高等数学探究式教学案例设计及类型分析
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The Case Design and Type Analysis of Research -style teaching for Advanced Mathematics
Ｌｉ Ｙｉ－ｙｕ
（Ｓｉｃｈｕａｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｄｅｎｇｙａｎｇ Ｓｉｃｈｕａｎ ６１８０００， Ｃｈｉｎａ）
１．２ 数学概念思想性、哲学性探究题 例 ５，无穷小量有“多小”？
参考答案：无穷小量不是初等数学的孤立的、静
止的 ０，而是有丰富的内容，可视为“无穷小空间”、
“无穷小世界”（可参考高等数学级数内容）。
例 ６，如何理解导数的定义？Ａ 试对导数概念作
哲学分析；Ｂ
导数都是
０ ０
型极限，如何认识“
０ ０
”？；Ｃ
乙 ａ 乙 的创立探究对创造发明的种种启示。 １．４ 数学方法一般化、推广化探究题 例 １１，一般地探讨定积分定义中“无限细分，以
直代曲”的思想方法。这是微积分的基本思想方法。 参考答案：如我国古代著名的“曹冲称象”，将大
象“细分”为小石头，以石头重量代替大象重量。又 如机械制造、机械加工基本的工程思想方法（将曲线 细分为若干直线段加工）。
参考答案：见下图的直观意义。［７］
１．３ 数学理论的创新性探究题
高等数学充满创造性，可探究总结其创新精神、创新
思维和创新技法。
例 ９，回顾微积分的创立史，从导数概念的创
立，探究牛顿、莱布尼茨的不同创新之路及不同创 新特点。
乙ｂ
例 １０，从微积分基本公式 ｆ 乙 ｘ 乙 ｄｘ＝Ｆ 乙 ｂ 乙 －Ｆ ａ
JOURNAL OF SICHUAN ENGINEERING TECHNICAL COLLEGE
教学研究 主持：李 艳
076
四 川 工 程 职 业 技 术 学 院 学 报 第 二 十 四 卷
第 一 期 ︵ 总 第 七 十 七 期 ︶
高等数学探究式教学案例设计及类型分析
李以渝
（四川工程职业技术学院 ，四川 德阳 ６１８０００）
探究式教学是激发学生学习主动性、积极性、 培养学生创新能力和提高综合素质的重要教学方 式。探究式教学是在教师的启发引导下，以学生自 主学习和合作讨论为前提，以现行教材为基本探究 内容，以学生周围世界和生活实际为参照对象，为 学生提供充分自由表达质疑、探究、讨论问题机会， 使学生将自己所学知识应用于解决实际问题的教 学形式。［１］高等数学课程如何依据高等数学学科特 点，密切结合教学内容，实施探究式教学呢？其难点 与关键是设计与高等数学有关的合适的问题情景。 在我们的研究与实践中，开发设计以下各类探究性 问题，具体实现了探究式教学。
例 １２，试探究总结换元积分法的一般方法意
义，举出各方面类似的例子。 参考答案：换元积分法的奥妙是将一个复杂的、
困难的问题 Ａ，变成一个较简单的、易于解决的问题 Ｂ，解出 Ｂ，由 Ｂ 的答案反变回去就是 Ａ 的解。如电 流运距离传输（低压变高压、传输后高压变回低压）、 又如著名的“围魏救赵”、 “草船借箭”等等。 例 １３， “解题就如解决问题，解法就是做事情的做 法、方法”，以此理念探究学数学的一般意义。
这里我们的教学理念是，强调数学教学不要囿 于数学内部，要将数学与学生的周围世界和生活实 际联系起来。如此，让学生体会到“数学就在我们身 边”，同时可以帮助学生直观、生动地理解抽象复杂 的数学内容，活化数学理论，也是理论联系实际。正 如我国知名数学教育专家张奠宙认为，徐利治先生 上述用李白诗句来比喻极限的动态过程，使抽象的 极限具象化了。［５］这种讨论是开放式的，有充分的讨 论、想象空间。
是不囿于数学内部，而是对数学学习内容涉及的一 些难点、重点，提出一些一般性的、思想性的问题，进 行思考讨论。希望培养学生数学思维能力中拓展为 一般思维能力。如例 １７ 中，需要学生的“智力”区分 微分、积分及其分部积分公式几者的联系与区别。高 等数学的教学中有许多这些“细节问题”，既是数学 问题，也是一般智力问题。
