第七章 系统的状态变量分析
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N
H(s) Hk s k 1
Hk s 为一阶或二阶系统函数
12
桂林电子科技大学信息工程教研室
信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
一般形式为：
Hk
s
s s
b a
（一阶节）或
Hk
s
b2s2 a2 s 2
b1s a1s
b0 a0
（二阶节）
将每个一阶、二阶系统用直接型流图实现，然后将各 个子系统级联起来。以下是级联的示意图：
（2）求 gk 和 k
只有一条前向通路：g1 H1H2H3H4 ，它和所有环路都接触，所以 1 1
最后根据梅森公式，得：
2020/5/22
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H 1
k
gk k
1
H1H
2
H
3
H
4
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桂林电子科技大学信息工程教研室
信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
三、系统的信号流图模拟
1.直接型（正则型）
（5）前向通路与前向通路增益：从源点至阱点的开通路 称为前向通路；该通路上各支路增益的乘积称为前向通路 增益；
（6）不接触环路：没有公共节点和公共支路的环路。
2020/5/22
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信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
二、梅森公式
H 1
k
gkk
式中参数的含义及计算
1、 ：特征行列式
= 1-（所有环路增益之和）
+（每两个互不接触环路增益乘积之和）
-（每三个两两不接触环路增益乘积之和）
= 1 La LbLc Ld LeLf ...
2020/5/22
a
b,c
d ,e, f
6
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桂林电子科技大学信息工程教研室
信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
2、 gk ：第k条前向通路增益
2020/5/22
第7-14页
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桂林电子科技大学信息工程教研室
信号与系统分析
第七章 系统的状态变量分析
7.1 系统的信号流图
一、信号流图 二、梅森公式 三、系统信号流图模拟
7.2 系统的状态方程和输出方程
一、状态和状态变量 二、连续系统的状态方程和输出方程 三、离散系统的状态方程和输出方程
点击目录 ，进入相关章节
2020/5/22
1
第7-1页
桂林电子科技大学信息工程教研室
2020/5/22
第7-11页
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信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
1 F(s)
bm bm-1
s-1 s-1
s-1
…
s-1
-an-1 -an-2
-a1 -a0
b0 Y(s)
2.级联型（串联型）（以连续系统为例）
通过因式分解，可以将系统函数表示为：
其中
2020/5/22
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4
桂林电子科技大学信息工程教研室
信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
（3）通路与开通路：沿箭头方向所经过的支路组成的路 径称为通路；与通路上任意节点相交不多于一次的通路 称为开通路；
（4）环路与环路增益：从某节点出发，沿箭头方向绕行 一周回到该点，且与其他节点相交不多于一次的通路，称 为环路；环路中各支路增益的乘积称为环路增益；
wk.baidu.com-G3 H4
H3 -G4
L2 H3G3
1 Y(s)
L3 H 4G4 L4 H2H3H4G1
不接触环路： L1与L2、 L1与L3为两组不接触环路
2020/5/22
没有三个以上两两不接触环路。 8
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信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
所以
1 H2G2 H3G3 H4G4 H2H3H4G1 H2H3G2G3 H2H4G2G4
以连续系统为例，设
H
s
bmsm bm1sm1 ... b0 sn an1sn1 ... a0
（m≤n）
将之变为： H s bmsnm bm1snm1 ... b0sn
1 an1s1 ... a0sn
，根据梅森公式，可以这样来构造流图：
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第7-10页
3、k ：第k条前向通路特征行列式的余子式。
它是 中除去与该前向通路接触的环路增益
外余下的特征行列式。
例7.1.1 如图所示的信号流图，求系统函数。
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信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
-G1
H1 F(s)
H2
1
-G2
解：（1）求△ ，
环路： L 1 H2G2
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2
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信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
f(t)
－－
3
2
－
y (t)
2
图（a）
1 F(s)
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第7-3页
s-1
s-1
-3 -2
-1
2 Y(s)
图 （b）
3
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信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
2.相关术语
H1 1 H2
…
HN
2020/5/22
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信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
3.并联型
通过部分分式展开（复数极点需合并），可以将系统函 数表示为：
M
H Hk s
，其中
Hk s 也是一阶或二阶系统函数。
k 1
将各子系统用直接型实现后把它们并联起来即得流图 的并联结构。以下是并联的示意图：
（1）支路与支路增益：流图中的有向线段称为支路； 标于有向线段上方的传输函数称为支路增益；
（2）节点：表示信号或变量的圆点，具有加法器的功能
共有三类节点：
源点：只有输出支路的节点，通常对应系统的
输入信号；
阱点：只有输入支路的节点，通常对应系统的
输出信号；
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。
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信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
7.1 系统的信号流图
一、信号流图---模拟框图的简化表示
1、信号流图：对系统s域或z域模拟框图的简化，具体 说来，就是用有向线段表示信号的传输路径，有向线段 起点和终点表示信号，起点信号与终点信号之间的转移 关系（传输函数）标于线段的上方，加法器用节点表示。 比如，下图（a）所示的模拟框图经简化后得到的流图 如图（b）所示。
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7.1 系统的信号流图
H s bmsnm bm1snm1 ... b0sn
1 an1s1 ... a0sn
（1）分母中括号内各项均为环路增益，即共有n个环路， 并且各环路相互均接触； （2）分子中各项为前向通路增益，且 k 1
故共有m+1条前向通路，且各通路与所有环路均有接触。 于是可得流图如下：
N
H(s) Hk s k 1
Hk s 为一阶或二阶系统函数
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7.1 系统的信号流图
一般形式为：
Hk
s
s s
b a
（一阶节）或
Hk
s
b2s2 a2 s 2
b1s a1s
b0 a0
（二阶节）
将每个一阶、二阶系统用直接型流图实现，然后将各 个子系统级联起来。以下是级联的示意图：
（2）求 gk 和 k
只有一条前向通路：g1 H1H2H3H4 ，它和所有环路都接触，所以 1 1
最后根据梅森公式，得：
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H 1
k
gk k
1
H1H
2
H
3
H
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7.1 系统的信号流图
三、系统的信号流图模拟
1.直接型（正则型）
（5）前向通路与前向通路增益：从源点至阱点的开通路 称为前向通路；该通路上各支路增益的乘积称为前向通路 增益；
（6）不接触环路：没有公共节点和公共支路的环路。
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7.1 系统的信号流图
二、梅森公式
H 1
k
gkk
式中参数的含义及计算
1、 ：特征行列式
= 1-（所有环路增益之和）
+（每两个互不接触环路增益乘积之和）
-（每三个两两不接触环路增益乘积之和）
= 1 La LbLc Ld LeLf ...
