圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧

圆锥曲线解题方法技巧
第一、知识储备： 1. 直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ 21
21
y y k x x -=
- ②点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离
d =
③夹角公式：直线111222
::l y k x b l y k x b =+=+ 夹角为α， 则21
21
tan 1k k k k α-=
+
（3）弦长公式
直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离
①AB =
②12AB x =
-=
③12AB y =- （4）两条直线的位置关系 （Ⅰ）
111222
::l y k x b l y k x b =+=+
①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且
（Ⅱ）
11112222:0:0
l A x B y C l A x B y C ++=++=
①1212120l l A A B B ⊥⇔+=
② 1212211221//0l l A B A B AC A C ⇔≠-=0且-或111
222
A B C A B C =≠者（2220A B C ≠） 两平行线距离公式
1122
::l y kx b l y kx b =+⎧⎨
=+⎩
距离d = 1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=⎧⎨++=⎩
距离d = 2、圆锥曲线方程及性质
1.圆锥曲线的两定义：
第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b
y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1
（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）
标准方程：22
1(0,0)x y m n m n m n
+
=>>≠且
2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ==
若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___
（答：
）
（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b
x a y -＝1（0,0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。

如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点
)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）
（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程1212
2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，
则m 的取值范围是__（答：)2
3
,1()1,(Y --∞）
（2）双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。

4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以122
22=+b
y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；
②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），
四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c
=±；
⑤离心率：c
e a
=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。

如（1）若椭圆1522=+m
y x 的离心率510
=
e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）
（2）双曲线（以22
221x y a b
-=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②
焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相
等时，称为等轴双曲线，其方程可设为2
2
,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c
=±；
⑤离心率：c
e a
=
，双曲线⇔1e >，等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b
y x a
=±。

双曲线的方程的形式有两种
标准方程：22
1(0)x y m n m n
+
=⋅<
距离式方程：|2a =
（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2
p
，
其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中
心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2
p x =-
； ⑤离心率：c
e a =，抛物线⇔1e =。

如设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________（答：)161,0(a
）；
5、点00(,)P x y 和椭圆122
22=+b
y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外
⇔22
00
221x y a b +>；
（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200
221x y a b
+< 6.记住焦半径公式：
（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左加右减，上
加下减”。

（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22
p p
x x y +
+抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 7.椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备
1、点差法（中点弦问题） 设
()
11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13
42
2=+y x 的弦AB 中点则有 1342
12
1=+y x ，1342
22
2=+y x ；两式相减得(
)()03
4
2
2
2
1
2
2
21=-+-y y
x x
⇒
()()
()()
3
4
21212121y y y y x x x x +--
=+-⇒AB k =b
a 43-
2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？
如果有两个参数怎么办？
设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使
用判别式0∆≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点
1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消
元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。

若有向量的关系，则寻找坐标之间的关
系，根与系数的关系结合消元处理。

一旦设直线为y kx b =+，就意味着k 存在。

例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.
分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。

第二问抓住角A 为090可得出AB ⊥AC ，从而得
016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程；
解：（1）设B （1x ,1y ）,C(2x ,2
y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有
116
20,116202
2
222121=+=+y x y x 两式作差有
16)
)((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04
500=+k
y x (1) F(2,0)为三角形重心，所以由2321=+x x ，得30=x ，由03
4
21=++y y 得20-=y ，代入（1）得5
6
=
k 直线BC 的方程为02856=--y x
2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x （2）
设直线BC 方程为8054,22=++=y x b kx y 代入，得080510)54(222=-+++b bkx x k
2
215410k
kb
x x +-=+，222154805k b x x +-= 22
22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得
054163292
2=+--k b b ，解得)(4舍=b 或9
4
-=b 直线过定点（0，)9
4
-，设D （x,y ），则
1494
-=-⨯+
x
y x y ，即016329922=--+y x y
所以所求点D 的轨迹方程是)4()9
20
()916(222≠=-+y y x 。

4、设而不求法
例2、如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当4
3
3
2≤
≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。