的情形。 参考答案：我国著名数学家徐利治举例说唐诗
李白的名句： “孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流” 中“ ，帆影”的尺寸和大小是一个随时间变化而趋于 零的变量。［４］
例 ４，请探讨自然、社会、生活等领域中的连续 与间断。
富于启发的答案：人跑过马路 （△ｔ→０） 若“有惊 无险”出一身汗 （△ｙ→０）：连续；若出了车祸如压断 一条腿（△ｙ很大了），则人（体）不连续、发生了间断。
呢？
解数学应用探究题，使学生数学学习能理论联
系实际，培养提高他们的应用数学能力。探究较复杂
的应用题就是数学建模了。
１．９ 数学实验探究题
利用数学软件强大的作图、数值计算及模拟等
功能，对数学问题在计算机上作数学实验探究。
例 ２４， 可 以 从 理 论 上 证 明 ｌｉｍ ｓｉｎ ＝１、ｌｉｍ
ｘ→０ ｘ
第 一 期 ︵ 总 第 七 十 七 期 ︶
教学研究 主持：李 艳
李 以 渝
高 等 数 学 探 究 式 教 学 案 例 设 计 及 类 型 分 析
078
四 川 工 程 职 业 技 术 学 院 学 报 第 二 十 四 卷
第 一 期 ︵ 总 第 七 十 七 期 ︶
例 １５，对于速度函数 ｖ＝ｖ（ｔ），为什么 ｖ（ｔ）曲线下 面的面积的大小正好等于这段时间物体走过的路程 （即高中学过的“图解法”的道理何在） ？
曲线 ｆ（ｘ） （１）对一切 ｘ，ｆ＇＇（ｘ） ≤０．５；（２）ｆ＇（ｘ）在某处取值 －２，在某处取值 ＋２；（３） ｆ＇＇（ｘ）不是常数。
１．７ 数学开放式探究题 例 ２０，如图曲线描述出一物体运动速度 ｖ（ｍ／ｓ） 的变化，请对这一物体在 ｔ＝０ 到 ｔ＝６ 之间走过的总 距离进行估算。
参考答案：此题没有唯一答案，有多种算法，１） 可由图解法对面积直接估算 （如估算多少个小方 格）；２）同样是估算面积，但可分为时间（０，１）与（１，６） 两段上面三角形与梯形两个面积；３） 由曲线形态假 设 ｖ＝ｋ 姨 ｔ ，由坐标（４，３０）算出 ，再由定积分算出路 程；４）类似可假设 为二次函数计算。
［收稿日期］ ２０１０－０３－０１ ［作者简介］ 李以渝（１９５６－），男，四川工程职业技术学院教授； 研究方向：哲学，高等数学。
教学研究 主持：李 艳
分相反）水蒸汽受一定的压力和冷却，一层层凝结为 水，又是积分。［３］原子重新组合为分子的过程为积 分。
例 ３，试用非数学语言举例说明极限ｌｉｍ １ ＝０ ｎ→∞ ｎ
１ 高等数学探究式教学案例设计
１．１ 数学概念推广化、生活化探究 例 １，学习微分概念，请列举自然、生活、社会中 的微分 典型答案：恩格斯曾举例说：水的蒸发，是从上 面一层层蒸发，每蒸发一层就使水的高度（ｘ）减少一 层的高度（ｄｘ），因此水蒸发的过程就是微分。［２］类似， 人的消化过程、化学变化分子分解为原子、甚至“曹 冲称象”大象变石头等都是微分。 例 ２，请列举自然、生活、社会中的积分。 典型答案：恩格斯曾举例说：（与上述自然的微
Abstract:Ｒｅｓｅａｒｃｈ－ｓｔｙｌｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｉｓ ａ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｗａｙ ｔｏ ｃｕｌｔｉｖａｔｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ＇ ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｑｕａｌｉｔｉｅｓ， ｂｕｔ ｉｔｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙ ａｎｄ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｏ ｄｅｓｉｇｎ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ－ｓｔｙｌｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｃｏｎｔｅｎｔ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｅｖｅｌｏｐｓ ａｎｄ ｄｅｓｉｇｎｓ ｖａｒｉｏｕｓ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｒｅｓｅａｒｃｈ－ｓｔｙｌｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ｏｆ ａｄｖａｎｃｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｔｏｐｉｃｓ－ｎｅｗ ａｎｄ ｉｎｓｐｉｒｉｎｇ， ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｂｅｃｏｍｅ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｓｅａｒｃｈ－ｓｔｙｌｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｆｏｒ ａｄｖａｎｃｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ， ａｎｄ ｔｈｅｎ ａｎａｌｙｚｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ－ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ ｒｅｓｅａｒｃｈ－ｓｔｙｌｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ， ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｓ ａｎｄ ｔｅａｃｈｅｒ＇ｓ ｒｏｌｅ ｉｎ ｉｔ． Key word: ａｄｖａｎｃｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；ｒｅｓｅａｒｃｈ－ｓｔｙｌｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ； ｃａｓｅ ｄｅｓｉｇｎ
么要关于 ｘ”？探究其中反映出的事物的相对性。
参考答案：导数是变化率，是相对概念，必须相
对某个参照物，如单独说某个物体在运动没有、速度
多大？没有意义。ｘ 是自变量，一般要相对 求变化率。
这如同我们说动物、汽车、火车、飞机速度是多快，都
相对（关于）地球。
例 ８，基于微积分的基本思想方法，探究“变”与
“不变”、曲线与直线的辩证关系。
正在下降；３）在不久将来物价将稳定下来。
例 ２２，据称这个月物价涨幅下降 ３％，试讨论这
个月的物价是如何随时间变化的。
例 ２３，某公司用二阶导数来评价不同广告策略
的相关业绩。假设所有的广告都能提高销量，如果在
一次新的广告中，销量关于时间的曲线是凹的，这表
明这家公司的经营情况如何？为什么？若曲线是凸的
１．５ 从数学内容联系提出“一般智力问题”
例 １４，对于定积分 ｌｉｍΣ ｆ 乙ξｉ 乙△ｘｉ ，为什么要
乙ｂ
记为 ｆ 乙 ｘ 乙 ｄｘ、及其合理性？ ａ
李来自百度文库以 渝
高 等 数 学 探 究 式 教 学 案 例 设 计 及 类 型 分 析
077
四 川 工 程 职 业 技 术 学 院 学 报 第 二 十 四 卷
此题解法 １）对习惯“理论思维”、习惯“精确计
算”的同学有启发；此题还说明好的数学探究题可以
“一题多解”，同学有充分的探究余地。
１．８ 数学应用探究题
例 ２１，设函数 ｐ（ｔ）表示某种产品在时刻的价格，
则在通货膨胀期间，ｐ（ｔ）将迅速增加，试用 ｐ（ｔ）的导数
