微元法的探究及其应用论文完整版
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设想有一个函数 , 所求量 可以表示为: ，然后实际进行以下三步:
第一步：取 , 并确定它的变化区间 ;
第二步：设想把 分成许多个小区间, 取其中任一个小区间 , 相应于这个小区间的部分量 能近似地表示为 与 的乘积),就把 称为量 的微元并记作 , 即:
第三步：在区间 上积分, 得到
这里的关键和难点是求 ,在解决具体问题时本着 是 的线性主部的原则,这样计算的 为精确值.
例3计算由抛物线 与直线 所围成的平面图形的面积.
解：如图,抛物线与直线的交点 , ,
它的变化范围是 ,在其上任取子区间 ，则得面积微元 ,于是面积:
图1
若选横坐标x为积分变量,它的变化范围为 ,在 上,
面积微元 ,在 上,面积微元 ,因而面积:
这里选取 为积分变量,计算过程简便一些.
微元法在物理学中的应用
一般情况下,应用问题的变化是非均匀的,但在局部变化的一瞬间,改变量可近似地看成是均匀变化的,这一瞬间的改变量往往正是 .但注意,用 近似代替 时,要求误差是 的高阶无穷,即上述（3）的 成立.对某些特殊问题,凭借直观图形得出的 有时是错误的,所以使用微元法应注意.这里,检验 是否为 的高阶无穷小量就是一件极为重要的事情,同时往往也不是一件容易的事,因此对 的合理性需特别的小心.下面就这个问题作出简单的探讨:
在任一小区间 ,若能够把所求量 的微小增量 近似表示为 的线性形式：
其中 为某一连续函数,而当 时, ,这样以来,我们只要把定积分 计算出来，就是所求量 的结果.但是，我们不禁会问 时，为什么有 ，明白这个问题，对微元法加深理解是很有用处的.这里就给出简单的证明：
因为 ，所以：
再根据积分第一中值定理可得:
4.微元的应用……………………………………………………………………5
微元在几何中的应用………………………………………………………5
4.1.1平面曲线弧长的计算……………………………………………5
4.1.2曲面面积的计算……………………………………………………5
微元法在物理学中的应用………………………………………………6
4
对平面曲线弧长的计算,我们采取的方法就是把所给的平面曲线无线切割,切成无限个小段,这些小段可以形象称为“微元”,然后采取微元积分法就可以将复杂问题简单化了.
例2求曲线 的弧长.
解：由弧长公式：
4.1.2曲面面积的计算
在平面图形的面积计算过程当中,对图形进行适当的分割有时是必要的.我们所求面积的图形就好比一块大蛋糕,必要的时候,我们就得拿起小刀,对这块“蛋糕”进行分割,把它切割成符合我们要求的形状,然后再求出每小块“蛋糕”的面积,最后把它们加起来就是整块“蛋糕”的面积了.类似于求平面曲线弧长的方法,对所给的图形面积进行无限切割,得到无数个小块,就是面积微元.同样的,采取微元积分法就可以求解.
其中 是介于 与 之间的常量,则：
因为 是连续的,所以：当 时,有 ,从而有 也就是： ,故 ,问题得证.
我们在数学分析课本求旋转曲面面积的时就对 验证过程做了详细说明,这里就不做详细的介绍.所以,用微元法求解问题时,对 的验证,我们必须要引起足够的重视.
3.
微元法实质是把求累加量问题转化为定积分计算的简化,它省却了分微段、近似求和等过程,直接由微元累积导出积分.微元法是指通过从分析事物的极小部分入手,达到使事物的整体问题得以解决的一种方法.运用微元法,在一定的条件下可以把变化的、运动的、物理规律不适用的整体对象或整体过程转化为不变的、静止的、物理规律适用的元对象或元过程,即变为理想的对象或过程.微元法可以是把研究物体取微元部分进行分析,也可以是把研究过程取微元阶段进行分析.微元法的基本数学工具是有关近似、极限、数列知识以及几何、三角中的知识.因此，微元法的集体步骤，简而言之就是分割、近似代替、求和、取极限求积分.具体操作就是：
2.
一般地,若某一实际问题中的所求量 符合下列条件,便可以考虑用定积分来表示这个量 .
