基于改进粒子群算法的函数优化

［］ｂｒａｔＲＫｅｎｄ ． ｎ ｗ ｐ ｍｉｅ ｓ ｇｐｒ ｃ Ｗａ ／ ｔｅｒ ２Ｅ ｅｈｒ ， ｎ ｅｙ Ｊ Ａ ｅ ｏ ｔ ｚｒｕｉ ａｔ ｌ Ｓ ｌＩ ｈｏｙ ｉ ｎ ｉｅ Ｔ
（） 了验证本文改进算法的有效性， １为 本文 以求解 两个基 准测试 函数 的最 小值 为例 ，通过计算机仿真 比较本文 算法 和 标准 Ｐ Ｏ算法的性 能。选择 以下 ２ Ｓ 个典 型函数进行测试 ：
某些具有较 多局部极值 点的搜索空 间时 ，Ｓ Ｐ Ｏ算法 的搜 索效 率可 能会突 然大大 降低 并且在最 优 点附近 的搜索 效率 也不
高。
Ｓｅ４更新粒子的群体极值 ； ｔ ： ｐ Ｓｅ５根据式（） ２进行速度和位 置的迭代； ｔ ： ｐ １和（）
Ｓｅ６￣复 Ｓｅ２ Ｓｅ５直到满足算法停止迭代的条件。 ｔ ： ｐ ｔ ￣ ｔｐ ， ｐ
２ １ ， ： ・ ８ ０ ０８ ４５４ ． １
０５Ｘ ［ ０ ０， 小 值 为 ０的 ） ．，ｉ － ， 】最 ２２
－
［】一 种 基 于 量 子 行 为 的 改 进 粒 子 群 算 法 ［】 算 机 工 程 与 应 用 ， ６ Ｊ．计 ２ ０ ，３３ ） ９９ ． ０ ７ （６： —１ ４ ８
多峰值 函数 。 实验 中两种 算法 的群 体规模 为 ３ ，惯性 权重 ｗ 的值从 ０ １１ ． 线性递减到 ０３ ｃ ｃ ２ 第一个 函数 为 １ ， ．，１ ２ ， ＝＝ ０维 第二个 函数
为２ 。 维
算 法迭代次数 为 １０ ０ ０次，取平 均适应值 和平均迭 代次 数。结果如表 １ ：
（） １
（） ２
ｋｌ ＝， ２分别指 明孩子粒子还是父母粒 子的位置 ，
是 Ｄ 维均
其 中 ｃ 和 Ｃ 是非负常数，称为学 习因子 。ｒ和 ｒ是介于 。 ２
匀分布 的随机数， 的每个分量都在［，］ ０ １取值。
作者 简 介 ：陈 永 刚 ， 河 南修 武 人 ， 士 ， 男， 硕 助教 。 主要 研 究 方 向： 能优 化 算 法 。 智
对标准的 Ｐ Ｏ算法主要进行了 ３ Ｓ 个方面的改进 ，大大改 善 了粒子种群 的多样性 ， 增强了优 化性 能的稳定性 ， 较好地解 决 了算法的早熟收敛和后期搜索精度较低 的缺 点。实验证明， 改进后 的算法达到了预期 的 目的 。
参考文献 ：
［］ ｎ ｅ ｙＪ ｂｒａｔ ．ａｔ ｌ ｍ２ ｐｉ ｚｔ ｎ ［ ． ｏ Ｅ ｔ １Ｋｅｎ ｄ ， ｅｈｒ ＲＰ ｒｃｅｓ Ｅ ｉ ｗａ ｔ ａｉ Ａ］ ｒｃＩ Ｅ Ｉ ｏ ｍｉ ｏ Ｐ Ｅ ｎ Ｃ ｎ ｏ Ｎｅ ｒｌ ｔ ｒｓ ］ ｅｔ， ９ ． ４ —９ ８ ｏ ｆ ｎ ｕａ Ｎｅ ｋ ［ ． ｒ １ ５１ ２１４ ． ｗｏ Ｃ Ｐ ｈ ９ ９
本 文提 出的改 进算法 中，位 置和速 度更 新 公式仍 然与
Ｐ Ｏ相 同。 Ｓ
３１ 部分粒子 的位置随机变化 ． 由于粒子群算法对于多峰值 函数 空间的优化容 易早熟收
