泊松分布的应用

泊松分布的应用

泊松分布的应用

摘要

泊松分布是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。它是高等数学里的一个概念,属于概率论的畴,是法国数学家泊松在推广伯努利形式下的大数定律时,研究得出的一种概率分布,因而命名为泊松分布。

作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。

在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍，研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。

关键词：泊松过程；泊松分布；定义；定理；应用；

一、 计数过程为广义的泊松过程

1．计数过程

设)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为一随机过程, 如果 t)( N 是取非负整数值的随机变量,且满足s < t 时, t)( s) ( N ≤,则称)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为计数过程。

将增量 t t 0 , t), t ( N ) t ( N - t)( N 000<≤∆=,它表示时间间隔 t), t [ 0出现的质点数。“在 t), t [ 0出现k 个质点”,即k} t), t ( {N 0=是一随机事件,其概率记为 2 0,1, k , k} t), t ( P{N t), t ( P 00K ===总之,对某种随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。

2．泊松过程

计数过程0} t , t)( {N ∈称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件:

(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;

(2)0 (0) N =;

(3)对于充分小的, t)( O t 1} t) t t,( P{N t) t t,( P 1∆+∆==∆+=∆+λ其中常数0>λ,称为过程)(t N 的强度。

(4)对于充分小的Δt

(){}()t j t t t N P t t t P j j j

∆==∆+=∆+∑∑∞

=∞=ο22,),( 亦即对于充分小的t ∆,在()t t t ∆+,或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相对可以忽略不计。了解泊松过程,就很容易去了解泊松分布的相关性质,其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔出现质点数目的计数。

二、 泊松分布的概念：

泊松分布常用于描述单位时间、单位平面或单位空间中罕见“质点”总数的随机分布规律。

定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且

{}0,,2,1,0,!

>===-λλ k e k x k X P k

为常数。 则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ P (λ) 。

定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。

主要结论：

定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D(X) =λ。

证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。设X 服从泊松分布P(X) ,即有:

0 , , ,2 ,1 0 k ,! k} X P{>==

=-λλλ e k k 则()()λλλλλλλλλ=⋅=-==-∞=--∞=-∑∑e e k e k e k X E k k k k 11

0!1!

从而()()()λλλλλλλλ+=-+-==-∞=-∞=--∞=∑∑∑2122022!1!2!e k e k e k k

X E k k

k k k k 故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+==

定理2 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为

{}n k p p C k x P k n n k n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。

又设0>=λn np 是常数,则{}λλ-∞→==e k k x P k n n !lim 。

证明 由λ=n np 得:

{}()()n n k n k k

n k n n n k n n k n n k k n n n k x P ⋅--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==λλλλ11121111!1!11

显然,当k = 0 时,故λ-n e k} x P{→=。当k ≥1 且k → ∞时,有

λλ-⋅-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯e n n k n n n n k n 1,11121111

从而{}λ

λ-→=e k k x P k

n 1，故{}λλ-∞→==e k k x P k n n !lim 。

定理3 设λp 是服从参数为λ的泊松分布的随机向量,则:

dt e x p P x t ⎰∞--∞→=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<

-2221lim πλλλλ

证明 已知ελ的特征函数为()()1-=Φit e e t λλ,故()λλεληλ-=的特征函数

为:

()1-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛Φ=-λλλλλλit e t t e e t t g 对任意的t ,有()∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=λλολλλ1!212t it e

it 。 于是()∞→-→⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-λλολλλλ212122t t t i e it 。 从而对任意的点列∞→n λ,有()22

lim t e t g n n -∞→=λλ。

但是22

t e -是N (0 ,1) 分布的特征函数,由于分布函数列(){}x F n 弱收敛于分布

函数F( x)的充要条件是相应的特征函数列{Φn ( t) } 收敛于F( x) 的特征函

数Φ( t )。所以dt e x P x t n n n n ⎰∞--∞→-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-2221lim πλλελλ成立;又因为n λ是可以任意

选取的,这就意味着dt e x p P x t ⎰∞--∞→=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-2221lim πλλλλ成立。

图一 泊松分布示意图