数学物理方法课件(北师大版)

讨论：柯西-黎曼条件表明，复变函数的实部和虚部是 密切相关的，或者说不是任意复变函数都可导！
5. 常见复变函数的导数：
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导， 那么
df(z) u i v v i u dz x x y y
de z ez dz
dLnz 1 dz z
1) u , u , v , v 在(x, y)点处存在且连续； x y x y
2） 在(x, y)点处满足柯西 - 黎曼条件： 证明要点：考虑
复变函数分别沿x
u v , x y
v u . x y
和y方向求导，它 们应当相等！
B. 极坐标下的柯西-黎曼条件：
u 1 v ,
1 u v .
《数学物理方法》
杨师杰 北京师范大学物理系 yangshijie@tsinghua.org.cn
课程规则
• 学习要求：
A. 了解复变函数和特殊函数的基本性质； B. 掌握偏微分方程的基本计算方法； C. 勤动手，多做习题；
• 综合成绩：100分
• 期末考试：40% • 期中考试：30%
老师办公室： 科技楼C区721
dw df (z0 ) dz(t0 )
dt tt0
dz
dt
dz(t)/dt和dw(t)/dt分别是曲线C在z0点及映射曲线C’在
w(z0)点切线的斜率，导数f’(z0)的幅角即是Arg f’(z0)是映
射曲线C’ 对于曲线C在z0点幅角的增加值。
Arg[f'(z0)]
w=f(z)
B. 保角映射：z平面上两条相交的参数
得▽2u=0， ▽2v=0。
因此u和v称作共轭调和函数。
f(z) z2
f(z) sinz
实部
虚部
实部
虚部
3. 已知实部或虚部，可以求出解析函数；
例1：已知某解析函数 f(z)的实部u(x,y)=x2-y2，求该解
析函数。p14
首先验证u(x,y)
例2*：已知某解析函数 f(z)的虚部。 是调和函数！
无穷远点
例题：
1.
设z1 5 5i,
z2
Baidu Nhomakorabea3
4i, 求
z1 z2
和
z1 z2
* .
2. 设z1 x1 iy1,z2 x2 iy2为两个任意复数， 证明：z1z2 z1z2 2Re(z 1z2).
3. 求(1 i)100和4 1 i.
4.
将过两点z 1
x1
iy1,z2
x2
iy
6. 境界点：如果在z0的邻域内，既有属于E的点，也有 不属于E点，则称z0 为该点集的境界点；它既不是E 的内点，也不是E的外点。境界点的全体称作境界线。
7. 连通性：点集中任意两点都可以用属于点集的一条 连续的曲线连接起来。
8. 区域：平面点集B称为一个区域，如果它满足下列两 个条件：I. B是开集，或者说B完全由内点组成；II. B是连通的。
2u x2
2u y2
| f(z) |2
2u
2
2u
2
§1.5 多值函数
lim f(z) A
zz0
2. 注意！由于z是复数，因此可以从复平面的不同方向 趋于z0 ，存在极限的定义表明他们使函数w趋于同一 个极限值A。如果极限值不同，则函数不存在极限！
例1.
