阶线性常系数齐次差分方程及其应用PPT

fn2 fn1 fn
(3.3.3)
以及初始条件
f0 0, f1 1
(3.3.4)
容易计算出：f2 =1，f3 =2，f4 =3，f5 =5，f6 =8，f7 =13，
f8 =21，f9 =34，f10 =55，f11 =89，f12 =144，f13 =233……
也就是说，在第二年初，围栏内共有 233 对兔子.
由图 3.4 可以找出平衡点稳定的条件. 平衡点 P0 是否稳定由需求曲线 f 和供应曲线 g 在 P0 附近的形状 决定.
用 K f 和 Kg 分别记曲线 f 和 g 在 P0 的斜率的绝对 值，则当 K f K g 时 P0 稳定，当 K f K g 时 P0 不稳定.
14
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
fn
，
平衡点 0 不稳定.
7
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
1. 问题提出
在市场上常见这样的现象：一段时期猪肉供过于 求，销售不畅致使价格下跌，生产者发现养猪赔钱， 转而经营其它农副业；过一段时间猪肉上市量大减， 供不应求，价格上涨，生产者看到有利可图又重操旧 业. 这样下一个时期又会重现供过于求，价格下跌， 如果没有外来干预，这种现象将如此循环下去.
为了满足初始条件(3.3.4)式，必须有
解得 c1,2 1
c1 c2 0
1 2
5
c1
1 2
5
c2
1
5 ，于是(3.3.3)式满足初始条件(3.3.4)式
的特解为 fn
1 1 5 n 5 2
1 5
1 2
5
n
.
因为 1
1.618 1 ，
2
0.618 1 ，所以 lim n
第3章 差分方程模型
3.3节 二阶线性常系数 齐次差分方程及其应用
1
3.3.1 二阶线性常系数 齐次差分方程
二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为
xk2 axk1 bxk , k 0,1, 2,
(3.3.1)
其中 a 和 b 为常数，b≠0. 为了讨论方便，还假设
a2 4b 0 . 如果等比数列{ k } (λ≠0)是(3.3.1)式的解，
11
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
3.模型一（蛛网模型）
在 x~y 直角坐标系画出需求曲线和供应曲线，两 条曲线相交于点 P0 (x0, y0 ) ，称为平衡点. 一旦第 k 时 段的上市量 xk x0 ，则 yk y0 ，xk1 x0 ，yk1 y0 …… 即以后的上市量和价格永远保持在平衡点 P0 .
x0 x1
c1
c11
c2
c22
可以唯一的确定常数 c1 和 c2 ，使数列{xk } 是(3.3.1)式
在给定初始值 x0 和 x1 之后的唯一解.
如果 a+b≠1，则(3.3.1)式有且仅有平衡点 x=0. 当
1 1且 2 1时，平衡点 x=0 是渐进稳定的.
3
3.3.2 斐波那契数列
10
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
3.模型一（蛛网模型）
下一时段的上市量 xk 1 由上一时段的价格 yk 决 定，记作 xk1 h( yk ) ，或记作
yk g(xk1) 其中 g 是 h 的反函数，反映生产者的供应关系，称为 供应函数，其函数图象是一条上升曲线，称为供应曲 线，因为价格越高，生产量（下一时期的上市量）就 越大.
5
3.3.2 斐波那契数列
下面求(3.3.3)式的一般解和满足(3.3.4)式的特解.
(3.3.3)式的特征方程为 2 1 0 ，其特征根为
1,2 1 5 2，因此(3.3.3)式的一般解为
n
n
fn
1 c1 2
5wk.baidu.com
c2
1 2
5
其中 c1 和 c2 是任意常数.
6
3.3.2 斐波那契数列
问题 在一年之初把一对一雌一雄新生的兔子放入围 栏，从第二个月开始，母兔每月生出一对一雌一雄的 小兔；每对新生的兔子也从它们第二个月大开始，每 月生出一对一雌一雄的小兔. 求一年后围栏内有多少 对兔子？
4
3.3.2 斐波那契数列
解答 令 fn 表示在第 n 月开始时围栏内的兔子
对数，则 fn 满足二阶差分方程
9
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
3.模型一（蛛网模型）
把时间离散成时段，一个时段相当于一个生产周 期，记商品在第 k 时段的上市量为 xk ，价格为 yk . 按 照经济规律，价格 yk 取决于上市量 xk ，记作
yk f (xk ) f 反映消费者的需求关系，称为需求函数，其函数图 象是一条下降曲线，称为需求曲线，因为上市量越大， 价格就越低.
4. 模型二（差分方程模型）
在 P0 附近用直线近似需求曲线和供应曲线，于是 需求函数 f 在 P0 附近可以用一次函数近似表示为
yk y0 xk x0 , ( 0, k 1, 2,) (3.3.5)
但是实际上由于种种干扰使得上市量和价格不 可能保持在 P0 ，不妨设 x1 偏离 x0 ，利用需求曲线和供 应曲线分析 xk 和 yk 的变化趋势，可发现 P0 有渐进稳定 或不渐进稳定两种情况. 此图形模型称为蛛网模型.
12
图3.4 蛛网模型示意图
13
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
3.模型一（蛛网模型）
则 λ 必满足一元二次方程
2 a b 0
(3.3.2)
(3.3.2)式及其根分别称为(3.3.1)式的特征方程和特征
根. 因为 a2 4b 0 ，所以(3.3.2)式有两个互异的根 1 和 2 ；又因为 b≠0，所以 1 0 且 2 0 .
2
3.3.1 二阶线性常系数 齐次差分方程
(3.3.1)式的一般解为 xk c11k c22k , k 0,1, 2, , 其中 c1 和 c2 为任意实数. 给定初始值 x0 和 x1 以后，从 代数方程组
8
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
2. 问题分析
商品在市场上的数量和价格出现反复的振荡，是 由消费者的需求关系和生产者的供应关系决定的. 一 方面，这一时期的价格取决于上市量，上市量越多价 格越低；另一方面，下一时期的上市量又取决于这一 时期的价格，价格越低上市量越少.
进一步观察还发现上市量和价格的振荡有两种 完全不同的形式，一种是振幅逐渐减小趋向平衡，另 一种是振幅越来越大，如果没有外界干预，将导致经 济崩溃.