数学分析上册练习题及答案第三章函数极限

第三章函数极限
1． 函数极限概念
1． 按定义证明下列极限：
（1）65lim 6x x x
→+∞+=；（2）2
2lim(610)2x x x →-+=；（3）225lim 11x x x →∞-=-;（4）2lim 0x -→=； （5）0
0lim cos cos x x x x →=.
证明（1）任意给定0ε>，取5
M ε
=
，则当x M >时有
6555
6x x x M
ε+-=<=.按函数极限定义有65
lim
6x x x
→+∞+=.
（2）当2x ≠时有，2(610)2(2)(4)24x x x x x x -+-=--=--.
若限制021x <-<，则43x -<.于是，对任给的0ε>，只要取min{1,}3
ε
δ=，则当
02x δ<-<时，有2(610)2x x ε-+-<.故有定义得22
lim(610)2x x x →-+=.
(3)由于22254111
x x x --=--.
若限制1x >，则2211x x -=-，对任给的0ε>，取max M ⎧⎪=⎨⎪⎩，则当x M >时有22
22544
111
1x x M x ε--=<=---，所以225lim 11x x x →∞-=-.
(4)
0==若此时限制021x <-<，
==<=0ε>，
取2
min{1,
}4
εδ=，当02x δ<-<022
ε
ε<≤⋅=，
故由定义得2
lim 0x -
→=.
（5）因为sin ,x x x R ≤∈，则
00000
00cos cos 2sin
sin 2sin sin 222222
x x x x x x x x x x x x x x -+-+--=-=≤⋅=-.
对任给的0ε>，只要取δε=，当00x x δ<-<时，就有00cos cos x x x x δε-≤-<=，所以按定义有0
0lim cos cos x x x x →=.
2． 叙述0
lim ()x x f x A →≠。

解：0
lim ()x x f x A →=陈述为：设函数f 在点0x 的某个空心邻域0
0(,)U x δ'内有定义，A 为定
数，若对任给的0ε>，存在0δ>，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<，则称函数
f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作0
lim ()x x f x A →=。

其否定陈述为：设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域0
0(,)U x δ'内有定义，A 为一个确定的
常数，若存在某个00ε>，使得对任意的正数()δδ'<，总存在x 满足00x x δ<-<，使得0()f x A ε-≥，则称当0x x →时，()f x 不以A 为极限，记为0
lim ()x x f x A →≠。

3． 设0
lim ()x x f x A →=，证明00
lim ()h f x h A →+=。

证明：因为0
lim ()x x f x A →=，由定义有对任给0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，
()f x A ε-<，从而当00h h δ<=-<时，有000()x h x δ<+-<，于是0()f x h A ε+-<，故00
lim ()h f x h A →+=。

4． 证明：若0
lim ()x x f x A →=，则0
lim ()x x f x A →=。

证明：因为0
lim ()x x f x A →=。

由εδ-定义有对任给0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，
()f x A ε-<，于是有()()f x A f x A ε-≤-<，故0
lim ()x x f x A →=。

当0A =时，若0
lim ()0x x f x →=，则对任给0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，
()0()()f x f x f x ε-==<，因此，对已给定的0ε>，当00x x δ<-<时，
()0()f x f x ε-=<，即0
lim ()0x x f x →=。

说明当0A =时，上述命题的逆命题也成立。

但
当0A ≠时，其逆命题不真。

例如对101()112x f x x ≤<⎧=⎨-<≤⎩
有()1,02f x x ≡≤≤。

显然1
lim ()1x f x A →==，但1
lim ()x f x →不存在。

事实上，1
1
lim ()1lim ()1x x f x f x -+→→==-，，可见1
1
lim ()lim ()x x f x f x -+
→→≠，故1
lim ()x f x →不存在。

故当且仅当0A =时，本题反之也成立。

5． 证明定理：0
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-
→→→=⇔==。

必要性 设0
lim ()x x f x A →=，由极限的
εδ-定义知对任给0ε>，存在0δ>，当
00x x δ<-<时，()f x A ε-<。

则当00x x x δ<<+时，有()f x A ε-<，故
lim ()x x f x A +→=。

当00x x x δ-<<时，有()f x A ε-<，故0
lim ()x x f x A -
→=。

从而0
lim ()lim ()x x x x f x f x A +-
→→==。

充分性 0
lim ()x x f x A +
→=，则对任意给定0ε>，存在10δ>，使得当001x x x δ<<+时，有()f x A ε-<。

lim ()x x f x A -→=，则对任意给定0ε>，存在20δ>，使得当020x x x δ-<<时，有
()f x A ε-<。

所以对已给定的0ε>，取12min{,}δδδ=，使得当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<，故0
lim ()x x f x A →=。

6． 讨论下列函数在0x →时的极限或左右极限：
（1）()x f x x =；（2）()[]f x x =；（3）22,0
()0,
01,0
x x f x x x x ⎧>⎪
==⎨⎪+<⎩。

解：（1）因为当0x >时，()1x
f x x
=
=，故有00lim ()lim11x x f x ++
→→==。

当0x <时，()1x
f x x
==-，故00lim ()lim(1)1x x f x --→→=-=-。

因此0lim ()x f x →不存在。

（2）当01x <<时，()[]0f x x ==，故0
lim ()0x f x +
→=。

当10x -<<时，()[]1f x x ==-，故0
lim ()1x f x -→=-。

所以0
lim ()lim ()x x f x f x +-
→→≠，因此0
lim ()x f x →不存在。

（3）对任给的
0ε>，先考虑0x -→，
取δ=，则当0x δ-<<时，
222()1(1)1f x x x δε-=+-=<<，于是0
lim ()1x f x -
→=。