分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。

建立直角坐标系xOy ，如图，若设
C ⎪⎭
⎫
⎝⎛h c , 2，代入12222=-b y a x ，求得h =L ，进而求得,,E E x y ==L L 再代入12222=-b y a x ，
建立目标函数(,,,)0f a b c λ=，整理(,)0f e λ=，此运算量可见是难上加难.我们对h 可采取设而不求的解题策略,
建立目标函数(,,,)0f a b c λ=，整理(,)0f e λ=,化繁为简.
解法一：如图，以AB 为垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称
依题意，记A ()0 ,c -，C ⎪⎭⎫
⎝⎛h c , 2
，E ()00 ,y x ，其中||2
1
AB c =
为双曲线的半焦距，h 是梯形的高，由定比分点坐标公式得
()()122120+-=++-=λλλλ
c c c x ， λλ+=10h y 设双曲线的方程为12222=-b
y a x ，则离心率a c
e =
由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和a
c
e =
代入双曲线方程得
142
2
2=-b h e ， ① 1112422
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b
h e λλλλ ②
由①式得 142
22-=e b
h ， ③
将③式代入②式，整理得
()λλ21444
2
+=-e ，
故 13
12+-=e λ
由题设43
32≤≤λ得，4
3231322≤+-≤e
解得 107≤≤e
所以双曲线的离心率的取值范围为[]
10 , 7
分析：考虑,AE AC 为焦半径,可用焦半径公式, ,AE AC 用,E C 的横坐标表示，回避h 的计算, 达到设而不求的解题策略．
解法二：建系同解法一，(),E C AE a ex AC a ex =-+=+，
()()22121E c
c c x λλλλ-+-==++，又1AE AC λλ
=
+，代入整理1312+-=e λ，由题设4332≤≤λ得，4
3
23132
2≤
+-
≤e 解得
107≤≤e
所以双曲线的离心率的取值范围为[]
10 , 7 5、判别式法
例3已知双曲线12
2
:2
2
=-x y C ，直线l 过点()
0,2A ，斜率为k ，当10<<k 时，双曲
线的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时点B 的坐标。

分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B 作与l 平行的直线，必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0=∆. 由此出发，可设计如下解题思路：
l 的距离为
2
解题过程略.
分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B 到直线l 的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：
M 到直线l 的距离为：
()*
于是，问题即可转化为如上关于x 的方程. 由于10<<k ，所以kx x x >>+22，从而有
.222222k x kx k x kx +++-=-+-
于是关于x 的方程()*
⇔)1(22222+=+++-k k x kx ⇔
()
⎪⎩⎪⎨
⎧>+-++-+=+0
2)1(2,
)2)1(2(22
2222kx k k kx k k x ⇔()
()()
⎪⎩⎪⎨
⎧
>+-+=--++
-++-.
02)1(2,022)1(22)1(2212
2
2
222
kx k k k k
x k k k x k
由10<<k 可知：
方程()()()
022)1(22)1(2212
2
222=--++
-++-k k
x k k k x k 的二根同正，故
02)1(22>+-+kx k k 恒成立，于是()*等价于
()
(
)()
022)1(22)1(2212
2
2
2
2
=--++
-++-k k
x k k k x k
.
由如上关于x 的方程有唯一解，得其判别式0=∆，就可解得 5
5
2=
k . 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
例4已知椭圆C:x y 2228+=和点P （4，1），过P 作直线交椭圆于A 、B 两点，在线
段AB 上取点Q ，使AP PB AQ
QB
=-，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程. 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。

其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点),(y x Q 的变化是由直线AB 的变化引起的，自然可选择直线AB 的斜率k 作为参数，如何将y x ,与k 联系起来？一方面利用点Q 在直线AB 上；另一方面就是运用题目条件：
AP PB AQ
QB =-来转化.由A 、B 、P 、Q 四点共线，不难得到)
(82)(4B A B A B A x x x x x x x +--+=，要建立x 与k 的关系，只需将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.
在得到()k f x =之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于y x ,的方程（不含k ），则可由1)4(+-=x k y 解得4
1
--=x y k ，直接代入()k f x =即可得到轨迹方程。

从而简化消去参的过程。

简解：设()),(),(,,2211y x Q y x B y x A ，，则由
QB
AQ
PB AP -
=可得：x x x x x x --=--212144， 解之得：)
(82)(4212
121x x x x x x x +--+=
（1）
设直线AB 的方程为：1)4(+-=x k y ，代入椭圆C 的方程，消去y 得出关于 x 的一元二次方程：
()
08)41(2)41(412222
=--+-++k x k k x k
（2）
∴
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+--=+-=+.128)41(2,12)14(422
21221k k x x k k k x x 代入（1），化简得：.2
34++=k k x (3)
与1)4(+-=x k y 联立，消去k 得：().0)4(42=--+x y x 在（2）中，由02464642>++-=∆k k ，解得
4
10
24102+<<-k ，结合（3）可求得
.
9
10216910216+<<-x 故知点Q 的轨迹方程为：042=-+y x （9
102169
10216+<<-x ）.
点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去
参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
6、求根公式法
例5设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22
94
1+=顺次交于A 、B 两点，试求
AP PB 的取值范围.
分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB
=B
A x x -，但从此后却一筹莫展, 问题的
根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
分析1: 从第一条想法入手，
AP PB =B
A x x
-已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的
斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
简解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得
5
1
-=PB AP ; 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k
解之得 .4
95
9627222
,1+-±-=k k k x
因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.
当0>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4
959627222+---=
k k k x ， 所以 21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =2
5
929181k -+-
.
由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得 9
52≥k ， 所以 5
1
5
92918112
-<-+-≤-k
，综上 5
11-≤≤-PB
AP .
分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等
的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于
2
1x x PB AP
-=不是关于21,x x 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,x x 的对称关系式.
简解2：设直线l
y 得
（*）
则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x 令
λ=21
x x ，则，.
20
453242122+=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0≥∆可得 9
5
2≥
k ， 从而有 536
204532442
2≤+≤k k ，所以 536214≤++≤λλ，解得 551≤≤λ. 结合10≤<λ得
151
≤≤λ. 综上，51
1-≤≤-PB AP .
点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.
第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。

