05 中子—质子散射——H的截面
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'
k cot δ o = −κ
即相移和结合能之间的关系。 一旦相移 δ o 已知，微分散射截面即可由(4.13)式给出：
(5.17)
σ (θ ) = (1 / k 2 ) sin 2 δ o
利用(5.17)式的一个简单方法是注意三角关系 sin x = 1/(1 + cot x)，或者
2 2
(5.18)
sin 2 δ o =
1 1 = 2 1 + cot δ o 1 + κ 2 / k 2
(5.19)
因此
1 = 1 =2 σ (θ ) = 2 2 = ≈ κ +k m E + E B mE B
(5.20)
最后一步成立的原因是我们只对估计能量 1～100 eV 范围内的散射截面感兴趣。将下列常量值 -27 -24 6 -12 代入： = = 1.055 × 10 erg sec，m = 1.67 × 10 g，以及 EB = 2.23 × 10 × 1.6 × 10 ergs，我们得到：
V ( r ) = −Vo
= 0
r < ro r > ro
(5.1)
问题是怎样设定参数，以产生结合能 EB = 2.23MeV 的束缚态？ 有足够的证据表明氘核的束缚态主要是 1s (n=1, A =0)。由于所有势模型预测的最低能态 2 都是 s-态，因此这也与我们所预期的结果一致。另外 H 的磁矩近似等于质子和中子的磁矩之 和，这表明两种自旋是在平行状态下而且质子相对于中子没有轨道运动。这与基态下 I=1 时总 角动量是一致的。通过径向波动方程（4.10）在 A =0 及 E=-EB=-2.23MeV 时的解，我们继续建立 势的模型。事实上，在阱内（r <ro）势为常数，而阱外为 0，这样我们就可以将问题分割开来。
以及
(5.12)
u ( r ) = C sin( kr + δ o ), r > ro
其中 K =
'
(5.13)
m(Vo + E ) / = ， k = mE / = 。利用界面条件我们得到：
K ' cot( K ' ro ) = k cot(kro + δ o )
(5.14)
利用该式，我们就可以通过势阱参数和入射能量 E 来决定相移。通过式 δ o = − ak （(4.25)）我 们知道相移只与散射长度相关。假设散射长度大于 ro ，可以看出(5.14) 式右侧项近似等于
注意三重态的散射长度大于 0，而单态则小于 0。这一点和图 4.3 是一致的。
在后面讨论热中子散射时我们还会谈到更多关于散射长度的问题。
最简单的办法就是在内部和外部分别求解波动方程，并应用适当的边界条件来满足两个解。这 两个方程分别是：
⎛ d2 2⎞ ⎜ ⎟u ( r ) = 0, r < ro ⎜ dr 2 + K ⎟ ⎠ ⎝
其中 m 为中子质量， K =
(5.2)
m(Vo − E B ) / = ，以及
⎛ d2 2⎞ ⎜ dr 2 − κ ⎟ u( r ) = 0, r > ro ⎝ ⎠
tan( Kro ) = −κ / K ~ Vo / E B
这表明：
(5.9)
Kro ~ π / 2
或者：
(5.10)
Vo ro2 ~ (π / 2) 2 = 2 / m ~ 1MeV − barn
2
-13
(5.11)
我们可以看到(5.9) 只允许确定 Vo ro 的值，而不是单独的参数。对于中子——质子之间的相互 作用，力程约为 2F（费米 F=10 cm） 。因此我们有 Vo～36MeV，的确大于 EB。因此由 D 核的结合 能得来的球形势阱，即三维方形势阱如图 5.2 所示。
u( r ) = A sin( Kr ), r < ro
以及
(5Βιβλιοθήκη Baidu6)
u( r ) = de −κr , r > ro
