第一型曲线积分

x x 1 4 x 2 dx
0 0 1
1
y
B(1,1)
y x2 L
1 (1 4x 2 ) 12 1 ( 5 5 1) 12
3
2
1
0
o
1x
2 2 2 2 2 例2. 计算I ( x y )d s , 其中 L 为 x y a , x 0, y 0所围区域 L y 的整个边界.
i 1 k
k
c
L i 1
i
f i ( x , y )ds ci f i ( x , y )ds .
i 1 L
k
2. 若曲线段 L 由曲线 L1 , L2 ,, Lk 首尾相接而成,

Li
f ( x , y )ds ( i 1,2,, k ) 都存在, 则 L f ( x , y )ds
L
它只与被积函 注:曲线积分也是一个确定的常数， 数f(x,y)及积分弧段L有关.
2.第一型曲线积分性质
ci ( i 1, 2, , k )为 1. 若 L f i ( x , y )ds( i 1, 2, , k )存在，
常数, 则 L ci f i ( x , y )ds 也存在, 且
b

• 对光滑曲线弧
• 对光滑曲线弧
L f ( x, y)ds
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
近似值 精确值
取极限 M lim
( i ,i ) si .
定义1 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f ( x , y ) 为
定义在 L 上的函数. 对曲线 L 做分割 T ,它把 L分成
n 个可求长度的小曲线段 Li ( i 1, 2, , n), Li 的弧长
记为 si , 分割 T 的细度为 || T || max si , 在 Li 上任取
2
1 3 a， 3
A o y0 a
a 2
x
注：第一类曲线积分的对称性
1.若L关于y轴对称，则 0， f ( x, y ) f ( x, y)， L f ( x, y)ds 2 f ( x, y )ds，f ( x, y ) f ( x, y )，
L1
y
L
L1
解: L OA OB AB (1) OA : y 0,0 x a，
I1 x ds x 2 1 0dx OA
2
Ｂ
x0
x2 y2 a2
a
0
1 3 (2) OB : x 0,0 y a， I 2 OB y ds 0 y 1 0dy a . 3 (3) AB : y a 2 x 2 ,0 x a I 3 a 2ds a 2 1 2 a . AB 4 1 3 1 3 1 3 2 1 所以 I I1 I 2 I 3 a a a ( )a 3 3 3 2 3 2
f ( x, y , z ) d s
2. 性质
(1)
f ( x, y , z ) g ( x, y , z ) d s g ( x, y, z )ds ( , 为常数 ) L (2) f ( x, y, z ) ds f ( x, y, z ) ds f ( x, y, z ) ds
[c , d ] 上有连续导函数时, (3)式成为

L
f ( x , y )ds f ( ( y ), y ) 1 2 ( y )dy.
c
d
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
例6. 计算
2 2 x y 其中为球面
与平面 x z 1 的交线 . z2 9 2 1 ( x 1 ) 2 1 y 2 1 解: : 2 2 4 , 化为参数方程 x z 1 x 2 cos 1 2 0 2 : y 2 sin z1 2 cos 2
也存在, 且

L
f ( x , y )ds f ( x , y )ds .
i 1 Li
k
3． 若 f ( x , y )ds 与 g ( x , y )ds都存在, 且在 L 上
L L
f ( x , y ) g( x , y ), 则

且
L
f ( x , y )ds g ( x , y )ds .

L
f ( x , y )ds .
(1)
若 L为空间可求长曲线段 , f ( x , y , z ) 为定义在 L上
的函数, 则可类似地定义 f ( x , y , z )在空间曲线 L 上
的第一型曲线积分, 并且记作

L
f ( x , y , z )ds .
(2)
曲线形构件的质量
M ( x , y )ds.
1 i n
一点 ( i ,i ) ( i 1, 2, , n). 若有极限
||T || 0
lim
f ( , )s
i 1 i i
n
i
J,
且 J 的值与分割 T 与点 ( i , i ) 的取法无关, 则称此
极限为 f ( x , y ) 在 L 上的第一型曲线积分, 记作
L
y
3
o
2x
提示: 利用对称性
L 2 xy ds 0
x2 y2 原式 = 12 ( )ds 12 ds 12a L 4 L 3
分析:
L
2 xy ds
L上
2 xy ds
L下
2 xyds
2x
2 x( )
内容小结
1. 定义
L f ( x, y) ds
o
ds d y dx x x
当曲线 L由方程 y ( x ), x [a , b] 表示, 且 ( x ) 在
[a , b] 上有连续的导函数时, (3)式成为