敛， 每次迭代搜索时， 使适应值最差 的部分粒子 的位置在搜索 空间中重 新随机分布 ， 这样就改善 了部分粒子 的位置值 ， 保持
到最优解 。在每 一次迭代 中， 粒子通过跟踪两爪‘ ‘ 极值 ” 更新 来
自己。 第一个就是粒子本 身所找到 的最优解。 这个叫做个体极 值， 记为 Ｐ。另一个极值是整个种群 目前找到的最优解 。这个 极值是全局极值， 记为 Ｐ。 设搜索 空问为 Ｄ 维 ，总粒子数 为 ｎ ，第 ｉ 个粒 子表 示为 Ｘｒｘｌ …， ； ｉ ＝ ｜Ｘ ， ｘ 第 个粒子 的历史最优位置记为 Ｐ （ Ｐ ， （ ， 尸 ｐ
一源自文库
６ ５—
蒹 藩 研 究 ３３ 对群体最优粒子进行小范围位置变异 ． 从表 中 的指 标上 看 ，改进 的算法 ＭＰ Ｏ 都优 于标 准 的 Ｓ Ｐ Ｏ， Ｓ 且求解精度优势 明显优 于标准 Ｐ Ｏ， 明了改进算 法的 Ｓ 说 有效性 。
５ 结论 ．
Ｐ Ｏ算法 的一个不足之处在于在算法运行的后期 ，受 到 Ｓ
表 １ 仿 真 结 果
适应度平均值
函数
ＰＳ ０ Ｍ ＰＳ ０
平均迭代 次数
Ｐ Ｓ０ Ｍ Ｐ Ｏ Ｓ
ｓ ｈ ｒ ｐ ｅｅ
ｓ ｈ ｆｅ ｃａ ｒ
２８ ４ ＊ ０９ ．０ ６ １ －
一 ．９ ５ ０９ ４ １
１０ ０ ＊１ ０ ．０ ７ Ｏ
— ．９ ９ ０９ ７ １
（ ｎ ｎ ｉｅｓｙｏ Ｓ ｉ ｃ ｎ ｅｈ ｏｏｙ Ｌ ｏａ ｇ ７ ０ ３ Ｈｅｎｎ Ｈｅａ ｖ ｒｔ ｆ ｃｅ ｅ ｄ ｃｎ ｌｇ ， ｕ ｙ ｎ １０ ， ｎ ａ） Ｕｎ ｉ ｎ ａ Ｔ ４
【Ａｂｔ ｃ ｓ ａ ｔ】 Ｔ ｖ ｉ ｅ ｒｂｅ ｏ ｐ ｅ ｔｒ ｏ ｖ ｒｅ ｃ ｎ ｏ ｒ ｃ ｕａ ｙｉ ｔ ｅ ｏ ． ｅ ｉａ ｚ ｄｐ ｒ ｏ ｐ ｒ ｃ ｓ ｕ － ｒ ｏａ ｏ ｔ ｏ ｌ ｄｈｐ ｍ ｆ ｒ ｍａ ｅｃ ｎ ｅｇ ｎ ｅ ｄｐ ｏ ｃ ｒｃ ｌ ｅ ｐ ｒ ｄ ｒｉ ｔ ｌ ｅ ａｔ ｆ ａｔ ｌ ｒ ｕ ａ ａ ｎａｒ ｉ ｎｉｉ ｉｅ ｄ
ｉｇ ｔ ｅ ｓ ａ ｃ ｉ ｇ ｐ ｏ ｅ ｓｉ ａ ｏ ｔ ｄ Ｃｒ ｓ ｏ ｅ ｔ ｔ ｎ ｉ ｕ ｅ ｏ ｐ ｍｕ ｐ ｒｉｌｓａ ｄｒ ｎ ｏ ｖ ｒａｉ ｎ ｏ ｒ ｕ ｐ ｉ ｌ ａ ｔ ｌｓｉ ｎ ｅ ｒ ｈｎ ｒ ｃ ｓ ｄ ｐ ｅ ． ｏ ｓ ｖ ｒ ｈ ｓ ｍｕ ａｉ ｓ ｓ ｄ ｆ ｒｏ ｔ ｍ ａ ｔ ｅ ｎ ｄ ｍ ａｉ ｔ ｆ ｏ ｐ ｏ ｔ ｏ ｉ ｃ ａ ｏ ｇ ｍａ ｒ ｃ ｅ ｐ ｉ ｓ ｕ ｅ ｍａｌ ａ ｇ ． ｈ ｉ ｌｔ ｎ ｅ ｐ ｒｍｅ ｔ ｎ ｉａｅ ａ ｏ ａｅ ｔ ｅ ｓａ ｄ ｒ Ｓ ａｇ ｒ ｈ ， ｈ ｍｐ ｏ ｅ Ｓ ａ ｇ ｒｔ ｍ ｓｄ ｉ ｓ ｌｒｎ ｅ Ｔ ｅｓ ｎ ｍｕ ａ ｉ ｘ ｅ ｏ ｉ ｎ ｄ ｃ ｔ ｓｔ ｔｃ ｍｐ ｒ ｄ ｗｉ ｔ ｔ ｎ ａ ｄ Ｐ Ｏ ｌ ｏ ｔ ｍ ｔ ｅ ｉ ｒ ｖ ｄ Ｐ Ｏ ｌ ｏ ｈ ｉ ｈ ｈ ｈ ｉ ｉ
