小波是数学分析、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在计算机应用、信号处理、图像分析、非线性科学、地球科学和应用技术等已有重大突破，预示着

小波分析进一步热潮的到来。

二、小波分析在一维信号处理中的应用

小波变换就是将“原始信号S ”变换成为“小波系数W ”[]b a W W W ,=，包括近似系数a W 与细节系数b W 。近似系数a W 为平均成分（低频），细节系数b W 为变化成分（高频）。小波原始信号分解过程为：原始信号S 可分解为小波近似a 和小波细节b 之和，b a S +=。小波系数[]b a W W W ,=的分量，乘以基函数，形成小波分解：小波近似系数a W *基函数A=近似分解A （平均）；小波细节系数b W *基函数D=细节分解d （变化）。

1、 小波分解和小波基

正变换：原始信号在小波基上，获得“小波系数”分量。

反变换：所有“小波分解”合成原始信号，例如：小波分解a=小波系数a W *小波基A 。

2、 离散小波变换公式

信号S 有M 个样本，J 级小波变换：正变换 n=1，……，M []

1,......,d dj aj j W W W W =

3、 小波分析在图像处理中的应用

数字图像的处理至今已有40多年的发展历史，其经典的图像处理方法有很多。小波在图像处理上的应用思路主要采用将空间或时间域上的图像信号变换到小波域上，成为多层次的小波系数，根据小波的特性，分析小波系数的特点，针对不同需求，结合常规的图像处理方法

提出更符合小波分析的新算法来处理小波系数，再对处理后的小波系数进行反变换，将得到所需的目标图像。

Mallat提出了求解小波系数的塔形算法思想，对一幅图像完成一次一维小波变换，需要对图像的行和列分别进行一次Mallat算法处理，也就是水平和垂直滤波。小波变换将原始图像分成4个子带，即一个低频子带（LL）和3个高频子带（LH，HL，HH），对低频子带进一步实施小波变换，分解成下一级4个子带。图像经过M级小波变换后，得到一系列子图像。分解后图像总的像素数不变，因为系列子图像是通过不同的方向的高通或低通滤波得到的，因而反应了图像中的不同部分。

图像是二维信号，其小波变换相当于二次一维信号的小波变换：（1）第一次一维信号的小波变换相当于图像的行变换；（2）第二次一维信号的小波变换相当于图像的列变换。

1、基于小波的图像增强

小波变换将一幅图像分解为大小，位置和方向均不相同的分量。在做逆变换之前，可以根据不同需要，对不同位置，不同方向上的某些分量改变其系数的大小，从而使得某些感兴趣的分量被放大而使某些不需要的分量减小。分解后的图像，其主要信息（即轮廓的大小）由低频部分来表征，而细节部分则由高频部分表征。因此，对分解后的低频系数加权进行增强，而对高频部分进行加权进行弱化，经过如此处理之后，即达到图像增强的增强的目的。

2、基于小波的图像融合

图像融合时将统一图像的两个或更多个图像之和承载一幅图像中，以便满足人们的某种需要。这一技术应用于多频谱图像理解和医学图像处理等领域使得融合图像更容易为人们所理解。

将图像（b）融合到图像（a）中即得到图像（c）。

3、基于小波的图像压缩

图像数据往往存在各种信息的冗余，如空间冗余，信息冗余，视觉冗余和结构冗余等，因此有必要进行压缩。小波分析进行图像压缩的基本的基本原理：根据二维小波分解算法，将一幅图像做小波分解，可得到一系列不同分辨率的图像，而表现一幅图最主要的部分是低频部分，如果去掉图像的高频部分而只保留低频部分，则可达到图像压缩的目的。基于小波的图像压缩数据如下表：