表示以下情形：１）通货膨胀仍然存在；２）通货膨胀率
由此探究高等数学与初等数学的区别。
参考答案：微积分之中充满辩证法，可从量变到
质变、否定之否定等哲学原理分析导数定义，加深认
识。从研究对象与内容看，高等数学显著特点是“变
化”与“无限”，初等数则相对“静止”与“有限”。［６］
例 ７，分析复合函数求导法则（ｙ＇ｘ＝ｙ＇ｕｕ＇ｘ）为什么“
ｙ 要关于 ｘ 求导”？如何理解这里的“关于”及“为什
１．６ 数学综合性探究题 这是在高等数学内部，对比较灵活或比较综合 的数学问题探究。 例 １８，如果ｌｉｍ ｆ（ ＇ ｘ）＝５０，且 ｆ（ ＇ ｘ）对所有的 ｘ 都
ｘ→∞
是正数，那么ｌｉｍ （ ｆ ｘ）等于什么？（假设极限存在）并用 ｘ→∞
图像来解释你的答案。 例 １９，画出 ０≤ｘ≤１０ 上满足下列条件的光滑
［摘要］：探究式教学是培养学生综合素质的有效方式，但其难点和基础是依据教学内容设计出合适的探
究式问题。本文开发设计高等数学各类探究性问题，题目新颖、富有启发，成为高等数学课程实施探究式 教学的重要基础，并分折了探究式教学问题设计、实施形式与教师作用等问题。
［关键词］：高等数学；探究式教学；案例设计
中图分类号：Ｇ６３３．６６ 文章标识码 Ａ 文章编号：：ＣＫＮ 字 ０７－００５（２０１０）０１－０７６－０３
ｘ→∞
ｘ
姨 姨 １＋
１ ｘ
＝ｅ、，也可通过计算机数值计算来检验及作
图直观观察其变化趋势。
例 ２５，从比较 ｆ、ｆ＇、ｆｆ＇＇ 图像，导数告诉我们什么？
分析这些图像，能得出一些什么结论。
例 ２６，探讨函数 ｙ＝ｘｎ 有多少道弯？
例 ２７，设 ｆ（ｘ）＝ｘ１０－１０ｘ，０≤ｘ≤２，求 ｆ（ｘ）增长最快
和减少最快的值。对此问题可作一般探讨，然后用计
例 １６，学习微分的定义，其中为什么把 ｆ＇（ｘ）△ｘ 称为微分？
乙 乙 例 １７，分部积分中讲例题， ｘｓｉｎ ｘｄｘ＝ －ｘｄ ｃｏｓ 乙 ｘ＝－ｘｃｏｓｘ＋ ｃｏｓ ｘｄｘ，提出问题：上式最后的 ｄｘ与
ｄｃｏｓｘ＝－ｓｉｎｄｘ 中的 ｄｘ是否一样？为什么？ 所谓与数学内容相联系的“一般智力问题”，也
Ｌｉ Ｙｉ－ｙｕ
（Ｓｉｃｈｕａｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｄｅｎｇｙａｎｇ Ｓｉｃｈｕａｎ ６１８０００， Ｃｈｉｎａ）
１．２ 数学概念思想性、哲学性探究题 例 ５，无穷小量有“多小”？
参考答案：无穷小量不是初等数学的孤立的、静
止的 ０，而是有丰富的内容，可视为“无穷小空间”、
“无穷小世界”（可参考高等数学级数内容）。
例 ６，如何理解导数的定义？Ａ 试对导数概念作
哲学分析；Ｂ
导数都是
０ ０
型极限，如何认识“
０ ０
”？；Ｃ
乙 ａ 乙 的创立探究对创造发明的种种启示。 １．４ 数学方法一般化、推广化探究题 例 １１，一般地探讨定积分定义中“无限细分，以
直代曲”的思想方法。这是微积分的基本思想方法。 参考答案：如我国古代著名的“曹冲称象”，将大
象“细分”为小石头，以石头重量代替大象重量。又 如机械制造、机械加工基本的工程思想方法（将曲线 细分为若干直线段加工）。
参考答案：见下图的直观意义。［７］
１．３ 数学理论的创新性探究题
高等数学充满创造性，可探究总结其创新精神、创新
思维和创新技法。
例 ９，回顾微积分的创立史，从导数概念的创
立，探究牛顿、莱布尼茨的不同创新之路及不同创 新特点。
乙ｂ
例 １０，从微积分基本公式 ｆ 乙 ｘ 乙 ｄｘ＝Ｆ 乙 ｂ 乙 －Ｆ ａ
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第 一 期 ︵ 总 第 七 十 七 期 ︶
高等数学探究式教学案例设计及类型分析
李以渝
（四川工程职业技术学院 ，四川 德阳 ６１８０００）
