非欧几何

• 晚年的罗巴切夫斯基心情更加沉重，他不仅在学术上受到压 制，而且在工作上还受到限制。按照当时俄国大学委员会的 条例，教授任职的最高期限是30年，依照这个条例，1846年 罗巴切夫斯基向人民教育部提出呈文，请求免去他在数学教 研室的工作，并推荐让位给他的学生A.Φ.波波夫。人民教育 部早就对不顺从他们意志办事的罗巴切夫斯基抱有成见，但 又找不到合适的机会免去他在喀山大学的校长职务。罗巴切 夫斯基辞去教授职务的申请正好被他们用以作为借口，不仅 免去了他主持教研室的工作，而且还违背他本人的意愿，免 去了他在喀山大学的所有职务。被迫离开终生热爱的大学工 作，使罗巴切夫斯基在精神上遭到严重打击。他对人民教育 部的这项无理决定，表示了极大的愤慨。
高斯建立非欧几何
• 高斯最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且 可以用来描述物质空间。
• 但高斯没有发表过任何有关非欧几何的文章，只在 跟朋友的一些通信中提及，他在给一位朋友的信中 说：“如果公布自己的这些发现，‘黄蜂就会围着 耳朵飞’，并会‘引起波哀提亚人的叫嚣’”。
1832年2月14日， 《绝对空间的科学》 其中论述的所谓 “绝对几何”就是非 欧几何。
• 宣讲论文后，罗巴切夫斯基诚恳地请与会者讨论，提出修 改意见。可是，谁也不肯作任何公开评论，会场上一片冷 漠。一个具有独创性的重大发现作出了，那些最先聆听到 发现者本人讲述发现内容的同行专家，却因思想上的守旧， 不仅没能理解这一发现的重要意义，反而采取了冷谈和轻 慢的态度，这实在是一件令人遗憾的事情。 • 会后，系学术委员会委托西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼 组成三人鉴定小组，对罗巴切夫斯基的论文作出书面鉴定。 他们的态度无疑是否定的，但又迟迟不肯写出书面意见， 以致最后连文稿也给弄丢了。
• 罗巴切夫斯基的首创性论文没能引起学术界 的注意和重视，论文本身也似石沉大海，不 知被遗弃何处。但他并没有因此灰心丧气， 而是顽强地继续独自探索新几何的奥秘。 • 1829年，他又撰写出一篇题为《几何学原理》 的论文。这篇论文重现了第一篇论文的基本 思想，并且有所补充和发展。此时，罗巴切 夫斯基已被推选为喀山大学校长，可能出自 对校长的“尊敬”，《喀山大学通报》全文 发表了这篇论文。
1766年，兰伯特:《平行线理论》
锐角？直角？钝角？
兰伯特四边形 兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾，而且他 认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种 可能的几何。因此，兰伯特最先指出了通过替换平行 公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。
高 斯 建 立 非 欧 几 何
高斯从1799年开始意 识到平行公设不能从 其他的欧几里得公理 推出来，并从1813年 起发展了这种平行公 设在其中不成立的新 几何。他起先称之为 “反欧几里得几何”， 后称“星空几何”， 最后改称为“非欧几 里得几何”，所以 “非欧几何”这个名 称正是来自高斯。 C. F. Gauss, 1777-1855
关于勇气、坚持和人性的故事
• 1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣读 了他的第一篇关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明 的摘要》。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。然而，这 一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对。 • 参加2月23日学术公议的全是数学造诣较深的专家，其中著名的数学家、 天文学家西蒙诺夫,有后来成为科学院院士的古普费尔以及后来在数学 界颇有声望的博拉斯曼。在这些人的心目中，罗巴切夫斯基是一位很有 才华的青年数学家。可是，出乎他们的意料，这位年轻的教授在简短的 开场白之后，接着说的全是一些令人莫明其妙的话，诸如三角形的内角 和小于两直角，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边 的垂线可以和另一边不相交，等等。这些命题不仅离奇古怪，与欧几里 得几何相冲突，而且还与人们的日常经验相背离。然而，报告者却认真 地、充满信心地指出，它们属于一种逻辑严谨的新几何，和欧几里得向 何有着同等的存在权利。这些古怪的语言，竟然出自一个头脑清楚、治 学严谨的数家教授之口，不能不使与会者们感到意外。他们先是表现现 一种疑惑和惊呆，不多一会儿，便流露出各种否定的表情。
Fra Baidu bibliotek
在非欧几何的三位发 明人中，罗巴切夫斯 基最早、最系统地发 表了自己的研究成果， 并且也最坚定地宣传 和捍卫自己的新思想。 “几何学中的哥白尼”
Н. И. Лобачевский 1792-1856
罗氏几何满足如下公理 • • • • •
π(α)
过两点可连一直线 直线可无限延长 以一点为中心任意长为半径可做一个圆 所有直角相等 过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行
2、 两条平行线被第三线所截，同位角相等．
3、在已知直线同侧与它有同样距离的点组成一直线． 4、从两平行线中一条上的点到另一线的距离都相等． 5、 三角形的内角和等于两直角． 6、 相似三角形存在．
7、 一直线的垂线和斜线总相交．
8、平面上存在一个内角和为平角的三角形． 9、勾股定理成立.
