优质课教学设计：等比数列的前n项和

课题：等比数列的前n项和

一、教材分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修5）》（北师大版）第一章第三节第一课时。从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

二、学情分析

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。

三、设计思想

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：

四、教学目标

1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。

3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。

五、教学重点与难点

重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

六、教学过程

（一）复习回顾

1、（提问）等比数列的定义？通项公式？性质？

2、（提问）等差数列前n项和公式是什么？

（二）创设问题情景

引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。]

学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出： 穷人30天借到的钱：4652

30

)301(3021'

30=⨯+=

+++= S （万元）

穷人需要还的钱：=++++=29

2302221 S ?

[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]

教师紧接着把如何求=++++=29

2302221 S ？的问题让学生探究：

292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到 302923022222++++= S ②

若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：

1073741823123030=-=S (分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元）

答案:穷人不能向富人借钱

（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

提出问题:如何推导等比数列前n 项和公式？（学生很自然地模仿以上方法推导）

学生A ：)1(112

12111--+++++=n n n q a q

a q a q a a S )2(111211n n n q a q a q a q a qS ++++=-

（1）-（2）有n

n q a a S q 11)1(-=-

学生B ：

1

12111--++++=n n n q a q a q a a s

()

()q

a qs a a s q a qs a q a q a a q a n n n n n n -+=-+=+=++++=--111121111 q

a a qs s n n n -=-∴1)1(11≠--=

∴q q

q

a a s n n

⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==1,11)1(1,

111q q q a a q q a q na S n n n

推导等比数列前n 项和n S 的公式，引导学生类比前面的特例完成以上推导课本上的推导方法后，

教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发言）

学生C ： q a a a a a a n n ====-1

2312

q a a a a a a n n =++++++∴-12132

即 q a s a s n n n =--1)

1(11≠--=∴q q q

a a s n n 。

[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！ 教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！ ] 【基础知识形成性练习】

1． 在公比为q 的等比数列}{n a 中 (1)若3

1,321==q a ，则=n S ________；

（2）若8,2,21===n q a ，则=n S ________； （3）若2

1

,2,81===n a q a ，则=n S ________； 2．判断正误：

（1）

1111+++124

22

n n =-（）

121c(1)

(4)1-n

n n c c c c c c

--++++=

(四)新知应用

例1、求等比数列 ,161

,

81,41,21的前8项的和．

变式1：求等比数列 ,16

1

,81,41,21的第6项到第10项的和．

例2、求数列)0(11

32≠+++++-a a a a a n 的前n 项和。

变式2：求

n x

x x 1

11x 132++++ 的值

[例1例2教师板演示范，强调解题的规范。变式1，变式2学生分析解法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。]

（2)2

1)

21(1)2(84211--⨯=-++-+--n

n

（3)2

1)

21(1222213

2

--⨯=+++++n n