探究式教学是激发学生学习主动性、积极性、 培养学生创新能力和提高综合素质的重要教学方 式。探究式教学是在教师的启发引导下，以学生自 主学习和合作讨论为前提，以现行教材为基本探究 内容，以学生周围世界和生活实际为参照对象，为 学生提供充分自由表达质疑、探究、讨论问题机会， 使学生将自己所学知识应用于解决实际问题的教 学形式。［１］高等数学课程如何依据高等数学学科特 点，密切结合教学内容，实施探究式教学呢？其难点 与关键是设计与高等数学有关的合适的问题情景。 在我们的研究与实践中，开发设计以下各类探究性 问题，具体实现了探究式教学。
例 １２，试探究总结换元积分法的一般方法意
义，举出各方面类似的例子。 参考答案：换元积分法的奥妙是将一个复杂的、
困难的问题 Ａ，变成一个较简单的、易于解决的问题 Ｂ，解出 Ｂ，由 Ｂ 的答案反变回去就是 Ａ 的解。如电 流运距离传输（低压变高压、传输后高压变回低压）、 又如著名的“围魏救赵”、 “草船借箭”等等。 例 １３， “解题就如解决问题，解法就是做事情的做 法、方法”，以此理念探究学数学的一般意义。
这里我们的教学理念是，强调数学教学不要囿 于数学内部，要将数学与学生的周围世界和生活实 际联系起来。如此，让学生体会到“数学就在我们身 边”，同时可以帮助学生直观、生动地理解抽象复杂 的数学内容，活化数学理论，也是理论联系实际。正 如我国知名数学教育专家张奠宙认为，徐利治先生 上述用李白诗句来比喻极限的动态过程，使抽象的 极限具象化了。［５］这种讨论是开放式的，有充分的讨 论、想象空间。
是不囿于数学内部，而是对数学学习内容涉及的一 些难点、重点，提出一些一般性的、思想性的问题，进 行思考讨论。希望培养学生数学思维能力中拓展为 一般思维能力。如例 １７ 中，需要学生的“智力”区分 微分、积分及其分部积分公式几者的联系与区别。高 等数学的教学中有许多这些“细节问题”，既是数学 问题，也是一般智力问题。
的情形。 参考答案：我国著名数学家徐利治举例说唐诗
李白的名句： “孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流” 中“ ，帆影”的尺寸和大小是一个随时间变化而趋于 零的变量。［４］
例 ４，请探讨自然、社会、生活等领域中的连续 与间断。
富于启发的答案：人跑过马路 （△ｔ→０） 若“有惊 无险”出一身汗 （△ｙ→０）：连续；若出了车祸如压断 一条腿（△ｙ很大了），则人（体）不连续、发生了间断。
呢？
解数学应用探究题，使学生数学学习能理论联
系实际，培养提高他们的应用数学能力。探究较复杂
的应用题就是数学建模了。
１．９ 数学实验探究题
利用数学软件强大的作图、数值计算及模拟等
功能，对数学问题在计算机上作数学实验探究。
例 ２４， 可 以 从 理 论 上 证 明 ｌｉｍ ｓｉｎ ＝１、ｌｉｍ
ｘ→０ ｘ
第 一 期 ︵ 总 第 七 十 七 期 ︶
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李 以 渝
高 等 数 学 探 究 式 教 学 案 例 设 计 及 类 型 分 析
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四 川 工 程 职 业 技 术 学 院 学 报 第 二 十 四 卷
第 一 期 ︵ 总 第 七 十 七 期 ︶
例 １５，对于速度函数 ｖ＝ｖ（ｔ），为什么 ｖ（ｔ）曲线下 面的面积的大小正好等于这段时间物体走过的路程 （即高中学过的“图解法”的道理何在） ？
曲线 ｆ（ｘ） （１）对一切 ｘ，ｆ＇＇（ｘ） ≤０．５；（２）ｆ＇（ｘ）在某处取值 －２，在某处取值 ＋２；（３） ｆ＇＇（ｘ）不是常数。
１．７ 数学开放式探究题 例 ２０，如图曲线描述出一物体运动速度 ｖ（ｍ／ｓ） 的变化，请对这一物体在 ｔ＝０ 到 ｔ＝６ 之间走过的总 距离进行估算。
参考答案：此题没有唯一答案，有多种算法，１） 可由图解法对面积直接估算 （如估算多少个小方 格）；２）同样是估算面积，但可分为时间（０，１）与（１，６） 两段上面三角形与梯形两个面积；３） 由曲线形态假 设 ｖ＝ｋ 姨 ｔ ，由坐标（４，３０）算出 ，再由定积分算出路 程；４）类似可假设 为二次函数计算。