求limzz z1
2z z z2 1
2的极限。
例2. 证明极限limz 不存在。 z0 z
• （二）复变函数的连续性
d si nz dz
cos z
dcos z dz
sinz
dsinhz coshz dz
d cosh z dz
sinhz
非常类似 实变函数 的求导！
6. 导数的几何意义：
A. z平面上的参数曲线C(t)：z=z(t)，经过w=f(z)映射后， 成为w平面上的参数曲线C’(t)=f(C)：w=w(t)。
9. 闭区域：区域B及其境界线所组成的点集称作闭区域， 以B表示。
（三）复变函数举例：z x iy
1. 指数函数： ez ex cosy isiny
ez ex, Argez y
e e e z1 z2
z1 z2
ez2i ez
思考：指数函数是周期函数？
2. 三角函数和双曲函数：
sinz 1 (eiz eiz), 2i
E
w=f(z) B
（二）区域的概念：
1. 邻域：复平面上以z0为中心，以任意小ε为半径的圆， 其内部的点所组成的集合，称为z0的邻域。
2. 内点和开集：如果z0及其邻域的所有点都属于E，那 么称z0为E的内点。如果E内的每一个点都是它的内 点，那么称E为开集。
3. 外点：如果z0及其邻域的所有点都不属于E，那么称 z0为E的外点。
• （三）复变函数的导数：
注意，可导同
样与Δz的趋近 方式无关！
1. 设w=f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某
点z0，极限
lim Δw lim f(z) f(z0)
Δz Δz0
zz0
z z0
存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为函 数f(z)在z0点处的导数或微商，记为
r1r2exp[i(θ1 θ2)]
两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加；
4. 除法运算：
z1 z2
x1x2 y1y2 x22 y22
i
x1y2 x22
x2y1 y22
r1 r2
cos(θ1
θ2) isin(θ1
θ2)
r1 r2
exp[i(θ1
θ2)]
两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减；
A. 实部和虚部在B内可导； B. 实部和虚部在B内每一点满足柯西-黎曼条件。
（二）解析函数的主要性质
1. 设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则u(x,y)=C1， v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线族；
证明：将柯西-黎曼条件两边相乘，即可得到▽u˙▽v=0.
f(z) z2
1. 我们称函数w=f(z)在z=z0点连续，如果它满足
A. f(z0)存在；
B. lim f(z)存在;
zz0
C.
lim f(z)
zz0
f(z0).
定理：设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z0=x0+iy0，那么f(z) 在z=z0点连续的充分必要条件是函数u(x,y)和v(x,y) 都在(x0,y0)点连续。
5. 共轭运算：复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy；
2Re[z]=z+z*, 2i Im[z]=z-z*, |z|2=z z* (z1z2)*=z1*z2*
（三）复球面：
1. 将复平面上的点和球面上的点一 一对应，称作测地投影，即 {x,y}{θ,φ}.
2. 设球的半径为1，则 r=2ctanθ, x=2ctanθ cosφ, y= 2ctanθ sinφ.
v(x, y) x x2 y2 ,
求该解析函数。p15
注：采用极坐标系求解。
4. 解析函数的变换性质：
A. 解析函数将z平面上的区域变为w平面上的区域;
B. 解析函数是一个保角映射。
y
v
π/3 O
y ia
O
f(z)=z3 x
f (z) z ia z ia
x
π
O
u
v
O
u
5*. 在解析变换下，调和方程式的形式保持不变：
（二）复数的运算：
1. 加法运算：设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数，则 z1 + z2 =(x1 + x2) +i(y1 + y2)；
2. 复数加减法满足平行四边形法 则，或三角形法则；
3. 乘法运算： z1z2 (x1x2 y1y2) i(x1y2 x2y1)
r1r2 cos(θ1 θ2) isin(θ1 θ2)
y
1+i
-1 O -i
2x
例2. 求解sinz=0及sinz=2的全部根。
z n 0, 1, 2,
z iln(2
3)
π 2
2nπ，
n 0, 1, 2,
§1.3 复变函数的导数
• （一）复变函数的极限
1. 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0<|z-z0|<δ内，如 果对于任意小的δ，存在一个数 ε，使得| f(z)-A |< ε， 则称A为f(z)在z趋向于z0时的极限，记为
4. 对数函数：
lnz lnz iargz 2kπ,
其中argz是z的主幅角。
对数函数 也是多值 函数！
k 0, 1, 2,
Lnz lnz iargz被称为lnz的主值。
多值函数：对于函数w=lnz，给定一个z值，有无穷 多个w值！
例1：计算主值：Ln2， Ln(-1) ，Ln(-i)，Ln(1+i)。
f(z) ez
红:实部 兰:虚部
2. 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析函数，
则u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数。
所谓调和函数，即如果某函数u(x,y)在区域B上有二阶
连续导数，且满足拉普拉斯方程▽2u=0.