ｓｈｒ 数 ｐ ｅｅ函
【 ．ｒｃ６ｈＩｔＳ ｍｐ ｓ ｍ ｉＭｉｒ ｃ ｉｅａ ｄＨ ｍａ ｃｅｃ Ａ］ ｏ ｔ ｎ ｙ ｏｉ Ｏｌ ｃｏＭａｈｎ ｎ ｕ ｎ Ｓｉｎｅ Ｐ ｕ ［］ ｇｙ ，９ ５３ —３ Ｃ ． ｏ ａ１９ ．９４ ． Ｎａ
［］ｈ Ｅ ｅｈ ｒ Ｒ． ｄｆ ｄ ｐｒｃｅ ｓ ｒ ｏ ｔ ｚｒＣ】ｎＩＥ ３Ｓ ｉＹ，ｂ ｒａｔ Ａ ｍｏ ｉｅ ａｔ ｌ ｗａｍ ｐｉ ｅ ［ ． ： Ｅ ｉ ｉ ｍｉ Ｉ Ｅ
Ｓｅ３更 新 粒 子 的个 体 极 值 ； ｔ ： ｐ
标优化［ 函数优化 ［ ５ ］ 、 ６ １ 等问题。作为一种 高效的全 局优 化算 法，
Ｐ Ｏ可用于求解大量非线性、不可微和多峰值的复杂函数优 Ｓ
化问题 。为了提高算法 的优化效率 ， 近几年 出现了很多改进 的 Ｐ Ｏ算法， 已经应用于许多科学和工程领域 。 Ｓ 并且 然而 ， 当遇到
￡）∑ｘｘ ［００最 值 的 峰 函 。 （ ｘ ＝ －，】 小 为０ 单 值 数 ，∈ ２２ ，
（） ｃ ａ ｅ 函数 ２ Ｓｈ ｆ ｒ ｆ ｘ＝可ｉ （ ２ ） ｓ ２￣ （ ｎ 丽
算 机科 学 ， ０ ，６９： ４２ ５ ２ ９３ （） ２ —４ ． ０ ２
［］基 于 小生境 的极性 Ｐ Ｏ 多 目标优化及 应 用 ［］ ５ Ｓ Ｊ．自动 化与仪 表，
速度 超过 用户 设定 的 ｖ ，那么 这 一维 的速度 就 被设 定为
Ｖ ， Ｖ ∈［ ～ Ｖ眦 。 一 即 ． Ｖ ］
Ｐ Ｏ算法基本 步骤如下 ： Ｓ Ｓｅ ｌ随机初始化粒子种群 ， ｔ ： ｐ 即初 始化种群 中所有粒子 的 速度和位置（ 可行解） ； Ｓｅ２根据适应度 函数对粒子种群进 行评价 ； ｔ ： ｐ
部 分
子 群
１９ ９ ５年发 明的一种基 于群智能 的进化计算技 术Ｉ１ ｌ， Ｉ 来源 于对 ２ 鸟群捕食 的行 为研究 。 后来 ｓｉ ｈ 等人翻 引入惯性权 重， 形成了当
前的标准版本 。 Ｓ Ｐ Ｏ的优势在于概念简单， 容易实现并且没有 许多参数 需要调整 。因此， 该算法很快应用 于神经 网络 、 目 多
速度等 因素影响 ， 粒子会在全局 最优 点附近摆动 ， 却不 能到 达 到全局最优点。考虑到此时粒子距离最优点 已经很近 了， 因此 应该进行小步长的变异 。使最优粒子位置做出变异， 了能做 除 进一步搜索之外， 还可 以引导其它粒子作搜索。位置变异公式
如下 ： Ｐ 一） ， ｃ ｉ （ 脚ｒＰ Ｐ １ （ ）
６２ ７
４７ ２
４８ ３
２３ ５
Ｆ ｎ ｔ ｎＯｐ ｉ ｉａｉｎＢａ ｅ ｎＩ ｒ ｖ ｄＰ ｒ ｃｅＳ ａｍ ｔ ｚ ｔ ｎ ｕ ｃｉ ｔ ｚ ｔ ｓ ｄｏ ｏ ｍ ｏ ｍｐ ｏ ｅ ａｔ ｌ ｗ ｒ Ｏｐ ｉ ａｉ ｉ ｍｉ ｏ