（1） 是与一个变量的变化区间 有关的量;
（2） 对于区间 具有可加性,就是说如果把区间 分成许多部分区间, 相应地分成许多部分量, 等于所有部分量之和;
（3） 在 中任一微小区间 上的分量 ,误差是 的高阶无穷小量,即当 时, .那么就可以考虑通过微元法用定积分来表示这个量.
（ ）
5.微元法在其他方面的应用
微元法在数学其他领域也有其广泛应用,甚至在经济、化工、医学、生物等领域都有它的广泛应用,如人口统计、心脏输出量的测定、单位时间内的血流量、化学反应物的生成、生物群落的量的计算等等.下面举出三个方面来进行讨论.
算术平均值的求法
设函数 在闭区间 上连续,将 分成 等份,设等分点依次为: ,，当 足够大,每个小区间的长 就足够小,于是可用 近似代替小区间 上各点的函数值, .于是, 在区间 的近似平均值为:
最后，要感谢我的导师黄封林老师，在他的严格要求和悉心指导下，我终于顺利完成了本论文.他不辞辛劳的一再对我的初稿提出批评和修改意见，他严谨的治学精神使我受益颇深，一丝不苟的工作态度是我学习的榜样.没有黄老师的关怀、指导就没有本文的完成，在这里再次表示衷心的感谢.
参考文献
[1]丁晓庆.工科数学分析(下)[M].科学出版社.2004．
如果 是常力,则使得物体由 点到 点时,所作的功为： ；一般如果 是变力,设为 ,考虑物体在此力的作用下由 点到 点时所作的功.
⑴积分变量 ;
⑵ ，功的微元为 ;图3
⑶ .
例5将一弹簧平放,一端固定,已知将弹簧拉长10厘米用力需要5 牛顿.问若将弹簧拉长15厘米,克服弹性力所作的功是多少?
解:当弹簧被拉长为 米时,弹性力为 ,从而所使用的外力为 ；由于 米时, （N）,故 ,即 ,所作功为：
（1）若导体棒在大小为 ,沿初速度方向的恒定拉力作用下运动,到达 位置时的速度为 ,求在此运动的过程中电路产生的焦耳热．
（2）若导体棒在水平拉力作用下向右做匀速运动,求导体棒运动到 位置的过程中,水平拉力做的功和电路中电流的有效值．图2
（3）若导体棒向右运动的过程中不受拉力作用,求运动到 位置时的速度大小．
4.2.1电磁感应中的应用
例4如图所示,六段相互平行的金属导轨在同一水平面内,长度分别为 和 ,宽间距的导轨间相距均为 、窄间距的导轨间相距均为 ，最左端用导线连接阻值为 的电阻,各段导轨间均用导线连接,整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为 的匀强磁场中．质量为 的导体棒可在各段导轨上无摩擦地滑动,在滑动过程中保持与导轨垂直．导轨和导体棒电阻均忽略不计．现使导体棒从 位置以初速度 垂直于导轨向右运动,则
因此,在 内总产量为: .
日常生活中的应用
例8（人口统计模型）某城市1990年的人口密度近似为 表示距市中心 公里区域内的人口数,单位为每平方公里10万人.试求距市中心 区域内的人口数.
解:假设我们从城市中心画一条射线,把这条线上从0到2之间分成 个小区间,每个小区间的长度为 .每个小区间确定了一个环,估算每个环中的人口数并把它们相加,就得到了总人口数.第 个环的面积为:
日常生活的应用……………………………………………………9
参考文献…………………………………………………………………………11
微元法的探究及其应用
学生姓名：胡锦波学号：
数学与计算机科学系数学与应用数学专业
指导老师：黄封林职称：讲师
摘 要:微元法是处理微积分问题的重要方法,微元法的使用使原本复杂的积分问题变得容易处理.本文将给出微元法的原理、使用方法及使用条件,使对微元法有更深刻的认识,然后介绍微元法在几何学、物理上的应用,解决一些具体的实际问题,并研究如何使用微元法更加简单、高效.