证明：由柯西-黎曼条件，两边对x或y求导数再相加，
（一）复数的概念：
1. 形如z=x+iy的数被称为复数，其中i为虚数单位， i2=-1，x , y∈R。
2. x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部。 3. 复数相等：z1=z2，当且仅当Rez1= Rez2及Imz1=
Imz1； 4. 复平面：模 |z| r x2 y2 主值
幅角 θ 2kπ argz Argz 5. 指数表示：z=x+iy=r(cosθ+i sinθ)=reiθ. （欧拉公式）
zz0 r exp(i) zz0 s
§1.4 解析函数
复变函数中我
们将主要研究 解析函数。
（一）解析函数的概念
1. 设函数w=f(z)在点z0的邻域内处处可导，则称函数
f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点都 解析，则称f(z)在区域B内是解析函数。 2. 解析与可导的关系；函数在某点解析，则必在该点 可导；反之不然。区域B内的解析函数必在B内可导。 3. 函数的不解析点为奇点。 4. 解析函数的充分必要条件：函数 f(z) 在区域B内解 析，当且仅当
1. 设E是一个复数z=x+iy的集合。如果对于集合E中的每 一个复数z，有一个或多个复数w=u+iv与之对应，那 么称复变数w是复变数z的函数，或复变函数，记为 w=f(z), z∈E。
2. 如果z的一个值对应着唯一的一个w值，那么我们称
f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多个w的值，那
么我们称f(z)是多值函数。
• 平时成绩：30%
1. 课堂考勤15%：缺课一次扣1分。 2. 课后作业15%：缺交一次扣1分。
上篇 复变函数 下篇 数学物理方程
第一章 复变函数及其导数
§1.1 复数及运算 §1.2 复变函数 §1.3 复变函数的导数 §1.4 解析函数 §1.5 多值函数 §1.6 平面标量场
§1.1 复数及运算
的直线方程
2
用复数形式来表述。
思考：复平面上两点的中垂线方程？
交换律
倍运算
自然数 整数
加法
减法 负数
逆运算
乘法 倍运算
逆运算
除法
非交换律 矩阵 乘方 开方
有理数
分数 实数
无理数
复数
数的演进和运算法则 超复数
虚数
四元数
？？
运算律？
§1.2 复变函数
（一）复变函数的定义：
这些定义与 实变函数的 定义一致！
sinhz 1 (ez ez), 2
cosz 1 (eiz eiz); 2
coshz 1 (ez ez); 2
注意：|sin z|和|cos z|可以大于1. 3. 根式函数：
根式函数 是多值函 数！
z
r cos
θ
2kπ 2
isin θ
2kπ 2
其中z reiθ reiθ2kπ, k 0,1, θ是主幅角。
C1
曲线C1和C2，经过函数w=f(z)映射到w
C2
平面上，则曲线f(C1)和f(C2)的夹角保
持不变。
C. 导数f‘(z0)的模|f’(z0)|是经过w=f(z)映射后，通过z0的 任何曲线在z0的伸缩率.
w=f(z)
lim f(z) f(z0) lim exp(i) lim ei()
zz0 z z0
d dz
w1 w2
w1
dw 2 dz
w2
dw1 dz
d dz
w1 w2
w'1 w2 w1w'2 w22
dw dz
1
dz dw
dF(w) dz
dF dw
dw dz
与实变函数 的求导法则 完全一样！
4. 柯西-黎曼条件：
A. 函数f(z)可导的充分必要条件：设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
f
(z0 )
df (z) dz
zz0
或
df (z0 ) . dz
2. 如果函数w=f(z)在区域B内的每一点可导，则称f(z)在 区域B内可导。
例1. 求dzn/dz=nzn-1； 例2. 证明w=z*在z平面上处处连续，但处处不可导。
3. 求导法则：
d dz
w1
w2
dw1 dz
dw 2 dz