由波函数与其导数的比率在交界点（r = ro）处连续的条件，可以得到：
(5.7)
K cot Kro = −κ
(5.8)
这正是我们正在寻找的结果，即势参数（Vo, ro）和已知的结合能 EB 的关系。由于涉及到的能 量值不同，因此还有可能做进一步的简化。我们已知 EB=2.23MeV，尽管势阱的深度未知，我们 有理由推断它比 EB 大一个量级 （下面将证实） 。 因此我们将在 Vo > EB 的条件下继续， 这样(5.8) 变为：
n + 1H → 2 H + γ (2.23MeV )
该反应的逆反应是利用一定能量的电子产生外部的轫致辐射从而在 H 上引发( γ , n)反应，这 2 已经得到应用。 H 除了基态以外，没有其它的稳定态。它在～2.30 MeV 能量上存在一个虚态。
2
需要强调的是学生应该牢记对于氢核(n, γ ) 的反应截面是 0.33 巴。尽管与当前散射问题 的讨论无关，但对于北美核能的开发却具有重要意义。水对中子的吸收很高，因此不能建造以 235 天然铀为燃料、轻水作为慢化剂的临界堆。美国采用的方法是浓缩天然铀使 U 的浓度达到 3% 235 （ U 的天然丰度是 0.07%） 。而加拿大则采用重水作为慢化剂，因为重水的中子吸收截面比轻 水低三个量级，使用重水作为慢化剂的反应堆利用天然铀即可达到临界条件。 利用氘核的数据，我们考虑将中子——质子的相互作用势简化为最简单的形式——球形势 阱。势由两个参数决定，阱深 Vo 和力程 ro 。
图 5.1 中子——质子散射问题中的球形势阱模型，通过选取适当的参数使得束缚态能量为 EB=2.23MeV。同样的势模型将用于计算中子在氢核中的散射截面。 我们现在考虑散射问题，任务是求解同一个径向波动方程的 s-波问题，只不过是 E>0 时的 解。它的内部和外部解有如下形式：
u( r ) = B sin( K ' r ), r < ro
σ (θ ) =
1 k2
3 2 ⎞ ⎛1 2 ⎜ sin δ os + sin δ ot ⎟ 4 ⎝4 ⎠
*
(5.22)
我们已经说过基态是 E=-EB 的三重态。如果单态产生一个 E=E 的虚态，那么(5.21)将变为：
σ≈
*
π =2 ⎛ 3
1 ⎞ + *⎟ ⎜ m ⎝ EB E ⎠
(5.23)
将 E 取值为～70 keV，从(5.23)可以计算出值为 20.4 巴，使理论与实验值一致。 实验结果已经给出上述两种类型的中子——质子散射（三重态和单态）的散射长度以及相 应势阱的力程和深度。 相互作用 中子–质子（三态） 中子–质子（单态） 散射长度 a[F] 5.4 -23.7 ro[F] 2 ~2.5 Vo[MeV] 36 18
k cot(δ o ) 。对于左侧项，相对于 K ' 中的 Vo，可以忽略 E。同时相对于 K 中的 Vo，可以忽略 EB。
于是 K ~ K ，由于(5.8)， 左侧项可设为等于 − κ 。注意这一系列的近似已经使我们可以利用 束缚态问题中的色散关系（5.8）来进行散射计算。因此，(5.14)可以写为：
(5.3)
其中 κ =
mE B / = 。对应的解为：
u( r ) = ae iKr + be − ikr , r < ro u( r ) = ce iκr + de − iκr , r > ro
(5.4) (5.5)
注意到波动方程在原点必须是有限的并且在无穷远处必须是保持有界的，因此可以去除四个积 分常数中的两个。这就允许我们将解写成如下形式：
22.54 中子与物质的相互作用及应用（2004 年春季） 第五讲（2004 年 2 月 19 日） 中子——质子散射
