绝对值三角不等式

【方法技巧】求f(x)=|x+a|+|x+b|和f(x)=|x+a|-
|x+b|的最值的三种方法
【方法技巧】两类含绝对值不等式的证明技巧

一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换
元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证
明.
另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,
往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思
想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.
【解析】选D.根据绝对值的意义,可知只有当ab<0时,
不等式|a+b|<|a|+|b|成立.
2.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值
为
A.1
(
)
B.2 C.3 D.4
【解析】选C.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|
=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|≥|x-1-x|+|1-y+y+1|=3,
提示:|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2|.
【证明】因为函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|<1,
所以|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2| <|x+a-2|=|(x-a)+2a-2|≤|x-a|+|2a-
2|<1+|2a|+2=2|a|+3,所以|f(x)-f(a)|<2|a|+3.
2
故原不等式成立.
2.若f(x)=x2-x+c(c为常数),|x-a|<1,求证:|f(x)-
f(a)|<2(|a|+1).
【解题指南】将|f(x)-f(a)|分解成含|x-a|的形式,再 利用|x-a|<1证明.
【证明】|f(x)-f(a)|=|x2-x+c-(a2-a+c)|
=|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)| =|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|
解得x≤-1.
2.若将典例条件改为|x-3|+|x+1|>a的解集不是R,求a
的取值范围.
【解析】只要a不小于|x-3|+|x+1|的最小值, 则|x-3|+|x+1|>a的解集不是R,
而|x-3|+|x+1|=|3-x|+|x+1|≥|3-x+x+1|=4,
当且仅当(3-x)(x+1)≥0,即-1≤x≤3时取最小值4, 所以a的取值范围是[4,+∞).
【变式训练】1.设m是|a|,|b|和1中最大的一个,当
|x|>m时,求证: | a b | <2. 2
x x
【解题指南】利用m≥|a|,m≥|b|,m≥1求解.
【证明】因为|x|>m≥|b|且|x|>m≥1,
所以|x2|>|b|.
又因为|x|>m≥|a|,
a b x x a b a b 所以 | 2 || | | 2 | 2 2 2, x x x x x x x x
=|(x-a)+(2a-1)|≤|x-a|+|2a-1|
≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1).
类型二
利用绝对值三角不等式求最值或取值范围
【典例】求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.
【解题探究】典例中求|x-3|-|x+1|的最值可利用哪个 绝对值不等式?
提示:根据||a|-|b||≤|a-b|求最值.
【归纳总结】
1.对定理1的两点说明
(1)由于定理1与三角形边之间的联系,故称此不等式为 绝对值三角不等式.
(2)定理1可推广到n个实数情况即:
|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.
2.定理2的几何解释
在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,
当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|. 当点B不在点A,C之间时,
【解析】因为||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4,
所以-4≤|x-3|-|x+1|≤4.
所以ymax=4,ymin=-4.
【延伸探究】
1.典例中函数y取到最大值时,需满足什么条件?
x 3 x 1 0, 【解析】函数y取到最大值,需要满足 x 3 x 1 .
(3)定理2:如果a,b,c∈R,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,
(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立. 当且仅当______________
【即时小测】
1.已知a,b∈R,则使不等式|a+b|<|a|+|b|一定成立的
条件是 A.a+b>0 ( ) B.a+b<0 C.ab>0 D.ab<0
二
绝对值不等式
1.绝对值三角不等式
【自主预习】 1.绝对值的几何意义
原点 a
距离 长度
2.绝对值三角不等式
|a|+|b| (1)定理1:如果a,b∈R,则|a+b|≤________,当且仅
ab≥0 时,等号成立. 当______ (2)定理1的推广:如果a,b是实数,则||a|-|b||≤
|a±b|≤|a|+|b|.
当且仅当x∈[0,1],y∈[-1,1]时,等号成立.
3.不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值范围
为_________.
【解析】因为|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2, 当且仅当-1≤x≤1时等号成立,所以,使不等式
|x+1|+|x-1|≥a恒成立的实数a的取值范围为a≤2.
答案:a≤2
【知识探究】
探究点
绝对值三角不等式
1.用向量a,b分别替换a,b,当a与b不共线时,有 |a+b|<|a|+|b|,其几何意义是什么?
提示:其几何意义是:三角形的两边之和大于第三边.
2.不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|中“=”成立的条
件分别是什么?
提示:右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的 条件是ab≤0且|a|≥|b|.
(1)点B在A或C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.
(2)点B不在A,C上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.
类型一
利用绝对值三角不等式证明不等式
【典例】设函数f(x)=x2-2x,实数|x-a|<1.求
证:|f(x)-f(a)|<2|a|+3.
【解题探究】典例中对于|f(x)-f(a)|如何构造,使其 满足绝对值不等式的形式?