解析：（1）
（2）
重点讨论第（3）题
（3）设导体棒在每段宽间距和窄间距轨道上运动速度变化的大小分别为 和 ，在宽间距轨道上，根据牛顿第二定律,在 时间内有 ，则 ,∑ ,
同理有:
所以导体棒运动到 位置时的速度大小
4.2.2变力作功问题
设力与物体的运动方向平行,约定：
⑴以物体的运动方向为坐标轴的正向；⑵ 与坐标轴方向一致时为正,相反时为负.
当 时， 的极限就是 在 的平均值.据此,以及定积分的定义,得:
例6计算从0秒到 秒这段时间内自由落体的平均速度.
解:自由落体的速度为 ,所以要计算的平均速度为:
经济上的应用
例7已知某厂生产某产品在时刻 的总产量的变化率:
(单位/小时)
求从 到 这四个小总产量.
解:设总产量为 ,已知在时刻时总产量的变化率为 ,它随时间 变化,则总产量 在 内的微元 为:
微元法的应用是微积分思想在解决物理问题的应用和体现,在力学、热学和电磁学中的应用尤多.微元法的思想是:对于复杂的物理对象,要化整体到局部,将不能解决的问题转化为可解决问题的集合.在一定的条件下可以把变化的、运动的、物理规律不适用的整体对象或整体过程转化为不变的、静止的、物理规律适用的元对象或元过程,即变为理想的对象或过程。即将事件过程经历的空间或时间分割为无限小的空间或时间的集合,这个分割的过程即是微分的应用.在每个无限小范围内,是可以将非线性视为线性,将非理想视为理想的,从而可以顺利的在小范围内解决问题.将所有的小范围内的问题都解决掉后，再把全部结果累积叠加,就得到了问题结论,这个积累的过程就是积分.
明确了微元法的实质,求解步骤以及应该注意的问题,用微元法求解问题就变得方便多了.下面给出实例.
例1求曲线 与区间 所围的面积.
分析：因 在 上连续,所以 在 可积.对 进行 等分,记其分割为 取 为区间 的右端点， 然后求极限或取积分即可求解.
解：所求面积：
.
4
微元法在几何中的应用
我们在计算某些几何图形
Abstract……………………………………………………………………………1
KeyWords……………………………………………………………………1
1.微元理论………………………………………………………………………1
2.利用微元的一般条件…………………………………………………………2
3.微元法的解题步骤……………………………………………………………4
4.2.1电磁感应中的应用……………………………………………………6
4.2.2变力做功的问题……………………………………………………7
5.微元法在其他方面的应用…………………………………………………8
算数平均值的求法……………………………………………………8
经济上的应用……………………………………………………9
于是此环面积的线性主部为 .
在第 个环内,人口密度可看成常数,所以此环内的人口数近似为 ，即得微元 .故人口数:
结束语:
微元分析法帮助我们建立了各种纷繁复杂的实际问题的数学模型.它伴随着微积分的产生而产生的,随着数学对微积分研究的不断深入,微元法在积分学中的地位势必会越来越重要.所以，学好微元法，利用好微元,熟练掌握这一重要数学思想方法，对于数学的研究无疑是起了重大的推动作用，关于这一点，在我们的数学教学和研究工作中必须予以足够的重视.
微元法的探究及其应用论文
学号：
信阳师范学院华锐学院
本科毕业论文
专 业数学计算机科学系
年 级2008级
姓 名胡锦波
论文题目微元法的探究及其应用
指导教师黄封林职称讲师
2012年5月5日
摘要…………………………………………………………………………………1
关键词……………………………………………………………………………1
关键词:定积分;微Βιβλιοθήκη Baidu法;弧长;面积;功.
Abstract
KeyWords:Definite integral;Micro-element method;Arc lengths;Area;Power.
1.
应用定积分解决实际问题时
设函数 在 上有界,若 对任意分法 ,令任取 ,只要 时, 趋于确定的值 ,则称此极限值 为函数 在区间 上的定积分,记作 ,即 ,此时称 在 上可积.计算曲边梯形面积的具体步骤:
1）分割
在区间 中任意插入 个分点, ,用直线 将曲边梯形分成 个小曲边梯形;
2）局部近似
在第 个窄曲边梯形上任取 ,作以 为底,以 为高的窄矩形,并以此窄矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积 ,得 .
3）求和:
4）取极限
令 ,则有:
我们可以发现上述操作过程来得较为繁琐,我们就是要把上述复杂的问题通过微元法转化为求定积分的问题,这样问题就变得极其简单.
