第四章大气运动学

A B A B sin
方向：右手定律
3、离心力(C)、地心引力(G)和重力(g)
(1)离心力 C＝-Ω∧(Ω∧r) 某点P的矢径r写为r＝OM＋Ｒ ，于 是 Ω∧r＝ Ω∧(OM+R)＝Ω∧OM＋ Ω∧R ＝Ω∧R 将其代入(4.8)式，并利用三重矢量 积演算公式，可得离心力的一般 表达式 C＝-Ω∧(Ω∧r)＝Ω2Ｒ 式中R是P点在纬圈平面上的径向量， 离心力的方向 与地轴垂直，沿径 向量R指向外；离心力的大小为 Ω2R，其 值随纬度而变，在极地 C＝０，在赤道C＝Ω2r。
第四章 大气运动学
地球大气处于不断的运动之中。其时空尺 度范围非常宽广，小到分子的个别无序运动， 大到遍及全球的纬向环流；其运动状态复杂 多样，有水平运动和垂直运动，有层流、湍 流和波动，有直线、曲线和涡旋运动。大气 运动对大气中的水分、热量输送，以及天气、 气候的形 成、演变起着重要的作用，研究大 气运动的规律是大气科学的重要课题之一。
X方向单位质量空气所 受的净压力—X方向的 气压梯度力

p x
dx ( dydz )
1 p
dxdydz
x
Y方向气压梯度力 Z方向气压梯度力 气压梯度力
1

1 p
y
1 p

z

p
1 p
x
i
1 p
y
j
1 p
z
k
方向： 由高压指向低压 在大气中，垂直方向的气压梯度力通常与重 力相平衡，因此，水平方向的气压梯度力 可 以说是空气水平运动的原动力
2、柯氏力(D)------地转偏向力
D ＝－２Ω∧V＝２V∧Ω 产生柯氏力的条件是：①坐标随地球转动；②空气 微团相对于该旋转坐标有运动，即速度V≠0。 柯氏力的方向垂直于Ω和V组成 的平面，在北半球 指向V右侧，在南半球指向V左侧。由于D垂直于V， 因此，柯氏力只能改变空气运动的方向，不能改 变 其速率，所以称它为偏向力。 柯氏力与地球的自转角速度Ω相垂直，因此柯氏力D 总位于纬圈平面内。
一. 运动方程的矢量形式-----动量方程 1.绝对运动方程
绝对坐标系中的作用力：气压梯度力 擦力 Fr
1

p
, 地球引力 G, 摩
dv a dt

1

p G Fr
2、相对运动方程 设t0时刻空气和观测者位于P点， Δt时间后空气移至Pa，而观测 者随地球旋转至Pe，因此，空 气的 绝对位 移为PPa，相对位 移为ＰeＰa，地球自转引起的相 对坐标的位移(称为牵连位移)为 PPe， 三者的关系为：r a ＝ r +r e ， 对时间微分得
i A B AX BX j AY BY k AZ BZ i D 2V u 0 j v cos k w sin

F cx 2 v sin 2 w cos F cy 2 u sin F cz 2 u cos
F
c
Va V Ve V r
V为相对速度；Ve是 相对坐标以角速度Ω (地球自转角速度)旋转产生的线速度， 称为牵连速度，Ve＝Ω∧r。
对任何矢量都成立的微分算符
对Va用上述微分算符得
d aV a dt ( dr dt )V a dV dt
da dt

dr dt
其x轴沿该点指向正东(与纬圈相切)；y轴指 向正北(与经圈相切)；z轴指向天顶，与x-y平 面相垂直(图4.4)。这种坐标 系是一种在地球 上可随意移动的直角坐标系，当然，由一点 移到另一点时，坐标轴也随之发 生变化。
2、运动方程的分量形式
地球自转角速度 Ω＝Ωcosυj+Ωsinυk
柯氏力为 D＝２Ｖ∧Ω＝２（ui+vj+wk）∧Ω ＝２（vΩsinυ-wΩcosυ）i－２uΩsinυj +2uΩcosυk
(2)重力
地球是个椭球体，定义空气 微团所受的重力g是地心引 力与离心 力的合力，即 g=G+C。 由于地心引力约为离心力的 千倍，因此重力g的大小与 地心引 力G相差不大； 重力g的方向垂直于地球表 面，但不通过地心，然而由 于g和G之间的夹角很小， 通常可将重力g近似看作指 向球心。

F rim V
2
大气中分子粘性力很小，通常可以不考虑。但在行星边界 层(1.5Km以下)，大气经常处于 湍流状态，湍流摩擦力不 能忽略。
湍流摩擦力
湍流摩擦力的推导和表达式与分子摩擦力类似，模仿 分子粘性，引进湍流粘性系数A和湍流 动粘系数K(或 称为湍流交换系数)， A与分子粘性系数μ相对应 K和分子动粘系数γ相对应 湍流摩擦力
球坐标系最为完善，它能反映地球的球面 性。然而，球坐标系应用比较麻烦，因此， 除了考虑全球范围或极地地区的大气运动问 题时必须用球坐标系外，通常采用 一种局地 直角坐标系，气象上称它为标准坐标系。这 种坐标系既具有一般直角坐标的特点，又含 有部分球坐标特点，便于使用。
1、坐标的取法
标准坐标系(x,y,z)取地球上某指定点p为原点；
X方向质量净流入率
[u ( u ) x x 2 ] y z [ u ( u ) x x 2 ] y z ( u ) x
x y z
Y方向质量净流入率 Z方向质量净流入率 质量净流入率