［收稿日期］ ２０１０－０３－０１ ［作者简介］ 李以渝（１９５６－），男，四川工程职业技术学院教授； 研究方向：哲学，高等数学。
教学研究 主持：李 艳
分相反）水蒸汽受一定的压力和冷却，一层层凝结为 水，又是积分。［３］原子重新组合为分子的过程为积 分。
例 ３，试用非数学语言举例说明极限ｌｉｍ １ ＝０ ｎ→∞ ｎ
１ 高等数学探究式教学案例设计
１．１ 数学概念推广化、生活化探究 例 １，学习微分概念，请列举自然、生活、社会中 的微分 典型答案：恩格斯曾举例说：水的蒸发，是从上 面一层层蒸发，每蒸发一层就使水的高度（ｘ）减少一 层的高度（ｄｘ），因此水蒸发的过程就是微分。［２］类似， 人的消化过程、化学变化分子分解为原子、甚至“曹 冲称象”大象变石头等都是微分。 例 ２，请列举自然、生活、社会中的积分。 典型答案：恩格斯曾举例说：（与上述自然的微
Abstract:Ｒｅｓｅａｒｃｈ－ｓｔｙｌｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｉｓ ａ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｗａｙ ｔｏ ｃｕｌｔｉｖａｔｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ＇ ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｑｕａｌｉｔｉｅｓ， ｂｕｔ ｉｔｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙ ａｎｄ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｏ ｄｅｓｉｇｎ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ－ｓｔｙｌｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｃｏｎｔｅｎｔ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｅｖｅｌｏｐｓ ａｎｄ ｄｅｓｉｇｎｓ ｖａｒｉｏｕｓ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｒｅｓｅａｒｃｈ－ｓｔｙｌｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ｏｆ ａｄｖａｎｃｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｔｏｐｉｃｓ－ｎｅｗ ａｎｄ ｉｎｓｐｉｒｉｎｇ， ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｂｅｃｏｍｅ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｓｅａｒｃｈ－ｓｔｙｌｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｆｏｒ ａｄｖａｎｃｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ， ａｎｄ ｔｈｅｎ ａｎａｌｙｚｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ－ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ ｒｅｓｅａｒｃｈ－ｓｔｙｌｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ， ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｓ ａｎｄ ｔｅａｃｈｅｒ＇ｓ ｒｏｌｅ ｉｎ ｉｔ． Key word: ａｄｖａｎｃｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；ｒｅｓｅａｒｃｈ－ｓｔｙｌｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ； ｃａｓｅ ｄｅｓｉｇｎ
