线性代数简明教程 方小娟 科学出版社 第三章习题答案

9.解：（方法一） 解 方法一）
R( A) = R( B) = 1 R( AB) ≥ 1 R( AB) ≤ min{R( A), R( B)}
1 ≤ R( AB) ≤ 1 R( AB) = 1
1 2 AB = (1 2 L n ) M n −1 L 1 n n 2n 2(n − 1) L 2 = M M M M n n −1 L 1 n 2 n(n − 1) L n 0 L 0 0 ~ M M M M R( AB) = 1 0 0 L
R( A) = 3
k ≠1 k = −3
k −1 ≠ 0 2 k + 2 k − 3 = 0
或
k =1
k =3
2.证明： 证明： 证明 充分性
（ 证明） (⇐) 方法一参照书定理7证明）
假设 B : β1 , β 2 , L β r , 线性相关
λ1 , λ2 ,L λr , 使得 λ1β1 + λ2 β 2 + L + λr β r = ϑ
ε 1 , ε 2 Lε n 能由 α1 , α 2 Lα n 线性表出 定理） （定理） α1 , α 2 Lα n 能由 ε 1 , ε 2 Lε n 线性表出
α1 , α 2 Lα n 与 ε 1 , ε 2 Lε n 等价
R(α1 , α 2 Lα n ) = R(ε 1 , ε 2 Lε n ) = n
R( A) = 2
由于
β1 , β 2 是 β1 , β 2 , β 3 , β 4 的一个极大无关组
所以 α1 , α 2 是α1 , α 2 , α 3 , α 4 的一个极大无关组
13.解：令 解
a 2 1 2 (1) A = (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = 3 b 2 3 1 3 1 1 1 3 1 1 ~ 3 b 2 3 LL a 2 1 2
15.解： 解
(α1 , α 2 , α 3 )T = ( β1 , β 2 , β 3 )
AT = B
特别提示
−1 1 0 T = A−1 B = 2 − 1 2 0 1 − 1
A−1 ( AM E ) → ( E M A−1 ) (1) −1 A B (2)( AM E ) → ( E M A−1 B)
由于 a, b, c, d
均不为0 均不为
R(α1 , α 3 , α 4 , α 5 ) = 3
方法四） （*方法四）令 x1α1 + x2α 3 + x3α 4 + x4α 5 = ϑ 方法四
( x1 + ax3 )α1 + (bx3 + cx4 )α 2 + ( x2 + dx4 )α 3 = ϑ x1 + ax3 = 0 x1 = −ax3 b bx3 + cx4 = 0 x4 = − x3 x + dx = 0 c 4 2 x = bd x 2 c 3
0 1
3 2 5 t + 7 0 0
R( A) = 2
3−t = 0 t =3
12.解： 解
1 − 1 5 − 3 0 1 − 3 2 A = (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 行 ~ 0 0 0 0 0 0 0 0 = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 )
α1 , α 2 Lα n 线性无关 方法二） （方法二） ε 1 , ε 2 Lε n 能由 α1 , α 2 Lα n线性表出 n = R (ε 1 , ε 2 Lε n ) ≤ R (α1 , α 2 Lα n ) ≤ n R(α1 , α 2 Lα n ) = n （无关） 无关）
方法一） 8. （方法一）
−1 1 1 −1 ( β1 , β 2 , β 3 ) = (α1 , α 2 , α 3 ) − 1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 所以T是可逆的 T = 4 ≠ 0 所以 是可逆的 T = −1 1 1 1 −1 1
令
( β1 , β 2 , β 3 )T −1 = (α1 , α 2 , α 3 )
第三章
向量空间习题答案
1.设 v = (1,−1,1)T , v = (2,1,3)T , v = (2,1,3)T , 设 1 2 3 求 v1 − v2 , 及 3v1 − 2v2 + v3 . 解：
v1 − v2 = (1,−2,−1)T
3v1 − 2v2 + v3 = (5,−4,2)T
2.设 3(α1 − α ) + 2(α 2 + α ) = 5(α 3 + α ) 设
所以两组之间相互表出即等价 6.