再
考
虑
0x +
→，取
2log (1)
δε=+，则当
0x δ
<<时，
()1212121x x f x δε-=-=-<-=，所以0
lim ()1x f x +
→=。

所以0
lim ()1x f x →=。

7．设lim ()x f x A →+∞
=，证明0
1
lim ()x f A x
+
→=。

证明：因lim ()x f x A →+∞
=，则对任给0ε>，存在0M >，当x M >时，()f x A ε-<，取
10M δ=
>，则当0x δ<<时，11M x δ>=，故有1()f A x ε-<，所以01
lim ()x f A x
+→=。

8． 证明：对黎曼函数()R x 有0
0lim ()0,[0,1]x x R x x →=∈（当00x =或1时，考虑单侧极限）。

证明：因为[0,1]上的黎曼函数定义为：
1
,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N q
q q R x x +
⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩
当为既约真分数)当或内的无理数。

任取0[0,1]x ∈时，任给0ε>，满足不等式1
q ε
≤
的正整数q 至多有有限个。

而p q <，从
而正整数p 也至多有有限个。

于是在(0,1)内至多只有有限个既约真分数
p
q
，使得1
()p R q q
ε=≥。

因此可取0δ>，使得00(,)U x δ内不含这有限个既约分数，于是只要00x x δ<-<（对00x =，
只要0x δ<<；对于01x =，只要01x δ<-<），不论x 是01，或无理数，都有()0()0R x R x ε-==<成立，故0
0lim ()0,[0,1]x x R x x →=∈。

2． 函数极限的性质
1． 求下列极限：
（1）2
2
lim 2(sin cos )x x x x π→
--；（2）2201lim 21x x x x →---；
（3）2211lim 21x x x x →---；（4）3230(1)(13)
lim 2x x x x x →-+-+； （5）01lim 1n m x x x →--（,n m 为正整数）；（6
）x →；
（7
）0lim (0)x a a x →>；（8）7020
90(36)(85)lim (51)
x x x x →+∞+--。

解：（1）因为2limsin sin
12
x x π
π
→
==，2
lim cos cos
02
x x π
π
→
==，再根据极限的四则运算法则，
得22
2
2
2
2
lim 2(sin cos )lim 2sin lim 2cos lim 2x x x x x x x x x x π
π
π
π
→
→
→
→
--=--
2
2
2
2
2
2
lim 2sin 2lim cos 2lim 21202()222x x x x x x ππππ
π→→→
=--=⨯-⨯-⨯=-。

（2）22
2200
lim 1
101lim
1212lim lim 1001
x x x x x x x x x x →→→→---===------。

（3）由于221(1)(1)1
21(1)(21)21
x x x x x x x x x --++==---++，
所以212
111
lim 111112
lim lim 21212lim 12113
x x x x x x x x x x x →→→→+-++====--++⨯+。

（4）3323222323232
(1)(13)331133(3)3
222(12)12x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
-+--+-+----====+++++， 所以30
23000
lim 3(1)(13)303lim lim 321212lim 120
x x x x x x x x x x x x →→→→--+---====-++++⨯。

（5）由于121212121(1)(1)11(1)(1)1
n n n n n m
m m m m x x x x x x x x x x x x ----------++
+++
+==--+++++
+， 所以12120011111lim lim 11
111n n n m
m m x x x x x n x x x m
---
-→→-++
+++
+=
=
=-++
++++。

（6
==
=
=
，
所以4
2(2
2)4
33
3x x →→+===+。

（7
）由于
a x ===
所以01
2x x a x a
→→===。

（8）7020
70
20
90
9065(3)(8)(36)(85)1(51)(5)x x x x x x +-+-=--， 所以70207020
702070209090909065(3)(8)(36)(85)(30)(80)38lim lim 1(51)(50)5(5)
x x x x x x x x
→+∞→+∞+-+-+-===---。

2． 利用迫敛性求极限： （1）cos lim
x x x x →-∞-；（2）2sin lim 4
x x x
x →+∞-。

解：（1）因为1cos 1,x x -≤≤趋于负无穷，所以当0x <时，
1(1)cos 1111x x x x x x x x x ----+
=≤≤=-，而11lim 1lim 11x x x x →-∞→-∞⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由迫敛性
定理得cos lim
x x x
x
→-∞-。

（2）因为1sin 1,x x -≤≤趋于正无穷，所以当2x >时，
222sin 444
x x x x
x x x -≤≤---。

而221lim lim 0441x x x x x x →+∞→+∞-
-==--，22
1
lim lim 04
41x x x x x x
→+∞→+∞==--。

由迫敛性定理得2sin lim
4x x x
x →+∞-。

3． 设0
lim ()x x f x A →=，0
lim ()x x g x B →=，证明：
（1）0
lim[()()]x x f x g x A B →±=±；
（2）0
lim[()()]x x f x g x AB →=；
（3）0
()lim
(0)()x x f x A
B g x B
→=≠。