么要关于 ｘ”？探究其中反映出的事物的相对性。
参考答案：导数是变化率，是相对概念，必须相
对某个参照物，如单独说某个物体在运动没有、速度
多大？没有意义。ｘ 是自变量，一般要相对 求变化率。
这如同我们说动物、汽车、火车、飞机速度是多快，都
相对（关于）地球。
例 ８，基于微积分的基本思想方法，探究“变”与
“不变”、曲线与直线的辩证关系。
正在下降；３）在不久将来物价将稳定下来。
例 ２２，据称这个月物价涨幅下降 ３％，试讨论这
个月的物价是如何随时间变化的。
例 ２３，某公司用二阶导数来评价不同广告策略
的相关业绩。假设所有的广告都能提高销量，如果在
一次新的广告中，销量关于时间的曲线是凹的，这表
明这家公司的经营情况如何？为什么？若曲线是凸的
１．５ 从数学内容联系提出“一般智力问题”
例 １４，对于定积分 ｌｉｍΣ ｆ 乙ξｉ 乙△ｘｉ ，为什么要
乙ｂ
记为 ｆ 乙 ｘ 乙 ｄｘ、及其合理性？ ａ
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高 等 数 学 探 究 式 教 学 案 例 设 计 及 类 型 分 析
077
四 川 工 程 职 业 技 术 学 院 学 报 第 二 十 四 卷
此题解法 １）对习惯“理论思维”、习惯“精确计
算”的同学有启发；此题还说明好的数学探究题可以
“一题多解”，同学有充分的探究余地。
１．８ 数学应用探究题
例 ２１，设函数 ｐ（ｔ）表示某种产品在时刻的价格，
则在通货膨胀期间，ｐ（ｔ）将迅速增加，试用 ｐ（ｔ）的导数
表示以下情形：１）通货膨胀仍然存在；２）通货膨胀率
由此探究高等数学与初等数学的区别。
参考答案：微积分之中充满辩证法，可从量变到
质变、否定之否定等哲学原理分析导数定义，加深认
识。从研究对象与内容看，高等数学显著特点是“变
化”与“无限”，初等数则相对“静止”与“有限”。［６］
例 ７，分析复合函数求导法则（ｙ＇ｘ＝ｙ＇ｕｕ＇ｘ）为什么“
ｙ 要关于 ｘ 求导”？如何理解这里的“关于”及“为什
１．６ 数学综合性探究题 这是在高等数学内部，对比较灵活或比较综合 的数学问题探究。 例 １８，如果ｌｉｍ ｆ（ ＇ ｘ）＝５０，且 ｆ（ ＇ ｘ）对所有的 ｘ 都
ｘ→∞
是正数，那么ｌｉｍ （ ｆ ｘ）等于什么？（假设极限存在）并用 ｘ→∞
图像来解释你的答案。 例 １９，画出 ０≤ｘ≤１０ 上满足下列条件的光滑
［摘要］：探究式教学是培养学生综合素质的有效方式，但其难点和基础是依据教学内容设计出合适的探
究式问题。本文开发设计高等数学各类探究性问题，题目新颖、富有启发，成为高等数学课程实施探究式 教学的重要基础，并分折了探究式教学问题设计、实施形式与教师作用等问题。
［关键词］：高等数学；探究式教学；案例设计
中图分类号：Ｇ６３３．６６ 文章标识码 Ａ 文章编号：：ＣＫＮ 字 ０７－００５（２０１０）０１－０７６－０３
ｘ→∞
ｘ
姨 姨 １＋
１ ｘ
＝ｅ、，也可通过计算机数值计算来检验及作
图直观观察其变化趋势。
例 ２５，从比较 ｆ、ｆ＇、ｆｆ＇＇ 图像，导数告诉我们什么？
分析这些图像，能得出一些什么结论。
例 ２６，探讨函数 ｙ＝ｘｎ 有多少道弯？
例 ２７，设 ｆ（ｘ）＝ｘ１０－１０ｘ，０≤ｘ≤２，求 ｆ（ｘ）增长最快
和减少最快的值。对此问题可作一般探讨，然后用计
例 １６，学习微分的定义，其中为什么把 ｆ＇（ｘ）△ｘ 称为微分？
乙 乙 例 １７，分部积分中讲例题， ｘｓｉｎ ｘｄｘ＝ －ｘｄ ｃｏｓ 乙 ｘ＝－ｘｃｏｓｘ＋ ｃｏｓ ｘｄｘ，提出问题：上式最后的 ｄｘ与
ｄｃｏｓｘ＝－ｓｉｎｄｘ 中的 ｄｘ是否一样？为什么？ 所谓与数学内容相联系的“一般智力问题”，也