含绝对值的函数专题

已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1, a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求a的取值范围．

【试题来源】辽宁省大连二十四中、四十八中2015-2016学年高一上学期期中联考数学试题

【答案解析】

【考点】二次函数的性质．

【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】由条件利用二次函数的性质可得a≥2．故只要f（1）﹣f（a）≤4 即可，即（a ﹣1）2≤4，求得a的范围．

【解答】解：由于函数f（x）=x2﹣2ax+5的图象的对称轴为x=a，函数f（x）=x2﹣2ax+5在区间（﹣∞，2]上单调递减，∴a≥2．

故在区间∈上，1离对称轴x=a最远，故要使对任意的x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，

只要f（1）﹣f（a）≤4 即可，即（a﹣1）2≤4，求得﹣1≤a≤3．

再结合 a≥2，可得2≤a≤3，

故a的取值范围为：．

【点评】本题主要二次函数的性质，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．

已知函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．

（1）指出f（x）=|x+|﹣|x﹣|的基本性质（两条即可，结论不要求证明），并作出函数f（x）的图象；

（2）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求m 的取值范围．

【试题来源】辽宁省大连二十四中、四十八中2015-2016学年高一上学期期中联考数学试题

【答案解析】

【考点】分段函数的应用．

【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．

【分析】（1）化简f（x）=，判断函数的性质，再作其图象即可；

（2）结合右图可知方程x2+mx+n=0有两个不同的根x1，x2，且x1=2，x2∈（0，2）；从而可得故x2+mx+n=（x﹣2）（x﹣x2），从而解得．

【解答】解：（1）化简可得f（x）=，

故f（x）是偶函数，且最大值为2；

作其图象如右图，

（2）∵关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，

∴结合右图可知，

方程x2+mx+n=0有两个不同的根x1，x2，

且x1=2，x2∈（0，2）；

故x2+mx+n=（x﹣2）（x﹣x2）

=x2﹣（2+x2）x+2x2，

故m=﹣（2+x2），

故﹣4＜m＜﹣2．

【点评】本题考查了分段函数的应用及绝对值函数的应用，同时考查了数形结合的思想应用

设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），若f（x﹣2）＞0，则x的取值范围是( ) A．（﹣∞，0）B．（0，

4）C．（4，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）

【试题来源】辽宁省大连二十四中、四十八中2015-2016学年高一上学期期中联考数学试题

【答案解析】

D

【考点】指数型复合函数的性质及应用．

【专题】整体思想；数形结合法；函数的性质及应用．

【分析】先利用偶函数的图象关于y轴对称得出f（x）＞0的解集，再运用整体思想求f（x﹣2）＞0的解集．

【解答】解：根据题意，当x≥0时．f（x）=2x﹣4，

令f（x）=2x﹣4＞0，解得x＞2，

又∵f（x）是定义在R上的偶函数f（x），其图象关于y轴对称，

∴不等式f（x）＞0在x∈R的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），

因此，不等式f（x﹣2）＞0等价为：x﹣2∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），

解得x∈（﹣∞，0）∪（4，+∞），

故选D．

【点评】本题主要考查了指数型复合函数的图象和性质，涉及函数的奇偶性和不等式的解法，属于中档题．

设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈时，f（x）=（）

x﹣1，若关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）在区间（﹣2，6）内恰有4个不等的实数根，则实数a的取值范围是( )

A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞）

【试题来源】山西省太原市2016届高三上学期期中数学试题

【答案解析】

D

【考点】根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用．

【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．

【分析】由题意，讨论0＜a＜1时，当0＜a＜1时，﹣2＜x＜0时，y=f（x）和y=log a （x+2）只有一个交点；故a＞1．关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1），在区间（﹣2，6）内恰有四个不同实根可化为函数f（x）与函数y=log a（x+2）有四个不同的交点，作出函数f（x）与函数y=log a（x+2）的图象，由图象解出答案．

【解答】解：由f（x）是定义在R上的偶函数，

且f（2+x）=f（2﹣x），

即为f（x+4）=f（﹣x）=f（x），

则f（x）为周期为4的函数．

当x∈时，f（x）=（）x﹣1，

可得x∈时，f（x）=f（﹣x）=（）﹣x﹣1，

又∵f（x）=log a（x+2）（a＞0且a≠1），

当0＜a＜1时，﹣2＜x＜0时，y=f（x）和y=log a（x+2）只有一个交点；

在0＜x＜6时，f（x）＞0，log a（x+2）＜0，则没有交点，

故a＞1，作出它们在区间（﹣2，6）内图象如右图：

当x=6时，f（6）=f（2）=1，log a（6+2）=1，解得a=8，

由于﹣2＜x＜6，即有a＞8，

y=f（x）和y=log a（x+2）有四个交点．

故选：D．

【点评】本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系，同时考查了数形结合的数学思想应用，属于中档题．

偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= ．

【试题来源】陕西省西安音乐学院附中高三2016届高三上学期期中数学试题

【答案解析】

3

【考点】函数奇偶性的性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，

所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），

即f（x+4）=f（x），

则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，

法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，

所以f（1）=f（3）=3，

因为f（x）是偶函数，

所以f（﹣1）=f（1）=3，

故答案为：3．

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f （x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础

函数f（x）=lgx2的单调递减区间是．

【试题来源】陕西省西安音乐学院附中高三2016届高三上学期期中数学试题

【答案解析】

（﹣∞，0）

【考点】复合函数的单调性．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确

定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．