留数定理在定积分当中的应用

一绪论
1研究背景及意义
留数,也称残数,是指函数在其孤立奇点处的积分. 综观复分析理论的早期发展,这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义. 同时,它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段,通过函数的选取,积分路径的选取等等,求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况,为积分理论的发展奠定了充分的基础[1 ] .
1825 年,柯西(Cauchy) 在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中,基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题,并给出了关于留数的定义[2 ] . 随后,柯西进一步发展和完善留数的概念,形成了如下定义[3],
若函数f(z)在D（a，r）\｛a｝上全纯，其中r＞0.a为f （z）的孤立奇点，f（z）在a的留数定义为Res（f，a）
=
柯西所给的这一定义一直沿用到了现在,推广到了微分方程,级数理论及其他一些学科, 并在相关学科中产生了深远影响, 成为一个极其重要的概念. 因而很自然地产生了这样一个问题:柯西为什么要定义这一概念或者说,什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想,揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义.
二留数定理
2.1 留数的定义
如果函数f（z）在点a的邻域K：|z-a|＜R内解析，围线C全含于K（包围a或不包围a），则
但如果a是f（z）的孤立奇点，即f（z）在点a的去心邻域K-｛a｝：0<|z-a|<R内解析，围线C是K-｛a｝中包围a的围线，则上式不一定成立，故留数定义如下：
定义如果函数f（z）以a为孤立奇点，即f（z）在K-｛a｝：0<|z-a|<R中解析，则积分：|z-a|=
称为f（z）在点a处的留数或残数（residue），记作f（z），或简记为Resf（a）或Res（f，a）。

显然，只要，上述积分的数值与的大小无关．2.2 Cauchy 留数定理
利用Cauchy 积分定理，可以推出下面关于围线积分的
Cauchy 留数定理设函数f（z）在围线或复围线C所围成的区域D中有孤立奇点a1、a2、……、an，，此外f（z）在上解析，则有
.
利用Cauchy 留数定理，只要算出各孤立奇点处的留数，即可得出围线积分，所以关键在于计算留数．
2.3留数的算法
设a为f(z)的n阶极点,f(z)=,其中在点a解析，则
证：
推论 1 设a为f（z）的一阶极点则
.
推论 2 设a为f（z）的一阶极点, 则
.
三留数定理的应用
3.1用留数定理计算实积分
A.计算型积分
这里表并且在[0,2π]上连续.若命z=,则
,,。

例 1 计算积分
I=（0p1）
解命z=，当
p
这样就有 I=，且在圆|z|
，只以z=p为一阶极点，在|z|上无奇点，f（z）=.
所以，由留数定理得
B.计算型积分
引理 1 设f（z）沿圆弧（，R 充分大）上连续，且
于
（）.
定理 2 设f（z）=为有理分式，其中
P（z）=++……+()
与Q（z）=++……+()
为互质多项式，且符合要求：（1）n-m2；（2）在实轴上Q(z)0，于是有
C.计算型积分
引理 (若尔当引理) 设函数g(z)沿半圆周
(0)上连续,且
在上一致成立。

则=0（m0）.
定理设g（z）=，其中P(z)及Q(z)是互质的多项式，且符合条件：
（1）Q(z)的次数比P(z)的次数高，
（2）在实轴上Q(z)0，
（3）m
则有.
D.计算狄利克雷积分（Dirichlet）积分
解：由于被积函数是偶函数，所以=
设f（z）=，从而f（z）=
因为点z=0是f（z）的一阶极点。

所以
===
==
3.2 计算对数留数
积分它称为对数留数（这个名称来源于
）
引理 3.2.1（1）设a为f（z）的n阶零点，则a比为函数
一阶极点，并且
.
（2）设b为f（z）的m阶极点，则b比为函数一阶极点，并且
定理 3.2.2 设C是一条周线，f（z）符合条件：
（1）f（z）在C的内部是亚纯的；
（2）f（z）在C上解析且不为0.
则有式中分别表示f（z）在C内部的零点与极点的个数（一个n阶零点算作n个零点，而一个m阶极点算作m个极点）。

3.3 对数留数的推广
若函数f(z)满足引理3.2.1的假设,而函数g(z)在点a解析,则由
引理3.2.1可以得到如下更一般的结论.
定理3.3.1 (1)设为f(z)的阶零点,(z)在点解析,则
必为函数的一阶极点,
且
=();
(2) 设为f(z)的阶点,(z)在点解析,则必为函数
的一级极点,
且
=();
证明（1）如果为f(z)的阶零点，则在点的邻域内有f（z）
=g（z），其中g（z）在点处解析，且g（）
则，其中，都在点的邻
域内解析，故的一阶极点，则
=().
同理可以证出（2）。

定理 3.3.2 设函数f(z)在围线C上解析且不为零, f(z)在C的
内部除可能有的极点外是解析的，(z)在C内及C上解析, (k=1,2,…, p)为f(z)在C内部的不同零点,其级相应为; (j=1,2,…, q)为f(z)在C内部的不同的极点,其级相应为,则
有=-.
3.3.1推广后的对数留数定理在积分中的应用
例计算积分（a0）.
解设F(z)=，由=，得f（z）=，在上半平面内f（z）有阶零点z=ai，
所以=2πi··=πi，分离实部与虚部得
=π
再由偶函数性质得=π
由此可以看出，推广的对数留数定理可以计算形如
积分(n>0, f(x)是有理分式且在实轴上无零点)
3.4 通过留数定理推出其他的重要公式
3.4.1留数定理推出柯西-古萨定理
柯西-古萨定理陈述为: 如果函数f（z）在单连域B内处处解析, 那么函数f（z）沿B内的任一条封闭曲线L 的积分为
零:
证明 L是简单闭曲线，若曲线L是简单闭曲线, 由于f (z ) 在单连域B内处处解析, 所以f (z ) 在曲线L 内的各点(k = 1, 2, ⋯, n) 处的洛朗展开式就是泰勒展开式, 由留数的定义得Res[f(z), ] = 0, (k = 1, 2, ⋯,n),所以
若不是简单闭曲线的时候，可以把L分成若干个简单闭曲线，利用复积分的性质。

很快得出柯西-古萨定理
3.4.2留数定理推出高阶导数公式
高阶导数公式可叙述为:=（），（n=2，3，…），其中C是环绕的
任何一条正向简单闭曲线,f（z）在C所围成的闭区域上处处解析。

证明分两种情况讨论
（1）若f（），则函数的n阶极点，则
Res[,]=[
]=（）.
=（）
（2）若为f（z）的m阶零点，则f（z）=
在z=处解析，且.
当m，
从而，的可去奇点，故Res[,]=0.所以
=0
又因为为f（z）的m阶零点，所以=0，（k=0，1，2，…，m-1），因为m，所以=0，故
=（）。

当m，为的（n-m）阶极点，我们可以认为为
的n阶极点，则
Res[,]=[]=
（），所以就有
==（）. 所以，留数定理也可以推出解析函数的高阶导数公式。

3.4.3留数定理推出柯西积分公式
柯西积分公式可陈述为: 其中C是环绕的任何一条正向简单闭曲线,f（z）在C 所围成的闭区域上处处解析. 柯西积分公式可看作是高阶导数公式的特殊情形(取n = 1) , 由3.4.2的证明过程不难看出柯西积分公式同样可由留数定理推出.。