以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。

在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。

通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。

例6椭圆长轴端点为B A ,，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1=⋅
，
1=．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于Q P ,两点，问：是否存在直线l ，使点
F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。

思维流程：
（Ⅱ）
消元
解题过程：
（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,则1c =
又∵1=⋅FB AF 即 22()()1a c a c a c +⋅-==-，∴22a =
故椭圆方程为2
212
x y += （Ⅱ）假设存在直线l 交椭圆于Q P ,两点，且F 恰为PQM ∆的垂心，则
设1122(,),(,)P x y Q x y ，∵(0,1),(1,0)M F ，故1=PQ k ，
于是设直线l 为 y x m =+，由22
22y x m x y =+⎧⎨+=⎩
得，22
34220x mx m ++-= ∵12210(1)(1)MP FQ x x y y ⋅==-+-u u u r u u u r
又(1,2)i i y x m i =+=
得1221(1)()(1)0x x x
m x m -+++-=
即
212122()(
1)0x x x x m m m +
+-+-= 由韦达定理得
222242(
1)033
m m m
m m -⋅-
-+-=
解得43m =-
或1m =
（舍） 经检验4
3
m =-符合条件． 点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．
例7、已知椭圆E 的中心在坐标原点，
焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A -、(2,0)B 、
31,2C ⎛⎫
⎪⎝⎭
三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程：
（Ⅱ）若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点，(1,0),(1,0)F H -，当ΔDFH 内切圆的面积最大时，求ΔDFH 内心的坐标；
思维流程：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
解题过程： （Ⅰ）设椭圆方程为122=+ny mx ()0,0>>n m ，将(2,0)A -、(2,0)B 、
3
(1,)2
C 代入椭圆E 的方程，得
41,
9
14
m m n =⎧⎪
⎨+=⎪⎩解得11,43m n ==.∴椭圆E 的方程22143x y += ．
（Ⅱ）||2FH =，设ΔDFH 边上的高为h h S DFH =⨯⨯=
∆22
1
当点D 在椭圆的上顶点时，h
，所以DFH S ∆
设ΔDFH 的内切圆的半径为R ，因为ΔDFH 的周长为定值6．所以，62
1
⨯=∆R S DFH 所以R
.
点石成金：的内切圆的内切圆的周长∆∆⨯∆⨯=
r S 2
1
例8、已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.
（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是1
2
-，求直线AB 的方程；
（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 思维流程：
（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+， 将(1)y k x =+代入5322=+y x ， 消去y 整理得 2222(31)6350.k x k x k +++-=
设1122() () A x y B x y ，，
，， 则4222
122364(31)(35)0 (1)
6. (2)
31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩
， 由线段AB 中点的横坐标是1
2-， 得2122312312x x k k +=-=-+，
解得k =符合题意。

