相似三角形的判定方法

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t (一)相似三角形
1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．
①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；
③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．
①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
②相似比具有顺序性．例如△ABC ∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k ，则△
A′B′C′∽△ABC 的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．
③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．
3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．
4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：
∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；
（双A
型）
②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；
③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．
(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
例2、如图，E、F分别是△ABC的边
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、如图,AB⊥BD,CD
cm,CD=40 cm,BD=140
,PB的长满足什么条件
明理由.
，则图中相似三角形的对数有
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(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见前图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；
(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；
(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△
ADE ∽△ABC ，该图可看成把第一个图中的△ADE 绕点A 旋转某一角度而形成的． 从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．
练习：1、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示
出来，并简要说明识别的根据。

2、如图27-2-1-12,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC 的顶点A,B,C 在单位正方形的顶
点上,请在图中画一个△A 1B 1C 1,使△A 1B 1C 1∽△ABC(相似比不为1),且点A 1,B 1,C 1都在单
位正方形的顶点上.
a r
e 图27-2-1-12
将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中所有点、线都图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；
三角形吗？如果有，就把它们一一写A
3、相似三角形的判定
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d f
o r
是△ABC 的角平分线，． 求证：
．
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e i r
b e
i n g
a r
e g
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d f
o r
s o m （3）、作中线
例1、 如图，中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求ABC ∆AC 。

练习：
1、中，，AC=BC ，P 是AB 上一点，Q 是PC 上一点（不是中点），ABC ∆︒=∠90ACB MN 过Q 且MN ⊥CP ，交AC 、BC 于M 、N ，求证：。

CN CM PB PA ::=2、. 理由？如图，中，，，那么吗？试说明∆ABC AB AC BD AC BC CA CD =⊥=⋅2
2
3.(2009年湖北武汉)如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点
O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．。