第一步：取 , 并确定它的变化区间 ;
第二步：设想把 分成许多个小区间, 取其中任一个小区间 , 相应于这个小区间的部分量 能近似地表示为 与 的乘积),就把 称为量 的微元并记作 , 即:
第三步：在区间 上积分, 得到
这里的关键和难点是求 ,在解决具体问题时本着 是 的线性主部的原则,这样计算的 为精确值.
例3计算由抛物线 与直线 所围成的平面图形的面积.
解：如图,抛物线与直线的交点 , ,
它的变化范围是 ,在其上任取子区间 ，则得面积微元 ,于是面积:
图1
若选横坐标x为积分变量,它的变化范围为 ,在 上,
面积微元 ,在 上,面积微元 ,因而面积:
这里选取 为积分变量,计算过程简便一些.
微元法在物理学中的应用
一般情况下,应用问题的变化是非均匀的,但在局部变化的一瞬间,改变量可近似地看成是均匀变化的,这一瞬间的改变量往往正是 .但注意,用 近似代替 时,要求误差是 的高阶无穷,即上述（3）的 成立.对某些特殊问题,凭借直观图形得出的 有时是错误的,所以使用微元法应注意.这里,检验 是否为 的高阶无穷小量就是一件极为重要的事情,同时往往也不是一件容易的事,因此对 的合理性需特别的小心.下面就这个问题作出简单的探讨:
在任一小区间 ,若能够把所求量 的微小增量 近似表示为 的线性形式：
其中 为某一连续函数,而当 时, ,这样以来,我们只要把定积分 计算出来，就是所求量 的结果.但是，我们不禁会问 时，为什么有 ，明白这个问题，对微元法加深理解是很有用处的.这里就给出简单的证明：
因为 ，所以：
再根据积分第一中值定理可得:
4.微元的应用……………………………………………………………………5
微元在几何中的应用………………………………………………………5
4.1.1平面曲线弧长的计算……………………………………………5
4.1.2曲面面积的计算……………………………………………………5
微元法在物理学中的应用………………………………………………6
4
对平面曲线弧长的计算,我们采取的方法就是把所给的平面曲线无线切割,切成无限个小段,这些小段可以形象称为“微元”,然后采取微元积分法就可以将复杂问题简单化了.
例2求曲线 的弧长.
解：由弧长公式：
4.1.2曲面面积的计算
在平面图形的面积计算过程当中,对图形进行适当的分割有时是必要的.我们所求面积的图形就好比一块大蛋糕,必要的时候,我们就得拿起小刀,对这块“蛋糕”进行分割,把它切割成符合我们要求的形状,然后再求出每小块“蛋糕”的面积,最后把它们加起来就是整块“蛋糕”的面积了.类似于求平面曲线弧长的方法,对所给的图形面积进行无限切割,得到无数个小块,就是面积微元.同样的,采取微元积分法就可以求解.
其中 是介于 与 之间的常量,则：
因为 是连续的,所以：当 时,有 ,从而有 也就是： ,故 ,问题得证.
我们在数学分析课本求旋转曲面面积的时就对 验证过程做了详细说明,这里就不做详细的介绍.所以,用微元法求解问题时,对 的验证,我们必须要引起足够的重视.
3.
微元法实质是把求累加量问题转化为定积分计算的简化,它省却了分微段、近似求和等过程,直接由微元累积导出积分.微元法是指通过从分析事物的极小部分入手,达到使事物的整体问题得以解决的一种方法.运用微元法,在一定的条件下可以把变化的、运动的、物理规律不适用的整体对象或整体过程转化为不变的、静止的、物理规律适用的元对象或元过程,即变为理想的对象或过程.微元法可以是把研究物体取微元部分进行分析,也可以是把研究过程取微元阶段进行分析.微元法的基本数学工具是有关近似、极限、数列知识以及几何、三角中的知识.因此，微元法的集体步骤，简而言之就是分割、近似代替、求和、取极限求积分.具体操作就是：
2.
一般地,若某一实际问题中的所求量 符合下列条件,便可以考虑用定积分来表示这个量 .