证明：（1）因为0
lim ()x x f x A →=，则对任给的0ε>，存在10δ>，当010x x δ<-<时，
()f x A ε-<。

0
lim ()x x g x B →=，则对任给的0ε>，存在20δ>，当020x x δ<-<时，
()g x B ε-<。

对已给定的0ε>，取12min{,}δδδ=，当00x x δ<-<时，()f x A ε-<
与()g x B ε-<同时成立。

当00x x δ<-<时，
()()()[()][()]()()2f x g x A B f x A g x B f x A g x B εεε±-±=-±-≤-+-≤+=，
所以0
lim[()()]x x f x g x A B →±=±。

（2）由0
lim ()x x f x A →=及有界性知，存在0M >及30δ>，使得当030x x δ<-<时，
()f x M ≤。

对已给定的0ε>，取123min{,,}δδδδ=，当00x x δ<-<时，有()()()()()()(())()(())f x g x AB f x g x Bf x Bf x AB B f x A f x g x B -=-+-=-+- ()()()()B f x A f x g x B B M B M εεε≤-+-<+=+，所以0
lim[()()]x x f x g x AB →=。

（3）因为0
lim ()0x x g x B →=≠，据函数极限的局部保号性，存在40δ>，使得当04
0x x δ<-<时，有1
()2
g x B >。

取124min{,,}δδδδ=，当00x x δ<-<时有 ()()()()()
()()()
f x A Bf x A
g x Bf x AB AB Ag x g x B Bg x Bg x --+--==
2
()()1()
2
B f x A A g x B
B A B A
B g x B B B εεε-+-+⎛+⎫
≤
<
= ⎪⎝⎭
⋅。

由ε的任意性知， 0
()lim
()x x f x A
g x B
→=。

4． 设1011001011(),0,0,m m m m
n n n n
a x a x a x a f x a
b m n b x b x b x b ----++
++=
≠≠≤++++。

试求lim ()x f x →+∞。

解：
1101101111011011m m m n m n n
m m m n n n n n n n n a x a x a x a a x a x a x b x b x b x b b b x b x b x ------------+++++++=
++
++++++， 当m n <时，1lim lim lim 0m n
m n n x x x x
x x ----→+∞
→+∞
→+∞
==
==，
12lim lim lim 0n x x x x x x ---→+∞
→+∞
→+∞
==
==。

所以0000
lim ()000
x f x b →+∞
++
+=
=++
+。

当m n =时，1lim 1,lim lim 0m n
m n n x x x x
x x ----→+∞
→+∞
→+∞
==
==。

所以00
00
00lim ()00x a a f x b b →+∞
+++=
=+++。

5． 设()0f x >，0
lim ()x x f x A →=。

证明0
lim
x x →=2n ≥为正整数。

证明：由于()0f x >，由局部保号性知0
lim ()0x x f x A →=≥。

当0A =时，由0
lim ()0x x f x A →==知，对任给的0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，
()()f x A f x ε-=<
0=
lim 0x x →==
当0A >时，由0
lim ()x x f x A →=。

由极限的εδ-定义知，对任给的0ε>，存在0δ>，当
00x x δ<-<时，()f x A ε-<，从而有
2
n n A -=
<
<+
+由ε的任意性知0
lim
x x →=
6． 证明0
lim 1(01)x
x a a →=<<。

证明：任给10ε>>，为了使1x a ε-<，即11x
a εε-<<+。

对其取对数函数并由对数函数log (01)a x a <<的严格递减性，只要
log (1)log (1)a a x εε->>+，于是取min{log (1),log (1)}a a δεε=-+，则当0x δ
<<时，有1x a ε-<成立，从而证得结论。

7． 设0
lim ()x x f x A →=，0
lim ()x x g x B →=。

（1）若在某0
0()U x 内有()()f x g x <，问是否必有A B <？为什么？ （2）证明：若A B >，则在某0
0()U x 内有()()f x g x >。

解：（1）不一定有A B <。

因0
lim ()x x f x A →=。

由极限的εδ-定义知，对任给的0ε>，存在0δ>，当00x x δ
<-<时，()A f x A εε-<<+。

又0
lim ()x x g x B →=。

由极限的εδ-定义知，对任给的0ε>，存在0δ>，当00x x δ
<-<时，()B f x B εε-<<+。

虽然有()()f x g x <，但不一定有A B εε-<-或A B εε+<+但A B =有可能。

例如2()0,()f x g x x ==，则在任一0
(0)U 内有()()f x g x <，但0
lim ()lim ()0x x f x g x →→==。

（2）证明：由于A B >，0lim ()x x f x A →=，对02A B
ε-=
>，存在10δ>，使得当
010x x δ<-<时，有
3()22A B A B
A f x A εε--=-<<+=。

0lim ()x x g x
B →=，对02A B
ε-=
>，存在20δ>，使得当020x x δ<-<时，有3()22
B A A B
B g x B εε-+=-<<+=
，于是取12min{,}δδδ=，则当0330()()222
B A A B A B x x g x f x δ-+-<-<<<<<
，，即在0
0()U x δ，内有()()f x g x >。

8． 求下列极限（其中n 皆为正整数）：
（1）01lim 1n x x x x -→+；（2）01
lim 1n
x x x x
+→+； （3）21lim 1
n x x x x n
x →+
++--；（4）01lim x x →；
（5）[]
lim
x x x
→∞。

解：（1）0
00001111
lim lim lim lim lim (1)111110
n n n x x x x x x x x x x x x x x -
----
→→→→→-===-⋅=-++++。

