三次函数专题(解析版)

三次函数专题

一、定义：

定义1、形如3

2

(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义2、三次函数的导数2

32(0)y ax bx c a '=++≠，把2

412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。

二、三次函数3

2

(0)y ax bx cx d a =+++≠图象与性质的探究： 1、单调性。

一般地，①当24120b ac ∆=-≤时，三次函数)0(2

3≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数； ②当24120b ac ∆=->时，三次函数)0(2

3≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。 根据0,0<>a a 两种不同情况进行分类讨论，令2

()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则：

2、对称中心。

三次函数)0()(2

3

≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(a

b

f a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

证明：函数)0()(2

3

≠+++=a d cx bx ax x f 关于点（m ，n ）对称的充要条件是n x m f x m f 2)()(=++-，即：])()()([2

3

d x m c x m b x m a +-+-+-+n d x m c x m b x m a 2])()()([2

3

=++++++，整理得，

n d mc bm am x b ma 2)2222()26(232=+++++，据多项式恒等对应系数相等,可得， a b m 3-

=且d mc bm am n +++=2

3=)3()(a

b f m f -=， 从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是))3(,3(a

b f a b --. 可见，)(x f y =图象的对称中心在导函数)(x f y '=的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导

为零的点（拐点）。

由上又可得以下结论：

)(x f y =是可导函数，

① 若)(x f y =的图象关于点),(n m 对称，则)('x f y =图象关于直线m x =对称. ② 若)(x f y =图象关于直线m x =对称，则)('x f y =图象关于点)0,(m 对称.

这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 3、三次方程根的个数问题（或三次函数的图象与x 轴交点个数）。

（1）当△=01242

≤-ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

（2）当△=01242>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，则：

① 若0)()(21>⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

② 若0)

()(21<⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与x 轴必有三个交点，所以原方

程有三个不等实根。

③ 若0)()(21=⋅x f x f ，即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。

x

4、奇偶性。

三次函数)0()(2

3

≠+++=a d cx bx ax x f 当且仅当0==d b 时是奇函数。 5、极值点问题。

若函数)(x f 在点0x 的附近恒有)()(0x f x f ≥(或)()(0x f x f ≤)，则称函数)(x f 在点0x 处取得极大值（或极小值），称点0x 为极大值点（或极小值点）。

当0>∆时，三次函数)(x f y =在()∞+∞-，上的极值点有两个。 当0≤∆时，三次函数)(x f y =在()∞+∞-，上不存在极值点。

6、最值问题。

由函数)0()(2

3

≠+++=a d cx bx ax x f 的图像能够探究出在区间],[n m 的最大值与最小值：

函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，[]n m x ，∈，若[]n m x ，∈0，且0)(0='x f ，则： {})()()(max )(0max n f x f m f x f ，，=；{})()()(min )(0min n f x f m f x f ，，=。

8、三次函数切线问题。

①在()00y x P ，处的切线求法

设点()00y x P ，为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则在点P 一定有直线与

)(x f y =的图象相切，且只有一条。

c bx ax x f k ++='=020023)(，切线方程为：))(23(002

00x x c bx ax y y -++=-

②过()00y x P ，处的切线求法

设点()00y x P ，为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则在点P 一定有直线与

)(x f y =的图象相切。

过P 点作)(x f y =图象的切线，设切点为()11y x Q ，，则切线的斜率c bx ax x f k ++='=121123)(，

切线方程为：))(23(112

11x x c bx ax y y -++=-，将点()00y x P ，代入，得))(23(1012

110x x c bx ax y y -++=-，

()()

()1012

112

13

1023x x c bx ax d cx bx ax y -++=+++-，将1x 求解出来即可.