参考文献： M. A. Preston, Physics of the Nucleus (Addison–Wesley, Reading, 1962). E. Segre, Nuclei and Particles (W. A. Benjamin, New York, 1965), Chap. X. 我们在本讲继续讨论低能中子与氢核的散射问题，它的散射截面在很宽能量范围内的测量 结果都是 20.4 巴。我们的目的是将上一讲中讨论的势散射理论应用到这个问题中。我们很快就 会看到 s-波近似（低能时的反应条件）在中子能量为 1～1000eV 时是非常适用的。以方势阱来 表达 n－p 相互作用，我们考虑关于它的两个计算。氘核的束缚态问题，即波动方程在 E<0 时的 解，使我们可以对势阱的宽度和深度设置界限；而散射态的解，即 E>0 时的解则提供给我们相 移或者等价的散射长度。该计算得到的反应截面值 2.3 巴与实验值相去甚远。原因在于我们没 有考虑 n-p 反应的自旋相关特性。 中子和质子的自旋可以形成迥异的两种自旋组态——平行 （三 重态）或者反平行（单态）——都会对散射长度有影响。考虑到这些因素之后的计算值就会与 实验室相当接近。结论是 n-p 应是与自旋相关的，且氢核对于中子具有异常大的散射截面实际 上与核力在这一方面的特点有关。 氘核的束缚态 氘核是两种核子所能形成的唯一稳定束缚态。 换句话说， 双中子和双质子都是不稳定的 （由 于不相容原理） 。氘核是由于低能中子被氢核所俘获形成，该反应释放出能量为 2.23 MeV 的 γ：
σ = 4π = 2 / mEB ~ 2.3巴
这个结果比 H 的散射截面实验值 20.4 巴要小很多，如图 5.2 所示：
1
(5.21)
图 5.2 氢核散射截面实验值，在很大的能量范围内保持恒定值 20.4 巴。在能量低于～0.1 eV 时截面的升高可以解释为散射样品中化学结合效应的结果。 对于这个著名矛盾的解释是： 散射截面与自旋的相关性被忽略了。 E. P. Wigner 在 1933 年 提出中子——质子的散射问题会依赖于中子和质子的自旋是同向（三重态，总的自旋角动量是 = ）还是反向（单态，总自旋为 0） 。对于每一种形态，相互作用势都不同，因此相移也不同。 依照该思路，我们可以将(5.20)改写为：
k cot δ o = −κ
即相移和结合能之间的关系。 一旦相移 δ o 已知，微分散射截面即可由(4.13)式给出：
(5.17)
σ (θ ) = (1 / k 2 ) sin 2 δ o
利用(5.17)式的一个简单方法是注意三角关系 sin x = 1/(1 + cot x)，或者
2 2
(5.18)
sin 2 δ o =
1 1 = 2 1 + cot δ o 1 + κ 2 / k 2
(5.19)
因此
1 = 1 =2 σ (θ ) = 2 2 = ≈ κ +k m E + E B mE B
(5.20)
最后一步成立的原因是我们只对估计能量 1～100 eV 范围内的散射截面感兴趣。将下列常量值 -27 -24 6 -12 代入： = = 1.055 × 10 erg sec，m = 1.67 × 10 g，以及 EB = 2.23 × 10 × 1.6 × 10 ergs，我们得到：
V ( r ) = −Vo
= 0
r < ro r > ro
(5.1)
问题是怎样设定参数，以产生结合能 EB = 2.23MeV 的束缚态？ 有足够的证据表明氘核的束缚态主要是 1s (n=1, A =0)。由于所有势模型预测的最低能态 2 都是 s-态，因此这也与我们所预期的结果一致。另外 H 的磁矩近似等于质子和中子的磁矩之 和，这表明两种自旋是在平行状态下而且质子相对于中子没有轨道运动。这与基态下 I=1 时总 角动量是一致的。通过径向波动方程（4.10）在 A =0 及 E=-EB=-2.23MeV 时的解，我们继续建立 势的模型。事实上，在阱内（r <ro）势为常数，而阱外为 0，这样我们就可以将问题分割开来。
以及
(5.12)
u ( r ) = C sin( kr + δ o ), r > ro
其中 K =
'
(5.13)