（2）0
00001111lim lim lim lim lim 1111110
n n n x x x x x x x x x x x x x x +
++++→→→→→===⋅=++++。

（3）由于
223(1)(1)(1)(1)
11n n x x x n x x x x x x +++--+-+-+
+-=--
2121(1)(1)(1)n n x x x x x --=++++++
+++
+。

由极限的四则运算法则，有
221211lim lim[1(1)(1)(1)]1
n n n x x x x x n
x x x x x x --→→+++-=+++++
++++
+-
(1)
1232
n n n +=+++
+=。

（4）由于
11
x =+
+，
0111
lim
1111x x x n →→==
=+++++。

（5）由于1[]x x x -<≤，当0x ≠时，
1[]1x x x x -<≤或[]1
1x x x x
-≤<。

对于两种形式，均有11lim
lim(1)101x x x x x
→∞→∞-=-=-=，由迫敛性定理得[]
lim 1x x x →∞=。

9． （1）证明：若3
lim ()x f x →存在，则3
lim ()lim ()x x f x f x →→=。

（2）若2
lim ()x f x →存在，试问是否成立2
lim ()lim ()x x f x f x →→=？
解：（1）证明因为30
lim ()x f x →存在，设3
lim ()x f x A →=，则任给0ε>，存在10δ>
，使得当
10x δ<<时，有3()f
x A ε-<。

此时取310δδ=>，则当0x δ<<时，10δ<
<，
从而有3
()]f x A f A ε-=-<，故有3
00
lim ()lim ()x x f x A f x →→==。

（2）若若2
lim ()x f x →存在，2
lim ()lim ()x x f x f x →→=并不一定成立。

例如22
10
10()sgn()00,()sgn 0010
x x f x x x f x x x x >⎧≠⎧⎪=====⎨⎨=⎩⎪-<⎩
这里2
lim ()1x f x →=存在，但0lim ()x f x →不存在，但是0lim ()x f x A →=则2
lim ()x f x A →=。

3． 函数极限存在的条件
1． 叙述函数极限lim ()x f x →+∞
的归结原则，并应用它证明lim cos x x →+∞
不存在。

解 归结原则：设函数()f x 为定义在[,)a +∞上的函数，则lim ()x f x →+∞
存在的充要条件是：
对任何含于[,)a +∞且趋于正无穷的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →+∞
都存在且相等。

证明 由于cos x 在[0,)+∞上有定义，设2,2(1,2,)2
n
n x n x n n π
ππ'''==+=，则显然有
{}[0,),{}[0,)n n x x '''⊂+∞⊂+∞且lim lim n n
n n x x →+∞
→+∞
'''=+∞=+∞，， 但lim cos lim 11,lim cos lim 00n
n n n n n x x →+∞
→+∞
→+∞
→+∞
'''====，有归结原则知lim cos x x →+∞
不存在。

2．设f 为定义在[,)a +∞上的增（减）函数。

证明：lim ()x f x →+∞
存在的充要条件是f 在[,)
a +∞上有上（下）界。

证明 只证一种情况即可。

必要条件 由题设lim ()x f x →+∞
存在，设lim ()x f x A →+∞
=，取1ε=，存在0M >，当x M >时，
有1()1A f x A -<<+，又()f x 为[,)a +∞上的增函数，对任意的[,]x a M ∈时，有()()f x f M ≤。

取max{(),1}M f M A '=+。

则[,)x a ∈+∞时，()f x M '≤，所以()f x 在[,)a +∞上有上界。

充分条件 因为()f x 在[,)a +∞上有上界，则由确界原理可知，()f x 在[,)a +∞上有上确界，设[,)
sup ()x a A f x ∈+∞=，则对任意的[,)x a ∈+∞，有()f x A ≤，对任给0ε>，按上确界定义，
存在
[,)x a '∈+∞，使得()f x A ε
'>-，对一切
[,)x x '∈+∞，有
()()A f x f x A A εε'-<≤≤<+，即当x x '>时，()f x A ε-<，故lim ()x f x A →+∞
=。

3． （1）叙述极限lim ()x f x →-∞
的柯西准则；
（2）根据柯西准则叙述lim ()x f x →-∞
不存在的充要条件，并应用它证明lim sin x x →-∞
不存在。

解 （1）设()f x 在(,]a -∞上有定义，极限lim ()x f x →-∞
存在的充要条件是：任给0ε>，存
在正整数()M M a ->，使得对任何,x M x M '''<-<-，有()()f x f x ε'''-<。

（2）设()f x 在(,]a -∞上有定义，极限lim ()x f x →-∞
不存在的充要条件是：对某一00ε>，
对任何0M >，总存在,x M x M '''<-<-，使得0()()f x f x ε'''-≥。

以下用此充要条件来证明lim sin x x →-∞
不存在。

取
01
2ε=
，对任给0M >，记[]1n M M =+>，存在1(),2x n M x n M ππ'''=-+<-=-<-，使得01
sin sin 12
x x ε'''-=>=，故lim sin x x →-∞不
存在。

4． 设f 在00()U x 内有定义。

证明：若对任何数列0
0{}()n x U x ⊂且0lim n x x x →∞
=，极限
lim ()n n f x →+∞
都存在，则所有这些极限都相等。

证明 任何两个数列{},{}n n x y ，且有0
0{}()n x U x ⊂，00{}()n y U x ⊂，0lim lim n n n n x x y →∞
→∞
==，
由题知lim ()n n f x →∞
，lim ()n n f y →∞
都存在，设lim ()n n f x A →∞
=，lim ()n n f y B →∞
=，下证A B =。