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a
b,c
d ,e, f
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7.1 系统的信号流图
2、 gk ：第k条前向通路增益
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7.1 系统的信号流图
一、信号流图 二、梅森公式 三、系统信号流图模拟
7.2 系统的状态方程和输出方程
一、状态和状态变量 二、连续系统的状态方程和输出方程 三、离散系统的状态方程和输出方程
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7.1 系统的信号流图
1 F(s)
bm bm-1
s-1 s-1
s-1
…
s-1
-an-1 -an-2
-a1 -a0
b0 Y(s)
2.级联型（串联型）（以连续系统为例）
通过因式分解，可以将系统函数表示为：
其中
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7.1 系统的信号流图
（3）通路与开通路：沿箭头方向所经过的支路组成的路 径称为通路；与通路上任意节点相交不多于一次的通路 称为开通路；
（4）环路与环路增益：从某节点出发，沿箭头方向绕行 一周回到该点，且与其他节点相交不多于一次的通路，称 为环路；环路中各支路增益的乘积称为环路增益；
wk.baidu.com-G3 H4
H3 -G4
L2 H3G3
1 Y(s)
L3 H 4G4 L4 H2H3H4G1
不接触环路： L1与L2、 L1与L3为两组不接触环路
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没有三个以上两两不接触环路。 8
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7.1 系统的信号流图
所以
1 H2G2 H3G3 H4G4 H2H3H4G1 H2H3G2G3 H2H4G2G4
以连续系统为例，设
H
s
bmsm bm1sm1 ... b0 sn an1sn1 ... a0
（m≤n）
将之变为： H s bmsnm bm1snm1 ... b0sn
1 an1s1 ... a0sn
，根据梅森公式，可以这样来构造流图：
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3、k ：第k条前向通路特征行列式的余子式。
它是 中除去与该前向通路接触的环路增益
外余下的特征行列式。
例7.1.1 如图所示的信号流图，求系统函数。
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-G1
H1 F(s)
H2
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-G2
解：（1）求△ ，
环路： L 1 H2G2
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7.1 系统的信号流图
f(t)
－－
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－
y (t)
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图（a）
1 F(s)
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s-1
s-1
-3 -2
-1
2 Y(s)
图 （b）
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2.相关术语
H1 1 H2
…
HN
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信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
3.并联型
通过部分分式展开（复数极点需合并），可以将系统函 数表示为：
M
H Hk s
，其中
Hk s 也是一阶或二阶系统函数。
k 1
将各子系统用直接型实现后把它们并联起来即得流图 的并联结构。以下是并联的示意图：
（1）支路与支路增益：流图中的有向线段称为支路； 标于有向线段上方的传输函数称为支路增益；
（2）节点：表示信号或变量的圆点，具有加法器的功能
共有三类节点：
源点：只有输出支路的节点，通常对应系统的
输入信号；
阱点：只有输入支路的节点，通常对应系统的
输出信号；
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。
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7.1 系统的信号流图
7.1 系统的信号流图
一、信号流图---模拟框图的简化表示
1、信号流图：对系统s域或z域模拟框图的简化，具体 说来，就是用有向线段表示信号的传输路径，有向线段 起点和终点表示信号，起点信号与终点信号之间的转移 关系（传输函数）标于线段的上方，加法器用节点表示。 比如，下图（a）所示的模拟框图经简化后得到的流图 如图（b）所示。
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7.1 系统的信号流图
H s bmsnm bm1snm1 ... b0sn
1 an1s1 ... a0sn
（1）分母中括号内各项均为环路增益，即共有n个环路， 并且各环路相互均接触； （2）分子中各项为前向通路增益，且 k 1
故共有m+1条前向通路，且各通路与所有环路均有接触。 于是可得流图如下：