二阶极点残数公式的推广

2! g″ ( z 0)
2
( B)
定理 f ( z ) , g ( z ) 在 z 0 点解析 , 且 f ( z 0) ≠ 0 若 z 0 是 g ( z ) 的 k 阶零点 , 则有: f ( z) Res , z0 g( z ) g ( k) ( z 0 ) k! g ( k + 1) ( z 0) ( k + 1) ! = [ k ! / g ( k ) ( z 0) ] k g ( k + 2) ( z 0) ( k + 2) ! …
( 2k - 1) ( 2k - 2) ( 2k - 3) ( k) ( k - 1) ( k + 1) ( k)
… … … … … … … g ( z 0) g ( z 0) g ( z 0) g ( z 0) f ( z 0) + bk- 1 + bk - 2 + … + b1 = ( 2k - 1) ! ( 2k - 2) ! ( 2k - 3) ! k! ( k - 1) ! 用 Gramer 法则解此方程组, 设 bk g
k
k! g ( z 0)
( k)
k
・D k .
k! f ( z) Res g ( z ) , z 0 = b1 = g ( k ) ( z 0) ・D k g ( k ) ( z 0) 0 k ! 0 0 … 0 f ( z ) g ( k + 1) ( z 0 ) g (k) ( z 0 ) f ( 1) ( z 0 ) 0 … 0 ( k + 1) ! k! 1! g ( k + 2) ( z 0 ) g ( k + 1) ( z 0) g ( k ) ( z 0) f ((2) z 0) … 0 ( k + 2) ! ( k + 1) ! k! 2! … … … … 0 … g ( 2k - 1) ( z 0 ) g ( 2k - 2) ( z 0) g ( 2k- 3) ( z 0 ) ( 2k - 1) ! ( 2 k - 2) ! ( 2k - 3) ! 定理结论得证 . 特别当 K = 2 时就是结论 ( B) .
摘要 : 通过对求 f ( z ) 二阶极点残数的公式变形 , 然后推广获得求 f ( z ) 型 k 阶极点的残数方法 .
g( z) g( z )
关键词 : 残数 ; 解析 ; 零点 ; 极点
从 [ 1] 中第 175 页 5 题和[ 2] 中第 104 页第 29 题有如下的结论 . 设 f ( z ) , g ( z ) 在 z 0 点解析 , 且 f ( z 0) ≠ 0, 若 z 0 是 g ( z ) 的二阶零点 , 则有 Res 现把( A) 式变为 g″ ( z 0) g Ê ( z 0) - f ( z 0) 2! 3! = g″ ( z 0) 2 2! 把结论 ( B) 推广得如下定理. f ( z) Res , z0 = g( z ) f′ ( z 0) g″ ( z 0) f ( z 0 ) 2! g Ê( z 0) f ′ ( z 0) 3! f (z) 6f ′ ( z 0) g ″ ( z 0) - 2f ( z 0) g Ê ( z 0 ) ,z0 = g( z ) 3[ g ″ ( z 0) ] 2 (A)
( k - 1)
g ( z 0) g ( z 0) g ( z 0) g ( z 0) f ( z 0) ( 2k - 1) ! ( 2k - 2) ! ( 2k - 3) ! … ( k + 1) ! ( k - 1) ! 证明 因为 f ( z ) , g ( z ) 在 z 0 点解析 , 且 f ( z 0 ) ≠ 0, z 0 是 g ( z ) 的 k 阶零点, 于是 g ( z 0 ) = g′ ( z 0) … = g ( k - 1) ( z 0) = 0, g ( k ) ( z 0) ≠ 0 从而由 g ( x ) 在 z 0 的 T ayler 展式有:
Generalizations Formula for Residue of Second Order Ploe
WEI Yu
( M athematics Depar tment of Q ianN an N or mal Co lleg e of N ationalities , Duyun Guizhou 558000, China) Abstract: T his paper mainly describes the w ay o f changing the fo rm o f the for mula for residue of seco nd o rder ploe of residue. Keywords: residu; zero ; ploe; analy tic f ( z) f (z ) and then g ener alizes the met ho d of so lving ko rder plo e g( z ) g( z )
( 2k - 2)
( k)
= bk
bk
g ( z 0) g ( z 0) + bk- 1 ( z - z 0) + … + ( k + 1) ! k!
( k + 1)
( k)
bk
g ( z 0) ( 2k - 1) !