考虑数列1122{},,,,,,,
n n n z x y x y x y ：。

易见0
0{}()n z U x ⊂且0lim n n z x →∞=，由题设知lim ()n n f z →+∞
存在。

于是作为{()}n f z 的两个子
列{()},{()}n n f x f y 必有相同的极限，由归结原则得出A B =。

即lim ()lim ()n n n n f x f y →∞
→∞
=的
值都相等，且{},{}n n x y 为任取的两极限为0x 的数列，得对所有以0x 为极限的数列结论成立。

5． 设f 为0
0()U x 上的递增函数。

证明：00(0),(0)f x f x -+都存在，且
0000()
()
(0)sup (),(0)inf ()x U x x U x f x f x f x f x +-∈∈-=+=。

证明 因为f 为00()U x 上的递增函数，取00
1020(),()x U x x U x -+∈∈。

（1） 对任意的00()x U x -∈。

由于2x x <，有2()()f x f x ≤，即()f x 在0
0()U x -上有上界，
由确界原理知()f x 在0
0()U x -上有上确界，记0
0()
sup ()x U x A f x -∈=。

于是任给0ε>，
存在0
0()x U x -'∈，使()f x A ε'>-，记00x x δ'=->，则当00
x x x x δ'=-<<时，有()()A f x f x A A εε'-<≤≤<+。

可见，当0
0(,)x U x δ-∈时，
()f x A ε-<，故有00
00()
lim ()(0)sup ()x x x U x f x f x A f x --→∈=-==。

（2） 对任意的00()x U x +∈。

由于1x x <，有1()()f x f x ≤，即()f x 在0
0()U x +上有下界，
由确界原理知()f x 在0
0()U x +上有下确界，记0
0()
inf ()x U x B f x +∈=。

于是任给0ε>，
存在0
0()x U x +''∈，使()f x B ε''<+，记00x x δ'''=->，则当00x x x x δ'''
<<+=时，有()()B B f x f x B εε''-<≤≤<+。

可见，当0
0(,)x U x δ+'∈时，
()f x B ε-<，故有0
00()
lim ()(0)inf ()x x x U x f x f x B f x ++→∈=+==。

6． 设()D x 为狄里克莱函数，0x R ∈。

证明：0
lim ()x x D x →不存在。

证明 狄里克莱函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩
当为有理数
当为无理数
法一 用柯西准则证明。

取012
ε=
，对任何0δ>，由有理数和无理数的稠密性可知，在0
0(,)U x δ中必有有理数x '和无理数x ''，即00
00(,),(,)x U x x U x δδ'''∈∈，使得()1,()0D x D x '''==，于是
0()()1D x D x ε''-=>，故()D x 在0x 不满足柯西准则条件，知0
lim ()x x D x →不存在。

法二 用归结原则证明。

由有理数和无理数的稠密性知，对任何自然数，有有理数0
01
(,)n x U x n
-'∈，有无理数
01(,),1,2,
n x U x n n
+''∈=，则得到有理数列{}n
x '和无理数列{}n x ''都以0x 为极限，即0lim lim n
n n n x x x →∞
→∞
'''==，使得lim ()1n n D x →∞
'=，而lim ()0n n D x →∞
''=，由归结原则知0
lim ()x x D x →不存在。

7． 证明：若f 为周期函数，且lim ()0x f x →+∞
=，则()0f x ≡。

证明 假设()f x 不恒等于0，则存在0x R ∈，使()0f x ≠，因()f x 为周期函数，不妨设周期为0l >，作数列0(2,3,
)n x x nl n =+=，则有lim n n x →∞
=+∞，但
00lim ()lim ()()0n n n f x f x f x →∞
→∞
==≠，根据归结原则，lim ()0x f x →+∞
≠，与题设矛盾，故
()0f x ≡。

8． 证明：设函数()f x 在点0x 的某空心右邻域0
0()U x +有定义，0
lim ()x x f x A +
→=的充要条件是：对任何以0x 为极限的递减数列0
0{}()n x U x +⊂，且0lim n n x x →∞
=，有lim ()n n f x A →∞
=。

证明 必要性 设0
lim ()x x f x A +
→=，由极限的εδ-定义知对任给的0ε>，存在0δ>，当00x x x δ<<+时，有()f x A ε-<；另一方面，设数列0
0{}()n x U x +
⊂，且递减趋于0x ，则对上述的0δ>，存在N ，当n N >时，有00n x x x δ<<+，从而有()n f x A ε-<，故lim ()n n f x A →∞
=。

充分性 设对任何递减数列0
0{}()n x U x +⊂，且0lim n n x x →∞
=，有lim ()n n f x A →∞
=，则可用反证
法推出0
lim ()x x f x A +
→=。

事实上，若0
lim ()x x f x A +
→≠，则存在某一正数0ε，不论0δ>多么小，总存在一点x ，尽管00x x x δ<<+，但有0()f x A ε-≥。

现依次取23n
δδδδδ'''
'=，，，，，取点12,,
,,
n x x x ，
则0010011
2
n n x x x x x x x n n δδδδ-'''
'<<+<<+<<+
<<-，
但0()(1,2,
)n f x A n ε-≥=。