1 0 − 2 0 (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) → 0 1 0 3 0 0 0 0
所以 α1 , α 2 , 是向量组的一个极大无关组 其余向量表示为 α 3 = −2α1 , α 4 = 3α 2
方法一） 7. （方法一） (已知 已知) 已知
方法二） （方法二）
α1 , α 2 , α 3 也可由 α1 , α 3 , α 4 , α 5 线性表出 α1 , α 2 , α 3 与 α1 , α 3 , α 4 , α 5 等价
R(α1 , α 3 , α 4 , α 5 ) = R(α1 , α 2 , α 3 ) = 3
1 0 0 a 0 （方法三） 方法三） 0 1 0 b c (α1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 ) ~ 0 0 1 0 d M M M M M 1 0 a 0 0 0 b c (α1 , α 3 , α 4 , α 5 ) ~ 0 1 0 d 1 a 0 0 M M M M 0 b 0 c ~ 0 0 1 d M M M M
a 1 (已知 α 4 = aα1 + bα 2 ⇒ α 2 = − α1 + α 4 已知) 已知 b b ac c α 5 = − α1 + dα 3 + α 4 b b R(α1 , α 3 , α 4 , α 5 ) < 4
再令 x1α1 + x2α 3 + x3α 4 = ϑ
x1α1 + x2α 3 + x3 (aα1 + bα 2 ) = ϑ ( x1 + ax3 )α1 + bx3α 2 + x2α 3 = ϑ
R( A) = 2
5 − b = 0 a − 2 = 0
b = 5 a = 2
14.证明： 证明： 证明
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1) A = A
2
A( A − E ) = O R( A) + R( A − E ) ≤ n
(2) R( A − E ) = R( E − A) R( A) + R( A − E ) = R( A) + R( E − A) ≥ R( A + E − A) = n R( A) + R( A − E ) = n
1 1 k 1 1− k 0 k −1 0 ~ 0 0 k −1 1− k 2 0 0 1− k 2 − k − k
1 1 k 1 1− k 0 k −1 0 ~ 0 0 k −1 1− k 0 0 0 3 − 2k − k 2
（方法二） 方法二）
10.解： 解
1 0 A行 ~ 0 0
1 −2 1 3 −3 1 0 0 0 0
2 1 1 − 3 3 0 0 4 0
R( A) = 3
所以A的一个最高阶非零子式为
2 −1 1 1 1 1 4 −6 −2
11.解： 解
2 0 3 1 2 1 1 0 − 4 − 4 −8 0 A~ ~ 0 t + 2 0 t +2 5 t+7 0 − 2 − 2 − 4 0 0 1 0 ~ 0 0 2 1 3 2 0 3 − t − t + 3 0 0 0 0 1
所以假设错误 。 所以 β1 , β 2 , L β r 线性无关。 线性无关。
（方法二） 方法二）
令 BX = ϑ
B = AK
AKX = ϑ
R( A) = s
R( K ) = r
KX = ϑ X =ϑ
B 组线性无关。 组线性无关。
必要性
(⇒)
（方法一） 方法一）
因为B组线性无关 因为A组线性无关
则存在一组不全为零的数
λ1 λ1 λ2 λ2 ( β1 , β 2 ,L β r ) = (α1 , α 2 Lα s )K = ϑ M M λ λ r r
设 K = (γ 1 , γ 2 Lγ r )
[
]
1 1 A~ 1 k
1.解： 解
复习题三
1 1 k 1 1 1 k k 1 1 0 k −1 0 1− k ~ 0 1 k 1 0 k −1 1− k 0 1− k 1− k 1− k 2 1 1 1
3α1 − 3α + 2α 2 + 2α = 5α 3 + 5α
3α1 + 2α 2 − 5α 3 = 5α + 3α − 2α = 6α 1 α = (3α1 + 2α 2 − 5α 3 ) = (1,2,3,4)T 6
3.判别下列向量组的线性相关性： 判别下列向量组的线性相关性： 判别下列向量组的线性相关性 方法一） （方法一）定义法 x 令： 1α1 + x2α 2 + x3α 3 = ϑ , 代入讨论 x1 , x2 , x3 解的情况 （方法二）求秩法 方法二）
Qα1 , α 2 , Lα s , 线性无关 λ1 λ2 ∴ (γ 1 , γ 2 Lγ r ) = ϑ M λ r Q λ1 , λ2 , L λs 不全为 ∴ γ 1 , γ 2 , Lγ s 线性相关 不全为0 矛盾。 这与 R( K ) = R(γ 1 , γ 2 Lγ r ) = r 矛盾。
(α1 , α 2 , α 3 ) →
行的阶梯形 是否等于3 求 R(α1 , α 2 , α 3 ) 是否等于
行变换
方法三） （方法三）行列式法 是否等于0 求 α1 , α 2 , α 3 是否等于
4.同书上例题，令 同书上例题， 同书上例题
x1b1 + x2b2 + x3b3 = ϑ ,
线性无关， 代入 b1 , b2 , b3 , 利用 α1 , α 2 , α 3 , 线性无关， 讨论 x1 , x2 , x3 , 是否全为0 是否全为 5.利用定义能相互表出即等价 利用定义能相互表出即等价
1 2 2 a (2) A = (α 3 , α 4 , α 2 , α1 ) = 2 3 b 3 1 1 3 1
2 a 1 2 ~ 0 − 1 b − 4 3 − 2a 0 −1 1 1− a
2 a 1 2 ~ 0 1 4 − b 2a − 3 0 0 5 − b a − 2
因为 α1 , α 2 , α 3 线性无关
x1 + ax3 = 0 bx3 = 0 x =0 2
x1 = 0 x2 = 0 x = 0 3
α1 , α 2 , α 4 线性无关
R(α1 , α 3 , α 4 , α 5 ) = 3
(1)α1 , α 3 , α 4 , α 5 一定可由 α1 , α 2 , α 3 线性表出 (2)α 2 = −aα1 + α 4 ,