选修2-2导数导学案

导数

§基本初等函数的导数、导数运算法则

一、公式

=/C （ ） =/

n x （ ） =/sin x （ ） =/cos x （ ）

=/x e （ ） =/ln x （ ） =/x a （ ） =/log x a （ ） 二、运算法则

()()[]=±/x g x f （ ）

()()[]=⋅/x g x f （ ）

()()/

⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f =（ ）

习题

1、求下列函数的导数

（1）41x

y = （2）/53x y = （3）x x y = （4）x x x y cos 32+=

（5）()()

x e x x y ++=22cos 1 （6）x e y x ln = （7）x e y x sin 2-=

2、对于任意的()()()=-==x f f x x f x 则,11,4,3/( )

3、设()n n n n n a x a x a x a x a x f +++++=---122110......，则()=0/f （ ）

三、复合函数的导数

设复合函数()()x g f y =，()()u f y u x g ==则,,=/y 。

1、求下列函数的导数

（1）()532+=x y （2）()3

23x y -= （3）()ϕπ+=x y sin

（4）()π-=x y 3cos 2 （5）x x x y 3cos 2sin += （6）x e y 23-=

（7）()

1ln 2+=x y

意义：曲线()()()00,x f x P x f y 在点=处的切线的斜率k= 。

补充知识点：⎩⎨⎧=⋅⇔⊥=⇔0//212

12121k k l l k k l l 1、求曲线()()()00,x f x P x f y 在点=处的切线方程----------点()()00,x f x P 在曲线上。

解：)(0/x f k =，直线的方程为： 。

2、求曲线()()()00,x f x P x f y 过点=的切线方程----------点 ()()00,x f x P 不一定在曲线上。 解：设切点为),(b a 则)(/

a f k =，

因为),(b a 在()x f y =上 所以⎩

⎨⎧-=-=))(()(0/0x x a f y y a f b 从而求出k

例1、（1）），（在点31-122

P x y +=处的切线方程。 （2）），（在点11132

3-+-=P x x y 处的切线方程。

例2、（1）求过点)1,1(P 的曲线3x y =的切线方程。

（2）求过点)2,1(P 的曲线13+=x y 的切线方程。

§1、2、2导数的应用----单调性

一、函数的单调性

（1）若)(0)(0/x f y x f =⇔>在区间[]b a ,是增函数

（2）若)(0)(0/x f y x f =⇔<在区间[]b a ,是增函数

题型一：求函数的单调区间

例1、求以下函数的单调区间

（1）1

1)(2-+=x x x f （2）x x x f 2)(-=

（3）x

x x f c os 2sin )(+= 题型二：已知单调性求参数的范围

知识点补充：恒成立问题⎩

⎨⎧≤⇒≤≥⇒≥)()()()(min max x f a x f a x f a x f a ，其中a 是参数为常数，x 为变量。

例2、已知函数[)∞+>+

=，在2),0(a x

a x y 上为增函数，求a 的取值范围。

例3、已知函数)()(2a x x x f -=

（1）若()x f y =在（2，3）上为增函数，则实数a 的取值范围。

（2）若()x f y =在（2，3）上为减函数，则实数a 的取值范围。

（3）若()x f y =在（2，3）上不单调，则实数a 的取值范围。

思考题1、已知ax x x f a -=>3)(,0在[)+∞,1上为增函数，则实数a 的取值范围。

思考题2、若()+∞,2为函数x

a x y -

=2的单调增区间，则实数a 的取值范围。

导数有关填空选择题-----构造函数

点拨：

1、()()()()x g x f x g x f //±可构造函数

3、()()x xf

x f /-可构造函数 例题

1、设函数()x f /

是奇函数()x f 的导函数，()时，当0,01>=-x f ()()0/<-x f x xf ，则使得()0>x f 成立的x 的取值范围

A 、()()1,01,⋃-∞-

B 、()()+∞⋃-,10,1

C 、()()0,11,-⋃-∞-

D 、()()+∞⋃,11,0

2、已知函数()x f y =是可导函数，当()()00/>+≠x x f x f

x 时，有,则函数()()x x xf x F 1+=的零点的个数

3、定义在⎪⎭

⎫ ⎝⎛2,0π上的函数()x f ，()x f /是他的导函数，且恒有()()0tan /<+x f x x f 则 A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭

⎫ ⎝⎛432ππf f B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛643ππf f C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛633ππf f D 、⎪⎭

⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛633ππf f 4、已知函数()x f y =是可导函数，且()x f ()x f

/<恒成立，则 A 、()()()()02014,0220142f e f f e f >> B 、()()()()02014,0220142f e f f e f ><

C 、()()()()02014,022014

2f e f f e f <> D 、()()()()02014,0220142f e f f e f << 题型三：讨论函数的单调性

例4、已知函数)1(),1ln()1()(-≥++-=a x a ax x f ，讨论)(x f 单调区间。

例5、已知R a ∈，)(x f ax e x ⋅=2讨论)(x f 单调区间。

例6、已知函数)(x f R a x a x

x ∈--

=,ln 1讨论)(x f 单调区间。

思考2、已知函数)(x f =)0(2ln 2

≠++a x x

a x a