显然数列0
0{}(,)n x U x δ+'⊂，且0lim n n x x →∞
=，即{}n x 是以0x 为极限的递减数列，且含于
00()U x +，但lim ()n n f x A →∞
≠，这与题设矛盾，故0
lim ()x x f x A +
→=。

4． 两个重要极限
1． 求下列极限：
（1）0sin 2lim x x x
→；（2）320sin lim (sin )x x x →； （3）2
cos lim
2
x x x π
π→
-
；（4）0tan lim
x x
x
→；
（5）30tan sin lim
x x x x →-；（6）0arctan lim x x
x
→； （7）1
lim sin x x x →+∞；（8）22sin sin lim x a x a x a →--；
（9）
0x →（10
）0x →
解（1）000sin 2sin 2sin 2lim
lim22lim 21222x x x x x x
x x x
→→→===⨯=。

（2）2
3323232300000
sin sin sin lim lim lim lim lim 1100(sin )sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→⎛⎫
=⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭。

（3）设2
t x π
=-
，则2
x π→
时相当于0t →，cos cos()2
x t π
=+
，于是
0002cos()
cos sin sin 2lim lim lim lim 12
t t t x t x t t t t t x ππ
π→→→→
+-===-=--。

（4）00000tan sin cos sin 1sin 1
lim
lim lim lim lim 111cos cos x x x x x x x x x x x x x x x x
→→→→→==⋅=⋅=⨯=。

（5）332000tan sin sin (1cos sin 1cos 1
lim
lim lim cos cos x x x x x x x x x x x x x x x
→→→---==⋅⋅⋅） 2
220000
2sin sin sin 1sin 111122lim lim lim lim 11cos 2cos 224
24
x x x x x x x x x x x x x x →→→→⎛
⎫ ⎪=⋅⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⋅⎝⎭。

（6）令arctan x t =，x tant =，当0x →时相当于0t →，于是
000arctan lim
lim lim cos 1tan sin x t t x t t
t x
t t →→→==⋅=。

（7）令1
t x
=，于是当x →+∞时，0y +→，于是有01sin lim sin lim 1x t t x x t +→+∞→===。

（8）
2
2
2cos
sin
sin sin (sin sin )(sin sin )22(sin sin )x a x a
x a x a x a x a x a x a x a
+-⋅-+-==
⋅+--- sin sin 222cos (sin sin )cos (sin sin )22222
x a x a x a x a x a x a x a x a --++=⋅
⋅+=⋅⋅+--⋅。

所以22
sin sin sin 2lim limcos lim lim(sin sin )22
x a x a x a x a
x a x a x a x a x a x a →→→→--+=⋅⋅+-- cos 1(sin sin )2sin cos sin 2a a a a a a =⋅⋅+==。

（9）
00sin 4sin 441)
lim lim 44x x x x x x x x x →→→==⋅
00
sin 4lim
lim 1)14284x x x
x →→=⋅=⨯⨯=。

（10
2222
22sin sin sin 2222sin sin 2222
x x x x x x -⎛⎫ ⎪===⋅ ⎪ ⎪⋅⎝⎭ 当2
02x π<<时，22
sin sin 22
x x =。

所以2
2200sin sin 22lim
lim 1cos 22
x x x x x x x -→→⎛
⎫ ⎪=⋅= ⎪- ⎪
⎝⎭ 2．求下列极限：
（1）2lim(1)x
x x
-→∞-；（2）1
0lim(1)x x x α→+（α为指定实数）；
（3）cot 0
lim(1tan )
x
x x →+；（4）1
01lim(
)1x x x x
→+-；
（5）2132lim (
)31x x x x -→+∞
+-；（6）lim (1)x
x x
βα→+∞+（αβ，为指定实数）。

解（1）2
2
222222lim(1)lim 1lim 122x x
x
x x x e x x
x
---→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪--⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

（2）1
110
lim(1)lim[(1)
][lim(1)]x x x x x x x x x e α
α
αααααα→→→+=+=+=。

（3）1tan cot 0
lim(1tan )
lim(1tan )
x
x
x x x x e →→+=+=。

（4）11
1(1)2121100001211
lim()lim(1)lim 1lim 11111111222x
x
x x x x x x x x x x x x -⋅+→→→→⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪+ ⎪
=+=+=+ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2
11
(1)222
001
2lim 1lim 1111112x
x x x e e x x -→→⎡
⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎛⎫ ⎪
=+⋅+=⨯= ⎪⎢⎥-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎢⎥- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣
⎦。

（5）311
2212133
3233lim ()lim (1)lim (1)313131
x x x x x x x x x x -⋅---→+∞→+∞→+∞+=+=+---
2
311
223333lim (1)lim (1)13131x x x e e x x --→+∞→+∞
⎡⎤=++=⨯=⎢⎥--⎣⎦。

（6）lim (1)lim (1)lim (1)x
x
x x x x e x x x αβ
αβ
βαβα
αααα→+∞→+∞→+∞
⎡⎤⎡⎤+=+=+=⎢⎥
⎢⎥
⎣
⎦⎣⎦。

3． 证明：20lim lim cos cos cos cos
122
2n x n x x x x →→∞
⎧
⎫
⎡
⎤=⎨⎬⎢⎥⎣
⎦⎩⎭。

证明2222
sin 2cos
sin 2cos cos sin 2cos cos cos
sin 22222
22
22
n n n x x x x x
x x x x
x ==== 所以2lim cos cos
cos cos
22
2n
n x x
x
x →∞
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
sin 1sin sin 2lim cos lim cos cos 2sin sin 22n n n n n n
x x x x x x x x x x x →∞→∞⎡⎤
⎢⎥=⋅⋅=⋅⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