（1） 是与一个变量的变化区间 有关的量;
（2） 对于区间 具有可加性,就是说如果把区间 分成许多部分区间, 相应地分成许多部分量, 等于所有部分量之和;
（3） 在 中任一微小区间 上的分量 ,误差是 的高阶无穷小量,即当 时, .那么就可以考虑通过微元法用定积分来表示这个量.
（ ）
5.微元法在其他方面的应用
微元法在数学其他领域也有其广泛应用,甚至在经济、化工、医学、生物等领域都有它的广泛应用,如人口统计、心脏输出量的测定、单位时间内的血流量、化学反应物的生成、生物群落的量的计算等等.下面举出三个方面来进行讨论.
算术平均值的求法
设函数 在闭区间 上连续,将 分成 等份,设等分点依次为: ,，当 足够大,每个小区间的长 就足够小,于是可用 近似代替小区间 上各点的函数值, .于是, 在区间 的近似平均值为:
最后，要感谢我的导师黄封林老师，在他的严格要求和悉心指导下，我终于顺利完成了本论文.他不辞辛劳的一再对我的初稿提出批评和修改意见，他严谨的治学精神使我受益颇深，一丝不苟的工作态度是我学习的榜样.没有黄老师的关怀、指导就没有本文的完成，在这里再次表示衷心的感谢.
参考文献
[1]丁晓庆.工科数学分析(下)[M].科学出版社.2004．
如果 是常力,则使得物体由 点到 点时,所作的功为： ；一般如果 是变力,设为 ,考虑物体在此力的作用下由 点到 点时所作的功.
⑴积分变量 ;
⑵ ，功的微元为 ;图3
⑶ .
例5将一弹簧平放,一端固定,已知将弹簧拉长10厘米用力需要5 牛顿.问若将弹簧拉长15厘米,克服弹性力所作的功是多少?
解:当弹簧被拉长为 米时,弹性力为 ,从而所使用的外力为 ；由于 米时, （N）,故 ,即 ,所作功为：
（1）若导体棒在大小为 ,沿初速度方向的恒定拉力作用下运动,到达 位置时的速度为 ,求在此运动的过程中电路产生的焦耳热．
（2）若导体棒在水平拉力作用下向右做匀速运动,求导体棒运动到 位置的过程中,水平拉力做的功和电路中电流的有效值．图2
（3）若导体棒向右运动的过程中不受拉力作用,求运动到 位置时的速度大小．
4.2.1电磁感应中的应用
例4如图所示,六段相互平行的金属导轨在同一水平面内,长度分别为 和 ,宽间距的导轨间相距均为 、窄间距的导轨间相距均为 ，最左端用导线连接阻值为 的电阻,各段导轨间均用导线连接,整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为 的匀强磁场中．质量为 的导体棒可在各段导轨上无摩擦地滑动,在滑动过程中保持与导轨垂直．导轨和导体棒电阻均忽略不计．现使导体棒从 位置以初速度 垂直于导轨向右运动,则
因此,在 内总产量为: .
日常生活中的应用
例8（人口统计模型）某城市1990年的人口密度近似为 表示距市中心 公里区域内的人口数,单位为每平方公里10万人.试求距市中心 区域内的人口数.
解:假设我们从城市中心画一条射线,把这条线上从0到2之间分成 个小区间,每个小区间的长度为 .每个小区间确定了一个环,估算每个环中的人口数并把它们相加,就得到了总人口数.第 个环的面积为:
日常生活的应用……………………………………………………9
参考文献…………………………………………………………………………11
微元法的探究及其应用
学生姓名：胡锦波学号：
数学与计算机科学系数学与应用数学专业
指导老师：黄封林职称：讲师
摘 要:微元法是处理微积分问题的重要方法,微元法的使用使原本复杂的积分问题变得容易处理.本文将给出微元法的原理、使用方法及使用条件,使对微元法有更深刻的认识,然后介绍微元法在几何学、物理上的应用,解决一些具体的实际问题,并研究如何使用微元法更加简单、高效.
解析：（1）
（2）
重点讨论第（3）题
（3）设导体棒在每段宽间距和窄间距轨道上运动速度变化的大小分别为 和 ，在宽间距轨道上，根据牛顿第二定律,在 时间内有 ，则 ,∑ ,
同理有:
所以导体棒运动到 位置时的速度大小
4.2.2变力作功问题
设力与物体的运动方向平行,约定：
⑴以物体的运动方向为坐标轴的正向；⑵ 与坐标轴方向一致时为正,相反时为负.