m(Vo + E ) / = ， k = mE / = 。利用界面条件我们得到：
K ' cot( K ' ro ) = k cot(kro + δ o )
(5.14)
利用该式，我们就可以通过势阱参数和入射能量 E 来决定相移。通过式 δ o = − ak （(4.25)）我 们知道相移只与散射长度相关。假设散射长度大于 ro ，可以看出(5.14) 式右侧项近似等于
注意三重态的散射长度大于 0，而单态则小于 0。这一点和图 4.3 是一致的。
在后面讨论热中子散射时我们还会谈到更多关于散射长度的问题。
最简单的办法就是在内部和外部分别求解波动方程，并应用适当的边界条件来满足两个解。这 两个方程分别是：
⎛ d2 2⎞ ⎜ ⎟u ( r ) = 0, r < ro ⎜ dr 2 + K ⎟ ⎠ ⎝
其中 m 为中子质量， K =
(5.2)
m(Vo − E B ) / = ，以及
⎛ d2 2⎞ ⎜ dr 2 − κ ⎟ u( r ) = 0, r > ro ⎝ ⎠
tan( Kro ) = −κ / K ~ Vo / E B
这表明：
(5.9)
Kro ~ π / 2
或者：
(5.10)
Vo ro2 ~ (π / 2) 2 = 2 / m ~ 1MeV − barn
2
-13
(5.11)
我们可以看到(5.9) 只允许确定 Vo ro 的值，而不是单独的参数。对于中子——质子之间的相互 作用，力程约为 2F（费米 F=10 cm） 。因此我们有 Vo～36MeV，的确大于 EB。因此由 D 核的结合 能得来的球形势阱，即三维方形势阱如图 5.2 所示。
u( r ) = A sin( Kr ), r < ro
以及
(5Βιβλιοθήκη Baidu6)
u( r ) = de −κr , r > ro
由波函数与其导数的比率在交界点（r = ro）处连续的条件，可以得到：
(5.7)
K cot Kro = −κ
(5.8)
这正是我们正在寻找的结果，即势参数（Vo, ro）和已知的结合能 EB 的关系。由于涉及到的能 量值不同，因此还有可能做进一步的简化。我们已知 EB=2.23MeV，尽管势阱的深度未知，我们 有理由推断它比 EB 大一个量级 （下面将证实） 。 因此我们将在 Vo > EB 的条件下继续， 这样(5.8) 变为：
n + 1H → 2 H + γ (2.23MeV )
该反应的逆反应是利用一定能量的电子产生外部的轫致辐射从而在 H 上引发( γ , n)反应，这 2 已经得到应用。 H 除了基态以外，没有其它的稳定态。它在～2.30 MeV 能量上存在一个虚态。
2
需要强调的是学生应该牢记对于氢核(n, γ ) 的反应截面是 0.33 巴。尽管与当前散射问题 的讨论无关，但对于北美核能的开发却具有重要意义。水对中子的吸收很高，因此不能建造以 235 天然铀为燃料、轻水作为慢化剂的临界堆。美国采用的方法是浓缩天然铀使 U 的浓度达到 3% 235 （ U 的天然丰度是 0.07%） 。而加拿大则采用重水作为慢化剂，因为重水的中子吸收截面比轻 水低三个量级，使用重水作为慢化剂的反应堆利用天然铀即可达到临界条件。 利用氘核的数据，我们考虑将中子——质子的相互作用势简化为最简单的形式——球形势 阱。势由两个参数决定，阱深 Vo 和力程 ro 。
图 5.1 中子——质子散射问题中的球形势阱模型，通过选取适当的参数使得束缚态能量为 EB=2.23MeV。同样的势模型将用于计算中子在氢核中的散射截面。 我们现在考虑散射问题，任务是求解同一个径向波动方程的 s-波问题，只不过是 E>0 时的 解。它的内部和外部解有如下形式：
u( r ) = B sin( K ' r ), r < ro
σ (θ ) =
1 k2
3 2 ⎞ ⎛1 2 ⎜ sin δ os + sin δ ot ⎟ 4 ⎝4 ⎠
*