从而000
sin sin lim cos lim limcos 1x x x x x
x x x x →→→⋅=⋅=。

所以20lim lim cos cos
cos cos
122
2n x n x x x x →
→∞
⎧
⎫
⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣
⎦⎩⎭。

4.利用归结原则计算下列极限： （1）n n
π
；
（2）211lim 1+
)n
n n n
→∞
+
（。

解：（1
）记函数()f x x
π
=，则有
sin lim
lim
0x x x x
x
π
π
π
==，故有归结
原则得=0n n
π。

（2）法一 令211()1+
)x
f x x x
=+（，则21121()1)x x x x
x f x x +⋅++=
+（。

22
2
11
lim
111
1
2221
11lim 1)=lim 1)=lim 1)x x x x x x x x
x
x x
x x x x x x x x e x
x x →+∞
+++⋅+++→+∞
→+∞→+∞⎡⎤
⎡⎤++++
++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦
（（（。

故有归结原则得2
11lim 1+
)n
n e n n →∞+=（。

法二2111
1+)1+)n n n n n
+>（（，另一方面，当1n ≥时，
2
2
111
122211111+)1)1)n n n
n n n n n n n n n n
++++++++=+≤+（（（，而由归结原则知：
11lim 1+)=lim 1+)n x n x e n x
→∞→+∞=（（。

2
2
2
1111122221111lim 1)=lim 1)lim 1)lim 1)n x x n x x n x x x n x x x e n x x x
+++++→∞→+∞→+∞→+∞++++++=+⋅+=（（（（。

由迫敛性原理可知：211lim
1+)n
n e n n
→∞
+=（。

5.无穷小量与无穷大量
1.证明下列各式：
（1）2
2()(0)x x O x x -=→；（2）3
+2
()(0)x O x x =→；
（3
1(1)(0)O x =→；（4）(1)1()(0)n
x nx O x x +=++→（n 为正整数）；
（5）2
2
3
2()()x x O x x +=→∞；（6）0(()(())(())()O g x O g x O g x x x ±=→； （7）12120(())(())(()())()O g x O g x O g x g x x x ⋅=→。

证明（1）因20002(2)
lim
lim lim(2)2x x x x x x x x x x →→→--==-=，由函数极限的局部有界性知，22x x x
-在0(0)U 内有界，所以2
2()(0)x x O x x -=→。

（2）
因+
+
+0
02
lim lim lim 1x x x x
→→→===，
2
x 在+0
(0)U
内有界，所以3+2
()(0)x O x x =→。

（3
）因0
1)10x →==
1(1)(0)O x =→。

（4）因为11
22
00(1)(1)
lim
lim n n n n n n x x x C x C x
x nx x x
--→→++++-+=
112
2
lim()0n n n n n x x C x C x ---→=+++=，故(1)(1)()(0)n x nx O x x +-+=→，
即得(1)1()(0)n
x nx O x x +=++→。

（5）因32321lim lim(2)202x x x x x x →∞→∞+=+=+=，由函数极限的局部有界性知，在某个()U +∞内323
2x x x
+有界，故223
2()()x x O x x +=→∞。

（6）任取1020()(())();()(())()f x O g x x x f x O g x x x =→=→， 则0
012()()
lim
lim 0()()
x x x x f x f x g x g x →→==， 从而有0
000121212()()()()()()
lim
lim lim lim 0()()()()()x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x g x g x g x g x g x →→→→⎡⎤±=±=±=⎢⎥⎣⎦
，所以 0(()(())(())()O g x O g x O g x x x ±=→。

（7）任取110220()(())();()(())()f x O g x x x f x O g x x x =→=→，
则0
01212()()lim
lim 0()()x x x x f x f x g x g x →→==，于是00012121212
()()()()
lim lim lim 000()()()()x x x x x x f x f x f x f x g x g x g x g x →→→⋅==⋅=⋅，
故12120(())(())(()())()O g x O g x O g x g x x x ⋅=→。

2.应用定理3.12求下列极限：
（1）1
arctan
lim cos x x x x x
→∞-；（2
）0x →。

解（1）因为1arctan
lim
11x x x →∞=，即11arctan ()x x x
→∞。

由定理3.12可得 111
arctan 0lim lim lim 0cos cos cos 10
1x x x x x x x x x x x x x x
→∞→∞→∞⋅
====----。

（2）因为2
2
00022
2sin sin
1cos 22lim lim lim 1111222x x x x x x x x
x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎝⎭。

即2
11cos (0)2
x x x -
→。

由定理3.12得
200002
211lim =lim lim 21111cos 1)
22
x x x x x x x x →→→→==⋅=-。

3.证明（1）设f 在0
0()U x 内有定义且不等于0,。

若f 为0x x →时的无穷小量，则
1f
为0x x →时的无穷大量。

（2）若g 为0x x →时的无穷大量，则
1
g
为0x x →时的无穷小量。

证明：（1）因为f 为0x x →时的无穷小量，即0
lim ()0x x f x →=，又f 在0
0()U x 内不等于0，
所以由极限四则运算法则有0
11
lim
()lim ()
x x x x f x f x →→==∞，即1()f x 为0x x →时的无穷大量。