Ｃ ｅ ｎ ｇｎ ＱｉＹｏ ｇ Ｎｉ ｎ ｉ ｈｎ Ｙｏ ｇ ａｇ ｕ ｎ ｕＤａｍｅ
相 互交 叉变异 和群 体最优 粒子在 最优 值空 间附近 的变 异搜 索， 有效地克服 了算法的早熟收敛 ， 索效 率和 速度 都有较大 搜
的提高 。
２ 粒 子 群优 化 算 法 介 绍 （ Ｓ ． Ｐ Ｏ）
了粒子 的多样性， 使部分粒子进行算法发散的搜索。这里取全
部粒子 的 ３ ％进行 随机初始化。 ０ ３２ 历史个体最优粒子之 间进行交叉变异 ． Ｐ Ｏ初始化 为一群随机粒 子 （ Ｓ 随机解） 然 后通过迭 代找 ，
…
对历 史个体最优粒子之 间进行两两杂 交，这个 杂交概率 由一个随机数 确定，与粒 子的适应度没有 关系。在每次迭代 中， 所有 的个体最优粒子进行随机的两两杂交 ， 产生同样数 目 的孩 子粒 子，并用孩子粒子代替父母粒子作 为个体 最优 粒子
来引导粒子 的运动 。孩子粒子 的位置 由父母粒 子的位置的算
术加 权 计 算 。公 式 如 下 ：
， ； ｐ 整个群体经历过的最好位置记为 Ｐ ｐ， …，ｇ； （ ｔ ， ｐ ） Ｐ Ｄ粒
ｃｉ ｌ ｈｌ （Ｘ）（Ｐ ）ｐｒｎｌ ｄ ＊ ａ ｔ（Ｘ）（－Ｐ）ｐ ｒ ｔ（Ｘ） ｅ ＋１ ａｅ ２ ｎ ｃ ｉ ２ ‘： ｈｌ （ｘ ）（Ｐ）ｐ ｒｎ２ ｄ ＊ａｅｔ（ｘ）（－Ｐ）ｐｒｎｌ ＋１ ａｅｔ（ｘ）
Ｗ ｏ ｌ ｎｇ ｅ ｓ ｎ Ｃｏ ｕｔｔｏ ｌ ｎ ｅ ｌ ｅ ｃ ，９ ：９— ３ ｒｄ Ｃｏ ｒ ｓ ｍｐ ａ ｉ ｎａ ｔ ｌｉ ｎ ｅ １ ９８ ６ ７ ． ｏ Ｉ ｇ
［］ 于 扩 展 的 ＴＳ模 型 的 Ｐ Ｏ神 经 网络 在 故 障 诊 断 中 的 应 用 ［］ ４基 － Ｓ Ｊ． 计
３ ．改 进 的 粒 子群 算 法 （ Ｓ ） ＭＰ Ｏ
对于这些 问题 ，许 多人做 了大量 的工作来 改进 算法 的性 质， 比如从参数的控制角度 出发 ， 以结合其它 算法 来增强算 可 法的效率 。本文提出了一种改进的粒子群算法 ， 通过不断随机 初始化部分适 应值 较差 的粒 子的位置 ，个 体历史最优粒子做
子速度记 为 Ｖ＝ｖ ， …， 。则对 于每一代， （．ｖ ， ｖ ． 每个 粒子的位 置根据如下方程变化：
ｖ ｖｖ＋ １ｒ （ｉ ｉ Ｃ ｒ （ ｘ ｉ 宰ｉｃ ｌ Ｐ－ｄ ２ ２ ｐ ｄ ＊ ｄ ） ＊ Ｘ＋
ｘ ｉｖ ｄ ＋
公式 中 是 Ｄ维的位 置向量 ，ｈｌｋ ） ｐｒｎｋ ） ｃｉ （ 和 ａｅ ｔ（ ， ｄ
其 中 Ｐ 的适应值 比较接近 ，可在个体历史最优群体中 前 １％的个体 中随机选取一个 。ｒ为随机整数，４ ０ ３ １是介于［，】 ＂ ０１ 之 间的随机数。 算法中 对采取保序策略 ， 一个变量保存最 用
优 的 Ｐ， 保证算法得 到的最优解 。
４ ．仿 真 结 果及 其 分 析