郑州大学考研真题数学分析1998

郑州大学

一九九八年攻读硕士学位研究生入学试题

学科、专业： 研究方向： 考试科目：数学分析

注意：答案一律写在答题纸上，否则不给分。 一、 求下列极限值（每小题7分，共21分）. （1）.

求2

0lim

sin x x x →.

（2）.

求lim n →∞

.

（3）.设()f x 可导，求22

(2)(2)

lim

h f x h f x h h

→+--.

二、计算下列各题（每小题7分，共21分） （1）.求不定积分3

1sin cos dx x x

⎰

.

(2).求幂级数21

21

n n x

n +∞

=+∑

的和函数.

(3)求曲面积分22

()S

yzdzdx x y zdxdy

++

⎰⎰的值，其中曲面S 是在第一象限

内由曲面22

z x y

=

+与平面0,0x y ==及1z =所围成的封闭曲面的外侧.

三、（8分）试证：方程2

2

2

22

2

0z z z x

x y

y

∂∂∂++

=∂∂∂∂可以通过变换

u x v y x

==-化为

方程：

2

20z u

∂=∂.

四、（10分）设()f x 在(,)-∞+∞内具有连续导数且满足

2

2

2

22+()2

(+)x y t

f t x y f dxdy t ≤=+⎰⎰

试求()f x .

五、（10分）设()f x 在[,]a b 上有连续导数，且()0,f a =试证： 存在一点(,),a b ξ∈使得. 2

'

()()()

2

b

a b a f x dx f ξ-=

⎰

六、（10分）设()f x 与()g x 在[,]a b 上连续且()g x 非负，()0.f x >

试证：lim

(()b

b a

a

n g x g x dx

→+∞=

⎰⎰

.

七、（10分）设()f x 在[0,1]上连续单调减函数，试证：

112

2

0110

()()()()xf x dx

f x dx xf x dx

f x dx

≤

⎰

⎰

⎰

⎰

八、（10分）试证()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是：对I 内任意

两个数列{}n x 与{}n y ，若lim

()0n n n x y →+∞-=时，都有lim (()())0n n n f x f y →+∞

-=.