所以直线AB 的方程为
10x +=，或
10x +=. （Ⅱ）解：假设在x 轴上存在点(,0)M m ，使MB MA ⋅为常数.
① 当直线AB 与x 轴不垂直时，由（Ⅰ）知 22121222635
. (3)3131
k k x x x x k k -+=-=++，
所以212121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+++u u u r u u u r
22221212(1)()().k x x k m x x k m =++-+++将(3)代入，整理得
2
2
2222114(2)(31)2(61)5333131
m k m m k MA MB m m k k -+----⋅=+=
+++u u u r u u u r 2216142.33(31)m m m k +=+--+ 注意到⋅是与k 无关的常数， 从而有7
61403m m +==-，， 此时4.9
MA MB ⋅=u u u r u u u r
② 当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A B ，
的坐标分别为11⎛
⎛--- ⎝
⎝、，，当
7
3m =-时， 亦有4.9
MA MB ⋅=u u u r u u u r
综上，在x 轴上存在定点703M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，使⋅为常数. 点石成金：2
2
2222
114(2)(31)2(61)5
333131
m k m m k MA MB m m k k -+----⋅=+=+++u u u r u u u r 221614
2.33(31)
m m m k +=+--
+ 例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程：
解：（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b
y a x
则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=28
11
4222
22
b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y x （Ⅱ）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m 又K OM =
21 m x y l +=∴2
1
的方程为： 由042212821222
2=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，
,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m 且解得
（Ⅲ）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可 设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且 则2
1
,21222111--=--=
x y k x y k 由可得042222=-++m mx x
42,222121-=-++m x x m x x
而)
2)(2()
2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=
+x x x y x y x y x y k k )2)(2()1(4)2)(2(42)
2)(2()
1(4))(2()2)(2()
2)(121
()2)(12
1(212212*********------+-=
----+++=
----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x
)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.
点石成金：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形⇔021=+k k
例10、已知双曲线122
22=-b
y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距
离是
.2
3
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 思维流程： 解：∵（1）
,3
3
2=a c 原点到直线
AB ：1=-b
y a
x 的距离
.
3,1.23
2
2=
=∴==+=
a b c ab b a ab d .
故所求双曲线方程为
.13
22
=-y x （2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则
.
11,315
531152002002
210k
x y k k kx y k k x x x BE
-=+=-=+=⋅-=+= ,000=++∴k ky x
即7,0,0315311522
2=∴≠=+-+-k k k k
k k k 又 故所求k=±7.
点石成金: C ，D 都在以B 为圆心的圆上⇔BC=BD ⇔BE ⊥CD;
例11、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（II ）若直线:l y =k x +m 与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB
为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
思维流程：
解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
由已知得：31a c a c +=-=，，
222
213
a c
b a
c ==∴=-=，，
∴椭圆的标准方程为22
143x y +=． （II ）设1122()()A x y B x y ，，，．
联立22 1.4
3y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，
得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则
222222122
21226416(34)(3)03408344(3)
.34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧
⎪∆=-+->+->⎪⎪
+=-⎨+⎪
⎪-=
⎪+⎩
，即，， 又222
2
121212122
3(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k
-=++=+++=+． 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，
1AD BD k k ∴=-，即
12
222
11-=-⋅-x y x y . 1212122()40y y x x x x ∴+-++=． 222222
3(4)4(3)1540343434m k m mk k k k
--∴+++=+++． 2271640m mk k ∴++=． 解得：12227
k
m k m =-=-
，，且均满足22340k m +->． 当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-
时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫
⎪⎝⎭
，
．
所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． 点石成金：以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点⇔ CA ⊥CB;
例12、已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右两个焦点分别为21F F 、,点P 在双曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P 的坐标为)5
16,5413(时,21PF PF ⊥,求双曲线的方程； （Ⅱ）若||3||21PF PF =,求双曲线离心率e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 思维流程：
解：（Ⅰ）(法一)由题意知,1PF )516,5413(---=c , 2PF )5
16,5413(--=c , Θ21PF PF ⊥,,021=⋅∴PF PF )5413(--∴c 0)5
16()5413(2=-+-c （1分） 解得 5,252=∴=c c . 由双曲线定义得: ,2||||21a PF PF =- 2
222)516()54135()516()54135(2-+---+--=∴a 6)341()341(22=--+=,
4,3==∴b a
∴所求双曲线的方程为: 116
92
2=-y x (法二) 因21PF PF ⊥,由斜率之积为1-,可得解. （Ⅱ）设2211||,||r PF r PF ==,
(法一)设P 的坐标为),(οοy x , 由焦半径公式得
a ex ex a r ex a ex a r -=-=+=+=οοοο||,||21,c
a x a ex ex a r r 2
212),(3,3=∴-=+∴=οοοΘ,,2,2
a c
a a x ≥∴≥οΘc a ≥∴2， e ∴的最大值为2,无最小值. 此时31,222
2=-=-==e a
a c a
b a
c , ∴此时双曲线的渐进线方程为x y 3±= (法二)设θ=∠21PF F ,],0(πθ∈.
(1)当πθ=时, 22121423,2r c r r c r r =∴==+，
且Θ, 22122r r r a =-= 此时 224222
2===r r a c e .
(2)当）
，（πθ0∈,由余弦定理得: θθcos 610cos 2222222122212r r r r r r c -=-+=）（∴ 2
cos 6102cos 6102222θθ-=-⋅==r r a c e , )1,1(cos -∈θΘ,)2,1(∈∴e ,综上,e 的最大值为2,但e 无最小值. (以下法一)。