(v)Baidu Nhomakorabeay
xyz

( w) z

F rit K V
2
三 标准坐标系中运动方程的分量形式
气象上常用的坐标系有三类： (1)坐标轴的方向与气流的流向无关，如标准坐标、球 坐标和柱坐标系等。 (2)坐标轴的方向决定于流向。自然坐标系就属此类 (3)垂直坐标用某种气象要素表示。如(x,y,p)坐标系(简 称p坐标)中的垂直坐标为气压p，它适用于等压面分 析；(x,y,σ)坐标系(简称σ坐标，或称地形坐标)中， 垂直坐标σ是气压和地形的函数，如取σ＝p/ps，其 中ps为地面气压，这种坐标便于反映 地形特征；而 θ坐标系则取θ作为垂直坐标，它适用于等熵面分析。

dV dt

1

p 2V g F r
4、摩擦力
摩擦力是所有力中最复杂的力，它包括外摩擦和内 摩擦两种力。 外摩擦力Fro是指空气与地表之间的摩擦力(也称地面 摩 擦力)。方向与空气运动方向相反，其大小与空 气运动速度成正比，即 Fro＝－kＦＶ kＦ为摩擦系数。 内摩擦力Fri是空气之间的相对运动产生的摩擦力， 包括分子摩擦和湍流摩擦两部 分。它们分别由分子 粘性力(也称粘性应力)和湍流应力产生。
c、 据矢积定义，水平地转偏向力的方 向与风的方向垂直，且在北半球指向风 的右方，南半球指向左； d、 水平地转偏向力只改变空气运动 的方向，不改变运动速率，对运动的 空气团不做功。
标准坐标系中运动方程的分量形式为：
du dt 1 p
x
2 ( v sin w cos ) F rx
C G g
重力g的大小是纬度υ和高度z的函数
g(υ,z)＝g45°,０(1-a cos 2υ)(1-bz) g45°,０为纬度45°处海平面上的重力加速度， a=0.00265，b=3.14×10-7m-1 ，在气象工 作中通常忽略g随υ和z的变化，即取g＝ g45°,0＝9.8 m· -2 s 相对运动方程矢量形式
du dt dv dt dw dt

1 p
x
1 p
fv 2 w cos F rx fu F ry g 2 u cos F rz
y
1 p
z
四. 连续方程—大气质量守恒定 律的数学表达 式

一个给定的空气块在运 动过程中，不管其体积 和形状会发生什么样的 变 化，它所含的质量却 保持不变。
o
北半球
V
方向如图： 在北半球， 垂直于风速； 在南半球， 垂直于风速。
0 0
，科氏力指向 ，科氏力指向
V
右侧， 左侧，
V
水平地转偏向力
一般，w比u，v小许多，可略去。 令
f 2 sin
，称为地转参数，
F cx fv F cy fu
则水平地转偏向力表示为
F ch fv i fu j fVh k

分子粘性力



分子粘性力是由流速不同的流 体(液体气体)之间，分子不规则 运动引起分子动量交换而 作用 在流体界面上的粘性应力。 若垂直方向(z)的流体作用于体 元中心的x方向的应力为τzx，在 x方向作用于小体元的净应力 zx dzdydx z 单位质量流体所受的垂直方向 流体作用于x方向的分子粘 性 应力
，
Vh :
水平风速
水平地转偏向力的性质
a、 水平地转偏向力的性质只作用于运动 的空气块上，当纬度一定时，风速越大， 水平地转偏向力越大；反之，越小；
b、 风速一定时，水平地转偏向力的大小 与纬度的正弦成正比，纬度越高，水平地 转偏向力越大；反之，越小，
赤道上
0 , sin 0
无水平地转偏向力；

2


2 2
x


2 2
y


2 2
z
2 2 2 yy zy 1 xy v v v 2 [ ] v 2 2 2 x y z x y z
2 2 2 yz 1 xz zz w w w 2 [ ] w 2 2 2 x y z x y z
( u ) x
x y z
(v) y (w) z ] x y z
[
单位体积空气质量净流入率
[ (u ) x ( v) y ( w) z ] ( V )
点乘算符
A
A x

A y
dv dt
dw dt


1 p
y
1 p
2 u sin F ry
z
2 u cos F rz g
标准坐标系实际上是将地球表面看成平面，即没有 考虑地球的球面性，它与球坐标之间的差异随着纬 度(υ)的增加而增大。因此，标准坐标系只适用于中、 低纬度局部 地区的大气运动。

1 zx

z
流体力学中关于不可压缩粘性流体的牛顿定律
zx
u z

分子粘滞系数,


分子运动学粘滞系数(动粘系数)
1 zx
垂直方向流体作用于x方向的分子粘 性应力

z
yx

1
z
1
(
u z
u y
)
u
2
z
u
2
2
1
Y方向流体作用于x方向的分子粘 性应力
大气无时无刻不在运动之中，形成 风和风的系统。大气中的物质被风
带往各处。风系中对天气和气候起
主要作用的首先是对流层的风系，
其次是平流层的风系。
4.1 大气运动方程 牛顿运动定律
F ma

牛顿运动定律反映了机械运动的一般规律，建立反 映大气运动规律的方程时，是从牛顿运动定律为基 础的。人们生活在地球上，在研究地球大气运动时 很自然地会将地球作为参考系。

2 V ( r )
代入绝对运动方程
dV dt 1
dv a dt

1

p G Fr


p G Fr 2 V ( r )
二 作用于地球大气的力
1、气压梯度力 气压梯度力由气压分布 的不均匀所造成，其物 理含义可通过微体元与 周围大气之间的压力 作用来考虑。

y

y
1
(
)
y
2
X方向流体作用于x方向的分子粘 性应力
1 xx

x

x
(
u x
)
u
2
x
2
X方向摩擦力 拉普拉斯算符 Y方向摩擦力 Z方向摩擦力 分子摩擦力
2 2 2 yx zx 1 xx u u u 2 [ ] u 2 2 2 x y z x y z