有意义的进展：萨凯里四边形
欧式几何 同一直线的垂线和斜线 相交。 垂直于同一直线的两条 直线或向平行。
存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三 点可以做且仅能做一个圆 。
罗式几何 同一直线的垂线和斜 线不一定相交。 垂直于同一直线的两 条直线，当两端延长的 时候，离散到无穷。 不存在相似的多边形 。 过不在同一直线上的 三点，不一定能做一个 圆。
罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波约是 一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言： 通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直 线与已知直线不相交。 作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新 几何学的定理。 罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾，因而 它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论， 这个理论就是一种新的几何学-——非欧几里得几何学。
J. Bolyai 1802-1860
F. Bolyai 1775-1856
• 波约让他的父亲把他的论文寄给高斯，想通过高斯 的评价将自己的研究结果公诸于世（当时高斯被称 为“数学王子”） • 但是高斯在回信中说：“称赞你儿子，就等于称赞 我自己。整篇文章的内容，所采取的思路和获得的 结果，与我在三十几年前的思考不谋而合。” • 波约大感失望，以为高斯想剽窃他的研究成果，特 别是1840年罗巴切夫斯基关于非欧几何的德文著 作出版后，更使波约灰心丧气，从此不再发表一篇 数学论文。
直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统 天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没 有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解 析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人 们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数 学严格性的典范始终保持着神圣的地位。
第五公设（平行公设）
• 第五公设：若一直线落在两直线上所 构成的同旁内角和小于两直角，那么 把两直线无限延长，它们将在同旁内 角和小于两直角的一侧相交。
“ 黎曼是一个富有想象的天才, 他的想法即使没有证明, 也鼓舞了 整整一个世纪的数学家.”
• 罗巴切夫斯基的非欧三角公式:
cot (a ) cot (c) sin A, sin A cos B sin (b), sin (c) sin ( a) sin (b).
r k

r k
罗巴切夫斯基
当罗巴切夫斯基一开 始公布他的这些新几 何学的定理时，的确 遭到了高斯所预料的 “波哀提亚人的叫 嚣”，面对种种攻击， 罗巴切夫斯基表现出 比高斯更有勇气．他 坚信自己是正确的， 他同时还坚信这种新 的几何终有一天“可 以像别的物理规律一 样用实验来验证”．
罗巴切夫斯基几何的其他结果
• 三角形三内角之和小于两直角，假 如三角形变大，使它的所有三条高 都无限增长，则它的三个内角全部 趋向于零； • 如果两个三角形的三个角相等，它 们就全等； • 不存在面积任意大的三角形； • 圆周长p不于半径r成正比，而是更 迅速地增长，并符合下面的公式：
p k (e e )
从几何原理中的家丑谈起 ——非欧几何简史
从一个地点出发向西10千米，再向北10千米， 最后向南10千米，你会在哪里？会回到起点吗？
当然，在欧氏平面上你是永远不会回到起点的 但在球面上就不一样。如果你在赤道某处向西 行进4分之一个圆周长，再向北行进4分之一个圆周 长（到达北极了），再向南行进同样长度，你就回 到起点了。
• 家庭的不幸格外增加了他的苦恼。他最喜欢的、很有才华 的大儿子因患肺结核医治无效死去，这使他十分伤感。他 的身体也变得越来越多病，眼睛逐渐失明，最后终于什么 也看不见了。1856年2月12日，伟大的学者罗巴切夫斯基 在苦闷和抑郁中走完了他生命的最后一段路程。喀山大学 师生为他举行了隆重的追悼会。在追悼会上，他的许多同 事和学生高度赞扬他在建设喀山大学、提高民族教育水平 和培养数学人材等方面的卓越功绩，可是谁也不提他的非 欧几何研究工作，因为此时，人们还普遍认为非欧几何纯 属“无稽之谈”。
对第五公设的证明
• 历史上第一个宣称证明了第五公设的是古 希腊天文学家托勒密（约公元150），后来 普洛克鲁斯指出托勒密的“证明”无意中 假定了过直线外一点只能作一条直线与已 知直线平行。
• 替代公设：过直线外一点有且只有一条直 线与已知直线平行。
平行公理的常见等价命题
1、 通过直线外一点只能引唯一直线和它平行．
• 历史是最公允的，因为它终将会对各种思想、观点和见解作出正确 的评价。1868年，意大利数学家贝特拉米（1835－1899）发表了 一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几 里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命 题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没 有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。人们既然承认欧几里是没有 矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。 • 直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意 和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高 度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
高斯的态度
• 在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯 基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的 另一位发现者德国的高斯（Gauss，1777－1855） 也不肯公开支持他的工作。 • 高斯是当时数学界首屈一指的学学巨匠，负有“欧 洲数学之王”的盛名，但是，高斯由于害怕新几何 会激起学术界的不满和社会的反对，会由此影响他 的尊严和荣誉，生前一直没敢把自己的这一重大发 现公之于世，只是谨慎地把部分成果写在日记和与 朋友的往来书信中。
1733年，意大利数学家萨凯里：《欧几里得无懈可击》 锐角？直角？钝角？
萨凯里四边形 锐角？三角形内角之和小于两直角；过给定直线外一 给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交；等等
无逻辑矛盾，但不合乎情理。
• 1763年，德国数学家克吕格尔（G.S.Klugel） 在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际 上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不 符的结论。克吕格尔是第一位对平行公设是 否可以由其它公设加以证明表示怀疑的数学 家。
• 当高斯看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何著作《平行线理论 的几何研究》（1840年）后，内心是矛盾的，他一方面私下 在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学家 之一”，并下决心学习俄语，以便直接阅读罗巴切夫斯基的 全部非欧几何著作；另一方面，却又不准朋友向外界泄露他 对非欧几何的有关告白，也从不以任何形式对罗巴切夫斯基 的非欧几何研究工作加以公开评论。他积极推选罗巴切夫斯 基为哥延根皇家科学院通讯院士，可是，在评选会上和他亲 笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中，他对罗巴切夫斯基在 数学上的最卓越贡献－－创立非欧几何却避而不谈。 • 高斯凭任在数学界的声望和影响，完全有可能减少罗巴切夫 斯基的压力，促进学术界对非欧几何的公认。然而，在顽固 的保守势力面前他却丧失了斗争的勇气。