当 时， 的极限就是 在 的平均值.据此,以及定积分的定义,得:
例6计算从0秒到 秒这段时间内自由落体的平均速度.
解:自由落体的速度为 ,所以要计算的平均速度为:
经济上的应用
例7已知某厂生产某产品在时刻 的总产量的变化率:
(单位/小时)
求从 到 这四个小总产量.
解:设总产量为 ,已知在时刻时总产量的变化率为 ,它随时间 变化,则总产量 在 内的微元 为:
微元法的应用是微积分思想在解决物理问题的应用和体现,在力学、热学和电磁学中的应用尤多.微元法的思想是:对于复杂的物理对象,要化整体到局部,将不能解决的问题转化为可解决问题的集合.在一定的条件下可以把变化的、运动的、物理规律不适用的整体对象或整体过程转化为不变的、静止的、物理规律适用的元对象或元过程,即变为理想的对象或过程。即将事件过程经历的空间或时间分割为无限小的空间或时间的集合,这个分割的过程即是微分的应用.在每个无限小范围内,是可以将非线性视为线性,将非理想视为理想的,从而可以顺利的在小范围内解决问题.将所有的小范围内的问题都解决掉后，再把全部结果累积叠加,就得到了问题结论,这个积累的过程就是积分.
明确了微元法的实质,求解步骤以及应该注意的问题,用微元法求解问题就变得方便多了.下面给出实例.
例1求曲线 与区间 所围的面积.
分析：因 在 上连续,所以 在 可积.对 进行 等分,记其分割为 取 为区间 的右端点， 然后求极限或取积分即可求解.
解：所求面积：
.
4
微元法在几何中的应用
我们在计算某些几何图形
Abstract……………………………………………………………………………1
KeyWords……………………………………………………………………1
1.微元理论………………………………………………………………………1
2.利用微元的一般条件…………………………………………………………2
3.微元法的解题步骤……………………………………………………………4
4.2.1电磁感应中的应用……………………………………………………6
4.2.2变力做功的问题……………………………………………………7
5.微元法在其他方面的应用…………………………………………………8
算数平均值的求法……………………………………………………8
经济上的应用……………………………………………………9
于是此环面积的线性主部为 .
在第 个环内,人口密度可看成常数,所以此环内的人口数近似为 ，即得微元 .故人口数:
结束语:
微元分析法帮助我们建立了各种纷繁复杂的实际问题的数学模型.它伴随着微积分的产生而产生的,随着数学对微积分研究的不断深入,微元法在积分学中的地位势必会越来越重要.所以，学好微元法，利用好微元,熟练掌握这一重要数学思想方法，对于数学的研究无疑是起了重大的推动作用，关于这一点，在我们的数学教学和研究工作中必须予以足够的重视.
微元法的探究及其应用论文
学号：
信阳师范学院华锐学院
本科毕业论文
专 业数学计算机科学系
年 级2008级
姓 名胡锦波
论文题目微元法的探究及其应用
指导教师黄封林职称讲师
2012年5月5日
摘要…………………………………………………………………………………1
关键词……………………………………………………………………………1
关键词:定积分;微Βιβλιοθήκη Baidu法;弧长;面积;功.
Abstract
KeyWords:Definite integral;Micro-element method;Arc lengths;Area;Power.
1.
应用定积分解决实际问题时
设函数 在 上有界,若 对任意分法 ,令任取 ,只要 时, 趋于确定的值 ,则称此极限值 为函数 在区间 上的定积分,记作 ,即 ,此时称 在 上可积.计算曲边梯形面积的具体步骤:
1）分割
在区间 中任意插入 个分点, ,用直线 将曲边梯形分成 个小曲边梯形;
2）局部近似
在第 个窄曲边梯形上任取 ,作以 为底,以 为高的窄矩形,并以此窄矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积 ,得 .
3）求和:
4）取极限
令 ,则有:
我们可以发现上述操作过程来得较为繁琐,我们就是要把上述复杂的问题通过微元法转化为求定积分的问题,这样问题就变得极其简单.