(5.22)
我们已经说过基态是 E=-EB 的三重态。如果单态产生一个 E=E 的虚态，那么(5.21)将变为：
σ≈
*
π =2 ⎛ 3
1 ⎞ + *⎟ ⎜ m ⎝ EB E ⎠
(5.23)
将 E 取值为～70 keV，从(5.23)可以计算出值为 20.4 巴，使理论与实验值一致。 实验结果已经给出上述两种类型的中子——质子散射（三重态和单态）的散射长度以及相 应势阱的力程和深度。 相互作用 中子–质子（三态） 中子–质子（单态） 散射长度 a[F] 5.4 -23.7 ro[F] 2 ~2.5 Vo[MeV] 36 18
k cot(δ o ) 。对于左侧项，相对于 K ' 中的 Vo，可以忽略 E。同时相对于 K 中的 Vo，可以忽略 EB。
于是 K ~ K ，由于(5.8)， 左侧项可设为等于 − κ 。注意这一系列的近似已经使我们可以利用 束缚态问题中的色散关系（5.8）来进行散射计算。因此，(5.14)可以写为：
(5.3)
其中 κ =
mE B / = 。对应的解为：
u( r ) = ae iKr + be − ikr , r < ro u( r ) = ce iκr + de − iκr , r > ro
(5.4) (5.5)
注意到波动方程在原点必须是有限的并且在无穷远处必须是保持有界的，因此可以去除四个积 分常数中的两个。这就允许我们将解写成如下形式：
22.54 中子与物质的相互作用及应用（2004 年春季） 第五讲（2004 年 2 月 19 日） 中子——质子散射
参考文献： M. A. Preston, Physics of the Nucleus (Addison–Wesley, Reading, 1962). E. Segre, Nuclei and Particles (W. A. Benjamin, New York, 1965), Chap. X. 我们在本讲继续讨论低能中子与氢核的散射问题，它的散射截面在很宽能量范围内的测量 结果都是 20.4 巴。我们的目的是将上一讲中讨论的势散射理论应用到这个问题中。我们很快就 会看到 s-波近似（低能时的反应条件）在中子能量为 1～1000eV 时是非常适用的。以方势阱来 表达 n－p 相互作用，我们考虑关于它的两个计算。氘核的束缚态问题，即波动方程在 E<0 时的 解，使我们可以对势阱的宽度和深度设置界限；而散射态的解，即 E>0 时的解则提供给我们相 移或者等价的散射长度。该计算得到的反应截面值 2.3 巴与实验值相去甚远。原因在于我们没 有考虑 n-p 反应的自旋相关特性。 中子和质子的自旋可以形成迥异的两种自旋组态——平行 （三 重态）或者反平行（单态）——都会对散射长度有影响。考虑到这些因素之后的计算值就会与 实验室相当接近。结论是 n-p 应是与自旋相关的，且氢核对于中子具有异常大的散射截面实际 上与核力在这一方面的特点有关。 氘核的束缚态 氘核是两种核子所能形成的唯一稳定束缚态。 换句话说， 双中子和双质子都是不稳定的 （由 于不相容原理） 。氘核是由于低能中子被氢核所俘获形成，该反应释放出能量为 2.23 MeV 的 γ：
σ = 4π = 2 / mEB ~ 2.3巴
这个结果比 H 的散射截面实验值 20.4 巴要小很多，如图 5.2 所示：
1
(5.21)
图 5.2 氢核散射截面实验值，在很大的能量范围内保持恒定值 20.4 巴。在能量低于～0.1 eV 时截面的升高可以解释为散射样品中化学结合效应的结果。 对于这个著名矛盾的解释是： 散射截面与自旋的相关性被忽略了。 E. P. Wigner 在 1933 年 提出中子——质子的散射问题会依赖于中子和质子的自旋是同向（三重态，总的自旋角动量是 = ）还是反向（单态，总自旋为 0） 。对于每一种形态，相互作用势都不同，因此相移也不同。 依照该思路，我们可以将(5.20)改写为：