( 2k - 1)
g ( z 0) g ( 2k - 3) ( z 0 ) g ( k) ( z 0 ) + bk- 2 1 ( z - z 0) k - 1 + … ( C) + … + b ( 2k - 2) ! ( 2k - 3) ! k! 而由 f ( z ) 在 z 0 点解析性, 从 T ayler 展式有: + bk- 1
收稿日期 : 2004-12-20 基金项目 : 贵州省教育厅自然科学基金研究项目 ( 2003222)
210
数 学 的 实 践 与 认 识
∞
35 卷
g( z ) =
∑
n= k
g
( n)
( z 0) ( z - z 0) n n!
f (z) 又因为 z 0 为 的 k 阶极点, 所以有 g( z ) bk bk- 1 b1 f ( z) g ( z ) = ( z - z 0 ) k + ( z - z 0) k - 1 + … + ( z - z 0) + h ( z ) ( 这里 h ( z ) 是解析的, b k ≠ 0) 因此
参考文献 :
[ 1] 庄圻泰 , 张南岳 . 复变函数 [ M ] . 北京 : 北京大学出版社, 1982. [ 2] 谢力之 , 刘中兴 . 复变函数奇点 [ M ] . 北京 : 电子工业出版社 , 1988.
=
k! g ( z 0)
( k)
k
g ( k+ 1) ( z 0 ) f ( k - 1) ( z 0) … ( k + 1) ! ( k - 1) !
∞
f ( z) =
Baidu Nhomakorabea
∑
n= k
f
( n)
( z 0) n f′ ( z 0) ( z - z 0 ) = f ( z 0) + ( z - z 0) k! 1!
f ( 2) ( z 0) f ( k) ( z 0 ) ( z - z 0) 2 + … + ( z - z 0) k + … ( D) 2! k! 比较( C) 、 ( D) 两式的系数可得 , 关于 b k , bk - 1 , b k - 2, bk - 3 , …, b1 的 k 阶线性方程组 ( k) g ( z 0) bk = f ( z 0) k! + bk bk g ( z 0) g ( z 0) f ′ ( z 0) + bk- 1 = ( k + 1) ! k! 1! g ( k + 2) ( z 0) g ( k + 1) ( z 0 ) g ( k ) ( z 0 ) f ( 2) ( z 0 ) + bk- 1 + bk - 2 = ( k + 2) ! ( k + 1) ! k! 2!
( 2k - 1)
0 g ( k) ( z 0 ) k! g ( k + 1) ( z 0 ) ( k + 1) ! …
( 2k - 2)
0 0 g ( k ) ( z 0) k! …
( 2k - 3)
… … … …
0 0 0 0
( k + 1)
f ( z 0) f ( 1) ( z 0 ) 1! f ( 2) ( z 0 ) 2! …
( k)
( z 0) 0 0 … 0 k!
( k) ( k) k
g ( z 0) g ( z 0) 0 … 0 ( k + 1) ! k! D= g ( k + 2) ( z 0) g ( k + 1) ( z 0 ) g ( k ) ( z 0) … 0 ( k + 2) ! ( k + 1) ! k! … … … … 0 g ( z 0) g ( z 0) g ( z 0) g ( z 0) … ( 2k - 1) ! ( 2k - 2) ! ( 2k - 3) ! k!
∞
f ( z) = =
∑
n= k
g ( n) ( z 0 ) bk b k- 1 b1 ( z - z 0) n + h( z ) k + k- 1 + … + n! ( z - z 0) ( z - z 0) ( z - z 0)
( k + 1) ( k + 2)
( z 0) k g ( z 0) k+ 1 g ( z 0) k+ 2 ( z - z 0) + ( z - z 0) + ( z - z 0) + … k! ( k + 1) ! ( k + 2) ! bk bk- 1 b1 õ k + k- 1 + … + + h( z ) ( z - z 0) ( z - z 0) ( z - z 0) g g ( k ) ( z 0) + k!
( 2k - 1) ( 2k - 2) ( 2k - 3) (k)
( k + 1)
=
g
( z 0) k!
9期
韦 煜 : 二阶极点残数公式的推广
211
g
( k)
( z 0) 0 0 … f ( z 0 ) … 0 k!
g ( k + 1) ( z 0 ) g (k) ( z 0 ) f′ ( z 0) 0 … … 0 ( k + 1) ! k! 1! D i= g ( k + 2) ( z 0 ) g ( k + 1) ( z 0) g ( k ) ( z 0) f ( 2) ( z 0) … … 0 ( k + 2) ! ( k + 1) ! k! 2! … … … … … … … g ( 2k - 1) ( z 0 ) g ( 2k - 2) ( z 0) g ( 2k - 3) ( z 0 ) f ( k + 1) ( z 0 ) f ( k) ( z 0 ) … … ( 2k - 1) ! ( 2k - 2) ! ( 2k - 3) ! ( k - 1) ! k! ( i 列) ( i = 1, 2, 3, …, k ) 所以 b i = D k- i+ 1 Dk ( i = 1, 2, 3, …, k ) , 从而 b 1= = D D 于是从残数的定义得
第 35 卷第 9 期 2005 年 9 月
数学的实践与认识 M AT HEM A T ICS IN PRACT ICE A ND T HEORY
V ol. 35 N o. 9 Sep. , 2005
教学园地
二阶极点残数公式的推广
韦 煜
( 黔南民族师范学院数学系 , 贵州 都匀 558000)