（2）因为
g 为0x x →时的无穷大量，即0
lim ()x x g x →=∞，由极限四则运算法则有
1lim
0()x x g x →=。

即1
()
g x 为0x x →时的无穷小量。

4.求下列函数所表示曲线的渐进线：
（1）1
y x
=；（2）arctan y x =；（3）32342x y x x +=-。

解：（1）21lim
lim 0x x y x x →∞→∞==，得0k =，又1
lim()lim 0x x y kx x
→∞→∞-==，从而得0b =，所以此曲线的斜渐进线方程为0y =。

又因为01
lim x x
→=∞，所以此曲线有垂直渐进线0x =。

（2） 因为arctan lim lim 0x x y x x x →∞→∞==，得0k =，又++lim ()lim arctan 2
x x y kx x π
→∞→∞-==，得
12
b π
=
，由lim ()lim arctan 2
x x y kx x π
→-∞
→-∞
-==-
，得22
b π=-
，所以此曲线的渐进
线方程为2
y π
=±。

（3） 因为33
234lim lim 32x x y x x x x →∞→∞+==-，得3k =，再由2
246lim()lim 62x x x y kx x x
→∞→∞+-==-，得6b =，所以此曲线的斜渐进线方程为36y x =+。

又由332
3434
2(2)
x x y x x x x ++==--，所以有0
2
lim lim x x y y →→=∞=∞，，从而此曲线有两条垂直渐进线0x =和2x =。

5.试确定α的值，使下列函数与x α
当0x →时为同阶无穷小量。

（1）sin 22sin x x -；（2）
1
(1)1x x
--+；
（3
（4。

解：（1）因为当0x →时，sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin (cos 1)x x x x x x x -=-=-
22
3
4sin sin
4()2
2x x x x x =-⋅-⋅=-，从而300sin 22sin lim lim x x x x x x x α
α→→--=，当3α=时，
30sin 22sin lim
1x x x x
→-=-，故当当3α=时，sin 22sin x x -与x α
当0x →时为同阶无穷小量。

（2）2
001(1)1lim lim (1)x x x x x x x x αα→→--+=+，当2
α=时，2
001
(1)11lim lim 11x x x x x x →→--+==+，即当2α=时，
1
(1)1x x
--+与x α当0x
→时为同阶无穷小量。

（3
）0
0x x →→
= 0sin 1lim
cos x x x x
α→
=
，当1α=时，与x α
当
0x →时为同阶无穷小量。

（4
）00x x →→=25
α=时，
0055x x x x →→==故当25
α=
与x α当0x →时为同阶无穷小量。

6.试确定α 的值，使下列函数与x α当x →∞时为同阶无穷大量。

（1
（2）2(2sin )x x x ++；（3）2(1)(1)
(1)n x x x +++。

解：（1）
因为lim lim 1x x ===，所以当52α=
x α当x →+∞时为同阶无穷大量（当x →-∞。

（2） 因为当2x >时，221(2sin )12sin 12142x x x x x x
++<=++<++=，故2α=时，2
(2sin )x x x ++与x α当x →∞时为同阶无穷大量。

（3） 因为222(1)(1)(1)111lim lim(1)(1)(1)1n n n
x x x x x x x x x x x →∞→∞+++=+++=⋅。

所以当(1)122n n n α+=++
+=时，2(1)(1)(1)n x x x +++与x α当x →∞时为同阶
无穷大量。

7.证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列{}n x S ⊂，使得()n x n →+∞→∞。

证明：因为S 为无上界数集，则对任意的0M >，都存在x S ∈，使得x M >；取1M =，则存在1x S ∈，使得11x M >=。

取1max{2,}M x =，则存在2x S ∈，使得2x M >，即21x x >且22x >。

取2max{3,}M x =，则存在3x S ∈，使得33x >且32x x >。

依次继续往下，取1max{,}n M n x -=，则存在n x S ∈，使得n x n >，且1221n n n x x x x x -->>>
>>，（1,2,3n =），这样得到一个递增数列{}n x S ∈。

下证{}n x 为无穷大量（n →∞）：对任
给的正数M ，取[]1N M =+，则当n N >时，有n x n N M >>>，故lim n n x →∞=+∞。

8.证明：若f 为x r →时的无穷大量，而函数g 在某0
()U r 上满足()0g x k ≥>，则fg 为
x r →时的无穷大量。

证明：因为当x r →时()f x 为无穷大量，则任给0G >，存在0δ>，当0(,)x U r δ∈时，有()f x G >，又由函数g 在某0()U r 上满足()0g x k ≥>，则存在0001(,)=(,)()U r U r U r δδ，当01(,)x U r δ∈时，()()()()f x g x g x f x KG =>，所以，()()f x g x 为x r →时的无穷大量。

9.设0()()()f x g x x x →，证明：()()(())f x g x o f x -=或()()(())f x g x o g x -=。

证明：因为0()()()f x g x x x →，所以0()lim 1()
x x f x g x →=或0()lim 1()x x g x f x →=， 从而00()()()lim lim 10()()x x x x f x g x g x f x f x →→⎛⎫-=-= ⎪⎝
⎭（当00(),()0x U x f x ∈≠时），或 00()()()lim lim 10()()x x x x f x g x f x g x g x →→⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭
（当00(),()0x U x g x ∈≠时）， 可见()()(())f x g x o f x -=或()()(())f x g x o g x -=。