L
f ( x, y )ds f ( x, ( x )) 1 2 ( x )dx;
a
b
当曲线 L由方程 x ( y ), y [c , d ] 表示, 且 ( y )在
第二十章 曲线积分
§1 第一型曲线积分
本节将研究定义在平面或空间曲线段 上的第一型曲线积分 . 此类积分的典型物 理背景是求非均匀分布的曲线状物体的 质量.
一、第一型曲线积分的定义 二、第一型曲线积分的计算
一、问题的提出
实例1:求曲线形构件的质量
y
( i , i )
B
( x, y )(连续) 设线密度为：
基本思路: 求曲线积分
转化

L
f ( x, y )ds f ( ( t ), ( t )) 2 ( t ) 2 ( t )dt . (3)


说明: (1) sk 0, (2) 注意到
因此积分限必须满足 !
y
ds (d x) 2 (d y ) 2 2 (t ) 2 (t ) d t

L
f ( x , y )ds
“一定限”:小的是下限, 大的 是上限.
2 2 化为： f [ ( t ), ( t )] ( t ) ( t )dt .


例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: L : y x 2 ( 0 x 1 )
对弧长的曲线积分的计算步骤：
(1)画出积分弧段的图形； (2)将积分弧段用参数方程表示； (3)用“三代一定”的方法把线积分化为定积分. 如：L : x (t ), y (t ) ( t ) “一代”x (t )； “二代”y (t )；
“三代”ds 2 ( t ) 2 ( t )dt；
均匀之质量 M s. 分割 M1 , M 2 ,, M n1 si , o 近似 取 ( i ,i ) si , 求和 M
n i 1 i i
n
L M n 1
Mi
M2
A M1
M i 1
s i
x
( , ) s .
i
0
i 1
M i ( i ,i ) si .
利用对称性 , 得
4
)
o
x
4 4 a cos
0
r 2 ( ) r 2 ( ) d
4

0
4 a 2 cos
d
例4. 计算曲线积分
线
其中为螺旋
的一段弧.
解:

( x 2 y 2 z 2 ) ds
a k
2
2
0
2
[a 2 k 2 t 2 ] d t
L1
O
4.若L关于y x轴对称，则

L
f ( x , y )ds f ( y , x )ds.
L
L
x
例3. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
y
(0

L1 : r a cos 2
则

ds

( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
思考与练习
作业：P201 1(2)(3)(4)(7);2
x2 y2 1周长为a , 求 1. 已知椭圆 L : 4 3 2 2 ( 2 xy 3 x 4 y ) ds 2
推广: 设空间曲线弧的参数方程为 则


: x (t ), y (t ) , z (t ) ( t ) f ( x, y , z ) d s

f ( (t ) , (t ), (t ) ) 2 (t ) 2 (t ) 2 (t ) d t
1
(3)
ds l
( l 曲线弧 的长度)
( 由 2 组成)
2
3. 计算 • 对光滑曲线弧
L L
f ( x, y ) ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t f ( x, y ) ds f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
L
这里 inf f ( x , y ) c sup f ( x , y ).
二． 第一型曲线积分的计算
计算定积分 x ( t ), t [ , ], 定理20.1 设有光滑曲线 L : y ( t ),
f ( x , y ) 为定义在 L 上的连续函数, 则
L
|ds 也存在, 4． 若 L f ( x , y )ds 存在,则 L |f ( x , y ) | f ( x , y )ds | | f ( x , y ) | ds.
L L
5． 若 L f ( x , y )ds 存在, L 的弧长为 s, 则存在常数
c, 使得

L
L
f ( x , y )ds cs ,
O y x
2.若L关于x轴对称，则 0， f ( x, y ) f ( x, y)， L f ( x, y)ds 2 f ( x, y )ds，f ( x, y ) f ( x, y )，
L1
L L1
x
y
O
3.若L关于原点对称，则 0， f ( x, y) f ( x, y)， L f ( x, y)ds f ( x, y ) f ( x, y )， 2 L1 f ( x, y )ds，
2 a 2 k 2 (3a 2 4 2 k 2 ) 3
例5. 计算
其中为球面 所截的圆周.
被平面
解: 由对称性可知
2

2 2 x 2 ds y ds z ds
1 x d s ( x 2 y 2 z 2 ) ds 3 1 2 1 2 a ds a 2 a 3 3 2 3 a 3