公开课-313空间向量的数量积运算 -

ur ur r r ur r ur r r g xm yn , l g xl m yl n ,
l
r ur r ur
r
Q l m 0, l m 0 ,
r ur
r ur
l g 0,即l g.
gl
m
ur
n
r n
ur m g
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
题型三 利用数量积求两点间的距离
l
r
gl
m
ur
n
r n
ur g
m
例3:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l⊥ .
解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在l, m, n, g
上取非零向量
r l,
ur m,
r n,
ugr,因m与n相交,故向量m
,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数(x, y),使
[思路探索] 可先求向量O→A与B→C的夹角，再根据异面直线的
夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．
解 因B→C＝A→C－A→B，
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
求证： l PA
分析：用向量来证明 两直线垂直，只需证 明两直线的方向向量 的数量积为零即可！
P
r
O A a
l
例2 已知: PO , AO为 射影, l , 且l OA
求证：l PA
证明：在直线l上取向量
r a
r uuur ,只要证 a PA 0
r uuur r uuur
Q a PO 0 , a OA 0
a2＝|a|2＝9
(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2
＝9＋6 3－32
＝6 3－23.
r
r
2.已知 a 2 2 , b
2
rr ,ab
2,
则
r a
r 与b
2
的夹角大小为_1_3_5__o.
题型一 利用数量积求夹角
【例1】
如图，在空间四边形OABC中，OA＝ 8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝ 45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的 余弦值．
r
,则 a
rr
kr b
③ (a b) c a (b c)
1.向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，
| b |＝4，则a·b ＝__________， a2＝ __________， (a＋2b)·(a－b)＝__________.
[解析] a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos30°＝6 3；
规律方法 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向 量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将 此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量 的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝ a·a求解即可．
课堂小 结：
空间向量数量积：a·b ＝|a||b|cos〈a，b〉
2）两个向量的数量积
rr rr rr
rr
已知空间两个向量a,b，则 a b cosa,b叫做向量a,b的数量积，
rr 记作：a b,即
r r rr rr a b a b cosa,b
注：
①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②零向量与任意向量的数量积等于零。
③数量积的几何意义：
r r rr
r
rr
【例4】如图所示，平行六面体ABCD－
A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝ 3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1 ＝60°，求AC1的长． [思路探索] 利用|A→C1|2＝A→C12＝(A→B＋A→D＋A→A1)2 求解． 解 因为A→C1＝A→B＋A→D＋A→A1，
所以A→C12＝(A→B＋A→D＋A→A1)2 ＝A→B2＋A→D2＋A→A12＋2(A→B·A→D＋A→B·A→A1＋A→D·A→A1)．
可利用数量积解决立体几何中的以下问题： 1、求两直线所成角. 2、证明两直线垂直; 3、求两点之间的距离或线段长度;
作业
P98 A组 3 4 5 B组 1 2
课后练习：
A1
C1
2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
若AB= 2BB1,则AB1与C1B所成角
的大小为( B )
A
A.60o B. 90o C. 105o D. 75o
3.共面向量的基本定理： 如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量
a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，
使 p=xa+yb 。
复习：
4．平面向量的夹角：
b
B
a
O
A
3.1.3空间向量的数量积运算
1） 空间两个向量的夹角的定义
思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？
2、〈a，b〉与〈a，－b〉相等吗？ 注意：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉
3.1.3空间向量的数量积运算
禄劝一中 林丽
问题探究
探究： 如图, m、n是平面内的两
条相交直线, 如果l m, l n
求证：l
l
m
n
复习：
1.空间向量的加减法运算
（1）向量的加法：
ab
b
a
平行四边形法则
ab
a
三角形法则
复习：
ab
（2）向量的减法:三角形法则 b
a
2. 相等向量：
方向 相同 且模相等 的向量称为相等向量
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
2 .
即 OA 与 BC 所成角的余弦值为3－52
2 .
题型二 利用数量积证明垂直关系
【例2】 已知: 如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，AO 是 PA在
平面 内的射影， l ，且 l OA，
4)空间向量的数量积满足的运算律
r r rr
1) (a) b (a b)(结合律)
rr rr 2) a b b a (交换律）
r r r rr rr 3）a (b c) a b a c (分配律）
思考:下列命题成立吗?
①若ar
r b
r a
r c
rr
②若 a b k
rr r r
rr ,则b c
B1
C B
3.已知在平行六面体 ABCD ABCD 中，AB 4 ,
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60 ,
求对角线 AC 的长。
D'
C'
uuuur | AC | 85
A'
B'
D C
A
B
a的模|a|与b在a上投影 | b | cos a,b 的乘积
3)空间向量的数量积性质:
rr
对于非零向量 a , b，有：
rr (1) cosa,b
rr ragbr
（求角的依据）
ab
r r rr (2) a b a b 0 （证明垂直的依据）
r2 r r (3) a a a
（求向量的长度的依据)
Байду номын сангаас
r uuur r uuur uuur
a PA a (PO OA) r uuur r uuur
P
a PO a OA
r
r uu0ur a PA,即l PA .
O A a l
例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以〈A→B，A→D〉＝90°，〈A→B，A→A1〉＝〈A→D，A→A1〉＝60° 所以A→C12＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为A→C12＝|A→C1|2， 所以|A→C1|2＝23，|A→C1|＝ 23，即 AC1＝ 23.