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第一章 概率论的基本概念
随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型（古典概型） 条件概率 独立性
§1 随机试验
具有以下特点的试验，称为随机试验 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可用字母E表示
幻灯片 6
随机事件
1.定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事 件”, 简称“事件”. 记作A、B、C等；
任何事件均可表示为样本空间的某个子集，由一个样本点e 组成的单点集称为一个基本事件,也记为e； 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。 2.两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.
概率论与数理统计
吴茗 Email：mwu@mail.ccnu.edu.cn 办公室：六号楼512
教材：
《概率论与数理统计》
李书刚 编 科学出版社
《概率论与数理统计》
浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社
序
言
概率论是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论与数理统计——研究和揭示随 机现象的统计规律性的一门数学学科
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1；
(2) fn(S)＝1； fn( )=0
(3) 可加性：若AB＝ ，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B). 实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。将此稳定值记作P(A)，可 将它作为事件A发生的概率
4.差事件 ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生
思考：何时A-B=? 何时A-B=A？
5. 互斥的事件：AB＝
6. 互逆的事件 AB＝S, 且AB＝
记作B A ，称为A的对立事件 ;
事件的运算
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(德· 摩根)律：
某人向目标射击，以A表示事件 “命中目标”，P（A）=？
定义: 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值 nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记 为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
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实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
(2) 规范性： P(S)＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)
概率的性质 (1) P()=0 (2) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (3)事件差： A、B是两个事件，则
随机实验的例
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；
随机事件
§2 样本空间、随机事件
样本空间
1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的 集合称为样本空间，记为S； 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的 元素称为一个样本点, 记为e.
事件之间的关系与事件的运算
事件之间的关系
1.包含关系：“ A发生必导致B发生”记为AB A＝B AB且BA.
2.和事件： “事件A与B至少有一个发生”，记作AB
n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作 Ai
i 1
n
3.积事件:A与B同时发生，记作 AB＝AB
n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
A1 : “至少有一人命中目标 ” :
ABC A6 : “三人均未命中目标” : B C A
A5 : “三人均命中目标” :
§3 频率与概率
从直观上来看，事件A的概率是指事件A发 生的可能性 P（A）应具有何种性质？
抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？
A B A B,
k
AB A B
k
可推广为: Ak Ak ,
A A .
k k k k
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以 A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的 运算关系表示下列事件：
A B C A2 : “恰有一人命中目标” : ABC ABC ABC A3 : “恰有两人命中目标” : ABC ABC ABC A4 : “最多有一人命中目标 ” : BC AC AB
例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A＝“至少出一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}； B=“三次出现同一面”={HHH,TTT} C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}
可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空 间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概 率 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关 系，如试验E2 ，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B 同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生 。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定 的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。
概率的公理化定义
注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的如下公理化 定义
定义 若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一 事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条 件： (1) 非负性：P(A) ≥0；